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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extrema/Sattelpunkt bestimmen
Extrema/Sattelpunkt bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Extrema/Sattelpunkt bestimmen: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Mi 24.06.2009
Autor: Moni1987

Aufgabe
Die Funktion g: [mm] \IR^2->\IR [/mm] ist durch g(x,y)=2xy(x+y-6) gegeben. Bestimmen Sie alle stationären Punkte von g! Welche davon sind lokale Minimalstellen, welche lokale Maximalstellen und welche Sattelpunkte?

Hallo, ich habe angefangen zu rechnen scheiter aber an der notwendigen Fallunterscheidung. Ich wollte meine partiellen Ableitungen von gx und gy 0 setzen und bekomm das aber nicht hin =(
hoffe jemand kann helfen. danke

g(x,y)=2xy(x+y-6)
[mm] =2x^2y+2xy^2-12xy [/mm]

partiell abgeleitet:

gx= [mm] 4xy+2y^2-12y [/mm]
gy= [mm] 2x^2+4xy-12x [/mm]

gxx=4y
gxy=gyx=4x+4y-12
gyy=4x

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/ExtremstellenSattelpunkte


        
Bezug
Extrema/Sattelpunkt bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Mi 24.06.2009
Autor: abakus


> Die Funktion g: [mm]\IR^2->\IR[/mm] ist durch g(x,y)=2xy(x+y-6)
> gegeben. Bestimmen Sie alle stationären Punkte von g!
> Welche davon sind lokale Minimalstellen, welche lokale
> Maximalstellen und welche Sattelpunkte?
>  Hallo, ich habe angefangen zu rechnen scheiter aber an der
> notwendigen Fallunterscheidung. Ich wollte meine partiellen
> Ableitungen von gx und gy 0 setzen und bekomm das aber
> nicht hin =(
>  hoffe jemand kann helfen. danke

Hallo,
ich kenne mich leider mit diesen Verfahren nicht ausreichend aus, sehe aber, dass f(x,y)=f(y,x) gilt. Die Funktionswerte liegen also symmetrisch zu y=x. Wegen dieser Symmetrie sind für y=x Extrempunkte zu erwarten. Falls es außerhalb von y=x weitere Extrempunkte gibt, müssen diese paarweise auftreten.
Für x=y gilt [mm] g(x,x)=2x^2(2x-6)=4x^2(x-3). [/mm]
Das sollte man mal auf besondere Stellen testen.
Gruß Abakus

>  
> g(x,y)=2xy(x+y-6)
>  [mm]=2x^2y+2xy^2-12xy[/mm]
>  
> partiell abgeleitet:
>  
> gx= [mm]4xy+2y^2-12y[/mm]
>  gy= [mm]2x^2+4xy-12x[/mm]
>  
> gxx=4y
>  gxy=gyx=4x+4y-12
>  gyy=4x
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  http://www.onlinemathe.de/forum/ExtremstellenSattelpunkte
>  


Bezug
        
Bezug
Extrema/Sattelpunkt bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Mi 24.06.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Moni,

> Die Funktion g: [mm]\IR^2->\IR[/mm] ist durch g(x,y)=2xy(x+y-6)
> gegeben. Bestimmen Sie alle stationären Punkte von g!
> Welche davon sind lokale Minimalstellen, welche lokale
> Maximalstellen und welche Sattelpunkte?
>  Hallo, ich habe angefangen zu rechnen scheiter aber an der
> notwendigen Fallunterscheidung. Ich wollte meine partiellen
> Ableitungen von gx und gy 0 setzen und bekomm das aber
> nicht hin =(
>  hoffe jemand kann helfen. danke
>  
> g(x,y)=2xy(x+y-6)
>  [mm]=2x^2y+2xy^2-12xy[/mm]
>  
> partiell abgeleitet:
>  
> gx= [mm]4xy+2y^2-12y[/mm] [ok]
>  gy= [mm]2x^2+4xy-12x[/mm] [ok]

Faktorisiere doch hier, dann kannst du die NST fast ablesen ;-)

Also [mm] $g_x(x,y)=2y\cdot{}(2x+y-6)\overset{!}{=}0$ [/mm] und

[mm] $g_y(x,y)=2x\cdot{}(x+2y-6)\overset{!}{=}0$ [/mm]

Die erste Bedingung liefert $y=0$ oder $2x+y-6=0$, also [mm] $y=0\vee [/mm] y=6-2x$

Damit gehe in die andere Bedingung ....


