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Forum "Differentiation" - Extremwerte zwei Veränderliche
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Extremwerte zwei Veränderliche: Problem mit Definitheit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Do 07.01.2010
Autor: alexismichael

Aufgabe
Man bestimme die globalen Maxima und Minima von [mm] f(x,y)=xy^2 [/mm] auf der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe in [mm] \IR^2 [/mm]

Bisher haben wir:

[mm] f' = grad \, f = (y^2,2xy)= 0 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] y=0 und x beliebig

[mm] A=H_f-\lambda E=\begin{pmatrix} -\lambda & 2y \\ 2y & 2x-\lambda \end{pmatrix}[/mm]

[mm]det A=-\lambda^2-2x\lambda-4y^2[/mm]

[mm] \Rightarrow \lambda_1=0 [/mm] und [mm] \lambda_2=x [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] semidefinit aber weder positiv noch negativ, da x beliebig ist.

Das heißt nun für die Aufgabe was genau? Gibt es Extrema?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Extremwerte zwei Veränderliche: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:57 Do 07.01.2010
Autor: fred97

Wir nehmen uns mal einen Punkt [mm] (x_0|0) [/mm] vor:

Fall 1: [mm] x_0 [/mm] = 0. Nun betrachte f auf der 1. Winkelhalbierenden.

        Für x [mm] \not=0 [/mm] ist  $f(x,x) = [mm] x^3$, [/mm] also ist

        $f(x,x) > 0 = [mm] f(x_0,0) [/mm] $ für x>0 und $f(x,x) < 0 = [mm] f(x_0,0) [/mm] $ für x<0

Kann dann f in  [mm] (x_0|0) [/mm] ein Extremum haben ?

Fall 2: [mm] x_0 [/mm] >0. Setze [mm] \epsilon [/mm] = [mm] x_0. [/mm] Für (x,y) in der offenen Kugel um [mm] (x_0,0) [/mm] mit Radius [mm] \epsilon [/mm] ist dann

                    $f(x,y) = [mm] xy^2 \ge [/mm] 0 = [mm] f(x_0,0)$ [/mm]

f hat also was im Punkt [mm] (x_0,0) [/mm] ?

Fall 2: [mm] x_0 [/mm] <0. Den machst Du mal selbst.

Mit der offenen Einheitskreisscheibe bist Du damit fertig [mm] (|x_0|<1) [/mm]

Nun untersuche f auf dem Rand der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe

beachte: dort ist [mm] $y^2= 1-x^2$ [/mm]

FRED

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