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| Aufgabe | Mit Hilfe der Multiplikatorenregel von Lagrange bestimme man alle Punkte
der Ellipse [mm]5x^2+5y^2-8xy = 18 [/mm] in denen die Funktion [mm] z = x^2 + y^2[/mm] das Minimum bzw. Maximum annimmt! Wir sollen nur die potentiellen Extrempunkte finden und nicht prüfen, ob es Maximum/Minimum oder doch gar nichts von beidem ist (wurde in der Übung so gesagt). |
Hallo,
ich habe die oben genannte Aufgabe gerechnet, aber meine Lösung scheint mir falsch zu sein, da ich beide Funktionen geplottet habe und die Ellipse gar nicht durch den berechneten Punkt (0,0) gehen soll. Das ist mein Rechenweg:
[mm] H(x,y) = f(x,y) + \lamba g(x,y) [/mm]
Mein Gleichungssystem sieht so aus:
1. [mm]\frac{\partial H}{\partial x} (x,y) = 10x-8y+2\lambda x = 0 [/mm]
2. [mm]\frac{\partial H}{\partial y} (x,y) = 10y-8x+2\lambda y = 0 [/mm]
3. [mm]\frac{\partial H}{\partial \lambda} (x,y) = x^2+y^2 = 0 [/mm]
Gleichung 1. habe ich nach x umgestellt:
[mm] x = \frac{8y}{10+2\lambda}[/mm]
Dann habe ich x in Gleichung 2 eingesetzt:
[mm] 0 = 10y - \frac{64y}{10+2\lambda}+2\lambda y[/mm]
Ich habe durch y dividiert, mit [mm](10+2\lambda)[/mm] multipliziert und nach [mm]\lambda[/mm] aufgelöst (mithilfe der pq-Formel):
[mm]0 = \lambda^2 +10\lambda +9 [/mm]
[mm] \lambda_{1,2} = -5 \pm 4[/mm]
[mm] \lambda_1 = -1, \lambda_2 = -9[/mm]
Zum Schluss habe ich x und [mm] \lambda[/mm] in Gleichung 3. eingesetzt und erhalte den Punkt (0,0). Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt?
Viele Grüße
schokoschnecke :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 Fr 22.06.2018 | | Autor: | Fulla |
Hallo schokoschnecke,
> [mm]0 = \lambda^2 +10\lambda +9[/mm]
> [mm]\lambda_{1,2} = -5 \pm 4[/mm]
>
> [mm]\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -9[/mm]
rechne das nochmal nach.
EDIT: Sorry, mein Fehler. ICH habe mich verrechnet! Danke, Gono, für den Hinweis.
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Fr 22.06.2018 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Hallo schokoschnecke,
>
> > [mm]0 = \lambda^2 +10\lambda +9[/mm]
> > [mm]\lambda_{1,2} = -5 \pm \red{4}[/mm]
>
> >
> > [mm]\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -9[/mm]
>
> rechne das nochmal nach.
also nachrechnen ist immer gut… aber einen Fehler sehe ich da nicht.
Gruß
Gono.
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Gleichung 3 ist falsch: Du leitest nach [mm] \lambda [/mm] ab, dann gelten x und y als konstant, und deren Ableitung ist 0.
Somit heißt Gleichung 3 nur: 0+0=0.
Du musst die [mm] \lambda [/mm] Werte -1 und -9 in 1. und 2. einsetzen. Dann hast du jeweils nur noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die du lösen kannst.
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Hiho,
> Gleichung 3 ist falsch: Du leitest nach [mm]\lambda[/mm] ab, dann
> gelten x und y als konstant, und deren Ableitung ist 0.
nein. schaue dir die anderen Ableitungen an.
Es wird $ H(x,y) = f(x,y) + [mm] \lambda [/mm] g(x,y) $ abgeleitet, in der Ursprungsfrage wird das [mm] $\lambda$ [/mm] wegen eines Tippfehlers nur nicht angezeigt.
Damit ist [mm] $\frac{\partial H}{\partial \lambda} [/mm] = g$
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Fr 22.06.2018 | | Autor: | fred97 |
Gesucht sind doch Min. und Max. der Funktion [mm] f(x,y)=x^2+y^2 [/mm] unter der Nebenbedingung g [mm] (x,y)=5x^2+5y^2-8xy [/mm] -18=0.
Du hast f und g vertauscht. !
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