Die erste B

>  
> gxx=4y
>  gxy=gyx=4x+4y-12
>  gyy=4x
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>  http://www.onlinemathe.de/forum/ExtremstellenSattelpunkte
>  

LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Extrema/Sattelpunkt bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Mi 24.06.2009
Autor: Moni1987

Hallo,

ich hab für den 1.Fall: x1=6 y1=-6
2.Fall:x2=0 y2=6

So dann hab ich die Hesse Matrix aufgestellt um zu gucken ob es nen Minimum, Maximum oder ein Sattelpunkt ist.

bei dem P(6,-6) = -720
bei dem P(0,6)= -144

aber das kann doch vorne und hinten nicht stimmen oder? Die Zahlen sind doch viel zu groß und es kann doch nicht rauskommen das gar nichts existiert oder?!?

Bezug
                        
Bezug
Extrema/Sattelpunkt bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Mi 24.06.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo,
>  
> ich hab für den 1.Fall: x1=6 y1=-6
>  2.Fall:x2=0 y2=6

[haee]

Du musst mit den Bezeichnungen sorgfältiger sein ...

Mit dem 1.Fall $y=0$ aus der ersten Gleichung (also der für [mm] $g_x$), [/mm] ergibt sich für die 2te Gleichung (also für [mm] $g_y$): $g_y(x,0)=2x(x+2\cdot{}0-6)=0$, [/mm] also $x=0$ oder $x=6$

Damit hast du schonmal die stat. Punkte [mm] $(x_0,y_0)=(0,0)$ [/mm] und [mm] $(x_1,y_1)=(6,0)$ [/mm]

Nun setze mal die andere Möglichkeit (Fall 2) in [mm] $g_y$ [/mm] ein ...

Zur Kontrolle:

ich komme noch auf die beiden weiteren stat. Punkte [mm] $(x_2,y_2)=(2,2)$ [/mm] und [mm] $(x_3,y_3)=(0,6)$ [/mm]


>  
> So dann hab ich die Hesse Matrix aufgestellt um zu gucken
> ob es nen Minimum, Maximum oder ein Sattelpunkt ist.
>  
> bei dem P(6,-6) = -720
>  bei dem P(0,6)= -144


[kopfkratz3]

Was soll das bedeuten?

Wie sehen denn die Hessematrizen in den stat. Punkten, also [mm] $H_g(x_i,y_i)$ [/mm] aus? ($i=0,1,2,3$)

Stelle diese auf und prüfe ihre Definitheit

Ich hoffe, du weißt, wie das geht, ansonsten: im Skript oder auf wiki nachschlagen und mit konkreten Rückfragen rückfragen ;-)

> aber das kann doch vorne und hinten nicht stimmen oder? Die
> Zahlen

Wie gesagt: was sollen das für Zahlen sein und v.a. wie stehen sie im Bezug zur Hessematrix?

> sind doch viel zu groß und es kann doch nicht
> rauskommen das gar nichts existiert oder?!?


LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Extrema/Sattelpunkt bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:36 Mi 24.06.2009
Autor: Moni1987


> Zur Kontrolle:
>  
> ich komme noch auf die beiden weiteren stat. Punkte
> [mm](x_2,y_2)=(2,2)[/mm] und [mm](x_3,y_3)=(0,6)[/mm]
>  


so ich hab das jetzt gemacht gehabt, hab aber was anderes raus =(

schau mal:

gy(x,6-2x) = 2x(x+2(6-2x)-6)
= 2x(x+12-4x-6)
[mm] =2x^2+24x-8x^2-12x [/mm]
[mm] =-6x^2-12x/:(-6) [/mm]
[mm] =x^2+2x [/mm]

p/q-Formel:

X1=-1+ [mm] \wurzel{1} [/mm]
x2=-1- [mm] \wurzel{1} [/mm]

x1(0,6)
x2(-2,10)







Bezug
                                        
Bezug
Extrema/Sattelpunkt bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:41 Mi 24.06.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

>
> > Zur Kontrolle:
>  >  
> > ich komme noch auf die beiden weiteren stat. Punkte
> > [mm](x_2,y_2)=(2,2)[/mm] und [mm](x_3,y_3)=(0,6)[/mm]
>  >  
>
>
> so ich hab das jetzt gemacht gehabt, hab aber was anderes
> raus =(
>  
> schau mal:
>  
> gy(x,6-2x) = 2x(x+2(6-2x)-6)
>  = 2x(x+12-4x-6)
>  [mm]=2x^2+24x-8x^2-12x[/mm]

oha, nicht doch ausmultiplizieren, das ist doch schon so schön faktorisiert:

Fasse nur die Klammer zusammen: $=2x(x+12-4x-6)=2x(-3x+6)$

Und das ist [mm] $=0\gdw x=0\vee [/mm] -3x+6=0$, also [mm] $x=0\vee [/mm] x=2$

>  [mm]=-6x^2-12x/:(-6)[/mm]

Hier wird's falsch! Es muss [mm] $=-6x^2\red{+}12x$ [/mm] heißen!

Und nun bitte nicht p/q-Formel, sondern $-6x$ ausklammern ...

>  [mm]=x^2+2x[/mm]
>  
> p/q-Formel:
>  
> X1=-1+ [mm]\wurzel{1}[/mm]
>  x2=-1- [mm]\wurzel{1}[/mm]
>  
> x1(0,6)
>  x2(-2,10)
>  

LG

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Extrema/Sattelpunkt bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 Mi 24.06.2009
Autor: Moni1987

okay jetz hab ich deine Punkte auch raus^^

so ich zeig dir jetzt mal wie wir dis inner Uni gemacht haben, aber die Ergebnisse können nicht stimmen....

H(x,y)= [mm] \pmat{ 4y & (4x+4y-12) \\ (4x+4y-12) & 4x } [/mm]

H(0,0)= [mm] \pmat{ 0 & -12 \\ -12 & 0 } [/mm]
det H(0,0)= -144

H(6,0)= [mm] \pmat{ 0 & 12 \\ 12 & 24 } [/mm]
det H(6,0)=-144

H(0,6)= [mm] \pmat{ 24 & 12 \\ 12 & 0 } [/mm]
det H(0,6)=-144

H(2,2)= [mm] \pmat{ 8 & 4 \\ 4 & 8 } [/mm]
det H(2,2)=48

=> aber dis kann nicht sein, weil laut Aufgabe solln wir doch lokale Extrempkte und/oder Sattelpunkte finden?!?

Bezug
                                        
Bezug
Extrema/Sattelpunkt bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:15 Mi 24.06.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> okay jetz hab ich deine Punkte auch raus^^
>  
> so ich zeig dir jetzt mal wie wir dis inner Uni gemacht
> haben, aber die Ergebnisse können nicht stimmen....
>  
> H(x,y)= [mm]\pmat{ 4y & (4x+4y-12) \\ (4x+4y-12) & 4x }[/mm] [ok]
>  
> H(0,0)= [mm]\pmat{ 0 & -12 \\ -12 & 0 }[/mm] [ok]
>  det H(0,0)= -144 [ok]

Schaue dir das Kriterium nochmal genauer an.

[mm] $det(H_g(x_0,y_0))<0\Rightarrow$ [/mm] Sattelpunkt.

