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Forum "Folgen und Reihen" - FG abschätzen,Nullfolge
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FG abschätzen,Nullfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Mo 10.11.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Richtig oder Falsch? (Beweis oder Gegenbeispiel)
Sei 0<q<1 und [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: 0

Hallo,
Meine Vermutung ist das die Behauptung stimmt, bin also auf der Suche nach einen beweis.

Zuzeigen:
[mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] |a_n [/mm] -0| < [mm] \epsilon [/mm]

[mm] |a_n-0| =|a_n|=a_n \le [/mm] q [mm] a_{n-1} \le [/mm] q(q [mm] a_{n-2}) \le [/mm] ... [mm] \le q^n a_1 [/mm]
Ist die Abschätzung zielführend?

        
Bezug
FG abschätzen,Nullfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 Mo 10.11.2014
Autor: leduart

Hallo
die Abschätzung wäre richtig, wenn da stünde FÜR ALLE [mm] n\in\IN, [/mm] aber da steht ab einem n also muss das nicht ab [mm] a_1 [/mm] gelten! mach dasselbe für [mm] a_{n+m} n>N_0 [/mm] dann lass m gegen unendlich gehen.
Denk dran auf die ersten paar Millionen  [mm] a_n [/mm] der folge kommt es nie an, nur auf die unendlich vielen am Ende!
Gruß leduart


Bezug
                
Bezug
FG abschätzen,Nullfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Mo 10.11.2014
Autor: sissile


> Hallo
>  die Abschätzung wäre richtig, wenn da stünde FÜR ALLE
> [mm]n\in\IN,[/mm] aber da steht ab einem n also muss das nicht ab
> [mm]a_1[/mm] gelten! mach dasselbe für [mm]a_{n+m} n>N_0[/mm] dann lass m
> gegen unendlich gehen.
> Denk dran auf die ersten paar Millionen  [mm]a_n[/mm] der folge
> kommt es nie an, nur auf die unendlich vielen am Ende!
>  Gruß leduart
>  


Hallo leduart.
Wieso? In der Angabe steht doch

>  $ [mm] \forall [/mm] $ n $ [mm] \in \IN: 0

Also gilt die Abschätzung auch für n=1. Was verstehe ich nun falsch?

Bezug
                        
Bezug
FG abschätzen,Nullfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Mo 10.11.2014
Autor: reverend

Hallo sissile,

wenn Du Deine Abschätzung am Ende noch erweiterst, kannst Du doch die nötige Aussage treffen.

Also [mm] a_n\le\quad\cdots\quad\le q^na_1\;\blue{<\varepsilon} [/mm]

Somit [mm] q^n<\br{\varepsilon}{a_1} [/mm]

Das sieht ja lösbar aus, allerdings liegt die Falle an anderer Stelle. Ist eigentlich ausgesagt, ob [mm] a_1 [/mm] größer oder kleiner Null ist/sein muss? ;-)

Grüße
reverend



Bezug
                        
Bezug
FG abschätzen,Nullfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Mo 10.11.2014
Autor: leduart

Hallo
Du hast recht, ich entschuldige mich  ich hatte "es eyistiert" statt alle gelesen.
sorry
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
FG abschätzen,Nullfolge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Di 11.11.2014
Autor: sissile


> Hallo
>  Du hast recht, ich entschuldige mich  ich hatte "es
> eyistiert" statt alle gelesen.
>  sorry
>  Gruß leduart

Macht ja nichts, hat nur Verwunderung meinerseits ausgelöst ;)

> wenn Du Deine Abschätzung am Ende noch erweiterst, kannst Du doch die nötige Aussage treffen.

> Also $ [mm] a_n\le\quad\cdots\quad\le q^na_1\;\blue{<\varepsilon} [/mm] $

> Somit $ [mm] q^n<\br{\varepsilon}{a_1} [/mm] $

> Das sieht ja lösbar aus, allerdings liegt die Falle an anderer Stelle. Ist eigentlich ausgesagt, ob $ [mm] a_1 [/mm] $ größer oder kleiner Null ist/sein muss? ;-)

Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig und es gilt 0 < [mm] q^n a_1 [/mm] < [mm] a_1 \Rightarrow 0 Wähle N sodass [mm] q^N [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{a_1}, [/mm] für n [mm] \ge [/mm] N gilt das natürlich auch, denn so größer ich die Potenz von q wähle umso kleiner wir [mm] q^N [/mm]
(Da Proposition: Wenn 0<b<1 dann [mm] \forall \epsilon_1>0 \exists [/mm] n [mm] \in \IN: b^n [/mm] < [mm] \epsilon_1) [/mm]

So haben wir dann [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
[mm] |a_{n}-0|=a_n \le q^n a_1 <\frac{\epsilon}{a_1} *a_1 [/mm] = [mm] \epsilon [/mm]

Wo ist da die Schwierigkeit mit [mm] a_1? [/mm] Folgt doch aus der Ungleichung, dass [mm] a_1 [/mm] >0 ist oder nicht?

LG,
sissile

Bezug
                                        
Bezug
FG abschätzen,Nullfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Di 11.11.2014
Autor: Marcel

Hallo Sissile,

> > Hallo
>  >  Du hast recht, ich entschuldige mich  ich hatte "es
> > eyistiert" statt alle gelesen.
>  >  sorry
>  >  Gruß leduart
>
> Macht ja nichts, hat nur Verwunderung meinerseits
> ausgelöst ;)
>  
> > wenn Du Deine Abschätzung am Ende noch erweiterst, kannst
> Du doch die nötige Aussage treffen.
>  
> > Also [mm]a_n\le\quad\cdots\quad\le q^na_1\;\blue{<\varepsilon}[/mm]
>  
> > Somit [mm]q^n<\br{\varepsilon}{a_1}[/mm]
>  
> > Das sieht ja lösbar aus, allerdings liegt die Falle an
> anderer Stelle. Ist eigentlich ausgesagt, ob [mm]a_1[/mm] größer
> oder kleiner Null ist/sein muss? ;-)
>  
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig und es gilt 0 < [mm]q^n a_1[/mm] < [mm]a_1 \Rightarrow 0
>  
> Wähle N sodass [mm]q^N[/mm] < [mm]\frac{\epsilon}{a_1},[/mm] für n [mm]\ge[/mm] N
> gilt das natürlich auch, denn so größer ich die Potenz
> von q wähle umso kleiner wir [mm]q^N[/mm]
>  (Da Proposition: Wenn 0<b<1 dann [mm]\forall \epsilon_1>0 \exists[/mm]
> n [mm]\in \IN: b^n[/mm] < [mm]\epsilon_1)[/mm]
>  
> So haben wir dann [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
>  [mm]|a_{n}-0|=a_n \le q^n a_1 <\frac{\epsilon}{a_1} *a_1[/mm] =
> [mm]\epsilon[/mm]
>  
> Wo ist da die Schwierigkeit mit [mm]a_1?[/mm] Folgt doch aus der
> Ungleichung, dass [mm]a_1[/mm] >0 ist oder nicht?

[ok]

Es ist halt versteckt: Aus

    $ [mm] \forall [/mm] $ n $ [mm] \in \IN: 0
folgt insbesondere

    $0 < [mm] a_2 \le q*a_1\,.$ [/mm]

Das geht wegen $q > [mm] 0\,$ [/mm] nur für [mm] $a_1 [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Reverend hat das überlesen oder
nicht bedacht (es ist aber auch *blöd versteckt worden*).

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
FG abschätzen,Nullfolge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Di 11.11.2014
Autor: sissile

Danke an alle!

LG,
sissi

Bezug
        
Bezug
FG abschätzen,Nullfolge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Di 11.11.2014
Autor: Marcel

Hallo nochmal,

> Richtig oder Falsch? (Beweis oder Gegenbeispiel)
>  Sei 0<q<1 und [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN: 0
> ist [mm](a_n)[/mm] eine Nullfolge.
>  Hallo,
>  Meine Vermutung ist das die Behauptung stimmt, bin also
> auf der Suche nach einen beweis.
>  
> Zuzeigen:
>  [mm]\forall \epsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN: \forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] N :
> [mm]|a_n[/mm] -0| < [mm]\epsilon[/mm]
>  
> [mm]|a_n-0| =|a_n|=a_n \le[/mm] q [mm]a_{n-1} \le[/mm] q(q [mm]a_{n-2}) \le[/mm] ...
> [mm]\le q^n a_1[/mm]
> Ist die Abschätzung zielführend?

ich würde daraus auch direkt die Behauptung folgern. Dass für $0 < q < 1$ die Folge
[mm] $(q^n)_n$ [/mm] Nullfolge ist, ist bekannt (man kann es übrigens beweisen, indem
man benutzt, dass [mm] $\sum_{n=1}^\infty q^n$ [/mm] konvergent ist. Aber man muss
da ein wenign aufpassen, dass man sich nicht im Kreise dreht. Möglich ist
aber folgendes:
Die Reihe (als Folge ihrer Teilsummen)

    [mm] $\sum_{n=1}^\infty q^n$ [/mm]

ist durch [mm] $1/(1-q)\,$ [/mm] nach oben beschränkt (Beweis?) und (offensichtlich) (streng [wegen
$q > 0$]) monoton wachsend. Daher nach dem Hauptsatz über monotone
Folgen konvergent! Das Trivialkriterium impliziert nun, dass die Folge der
Summanden eine Nullfolge sein muss...)

Aus

    $0 < [mm] a_{n+1} \le a_1*q^n$ [/mm]

folgt dann

    $0 [mm] \le \lim_{n \to \infty}a_{n+1} \le a_1*\lim_{n \to \infty}q^n=a_1*0\,.$ [/mm]

Okay: "Strenggenommen" sieht das erstmal so aus, als wenn wir so *nur*
sehen, dass [mm] $(a_{n+1})_n$ [/mm] Nullfolge ist... ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
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