Alternativ rechne die Eigenwerte aus, einer ist positiv, der andere negativ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Matrix indefinit, also Sattelpunkt in $(0,0)$


>  
> H(6,0)= [mm]\pmat{ 0 & 12 \\ 12 & 24 }[/mm]
>  det H(6,0)=-144

wie oben




>  
> H(0,6)= [mm]\pmat{ 24 & 12 \\ 12 & 0 }[/mm]
>  det H(0,6)=-144

auch hier ein Sattelpunkt

>  
> H(2,2)= [mm]\pmat{ 8 & 4 \\ 4 & 8 }[/mm]
>  det H(2,2)=48

Also [mm] $det(H_g(2,2))>0$ [/mm]

Außerdem [mm] $a_{11}=8>0$, [/mm] was besagt also das Hauptminorenkriterium? ...

Alternativ über die Eigenwerte: beide sind positiv, also ...

>  
> => aber dis kann nicht sein, weil laut Aufgabe solln wir
> doch lokale Extrempkte und/oder Sattelpunkte finden?!?

Ja, du bist/warst auch noch nicht ganz fertig ;-)

LG

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
Extrema/Sattelpunkt bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:23 Mi 24.06.2009
Autor: Moni1987


> Hallo nochmal,

> > H(x,y)= [mm]\pmat{ 4y & (4x+4y-12) \\ (4x+4y-12) & 4x }[/mm] [ok]
>  >  
> > H(0,0)= [mm]\pmat{ 0 & -12 \\ -12 & 0 }[/mm] [ok]
>  >  det H(0,0)= -144 [ok]
>  
> Schaue dir das Kriterium nochmal genauer an.
>  
> [mm]det(H_g(x_0,y_0))<0\Rightarrow[/mm] Sattelpunkt.
>  
> Alternativ rechne die Eigenwerte aus, einer ist positiv,
> der andere negativ [mm]\Rightarrow[/mm] Matrix indefinit, also
> Sattelpunkt in [mm](0,0)[/mm]


Wie berechnet man Eigenwerte?!?

>  
>
> >  

> > H(6,0)= [mm]\pmat{ 0 & 12 \\ 12 & 24 }[/mm]
>  >  det H(6,0)=-144
>  
> wie oben
>  
>
>
>
> >  

> > H(0,6)= [mm]\pmat{ 24 & 12 \\ 12 & 0 }[/mm]
>  >  det H(0,6)=-144
>  
> auch hier ein Sattelpunkt
>  
> >  

> > H(2,2)= [mm]\pmat{ 8 & 4 \\ 4 & 8 }[/mm]
>  >  det H(2,2)=48
>  
> Also [mm]det(H_g(2,2))>0[/mm]
>  
> Außerdem [mm]a_{11}=8>0[/mm], was besagt also das
> Hauptminorenkriterium? ...

das wir einen lokale Minimumstelle haben =)

>  
> Alternativ über die Eigenwerte: beide sind positiv, also
> ...
>  
> >  

> > => aber dis kann nicht sein, weil laut Aufgabe solln wir
> > doch lokale Extrempkte und/oder Sattelpunkte finden?!?
>
> Ja, du bist/warst auch noch nicht ganz fertig ;-)

also haben wir hier 3 Sattelpunkte und 1 lokale Minimumstelle
und damit sind wir fertig, richtig;)

Lg Moni


Bezug
                                                        
Bezug
Extrema/Sattelpunkt bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Do 25.06.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> > Hallo nochmal,
>  
> > > H(x,y)= [mm]\pmat{ 4y & (4x+4y-12) \\ (4x+4y-12) & 4x }[/mm] [ok]
>  >  >  
> > > H(0,0)= [mm]\pmat{ 0 & -12 \\ -12 & 0 }[/mm] [ok]
>  >  >  det H(0,0)= -144 [ok]
>  >  
> > Schaue dir das Kriterium nochmal genauer an.
>  >  
> > [mm]det(H_g(x_0,y_0))<0\Rightarrow[/mm] Sattelpunkt.
>  >  
> > Alternativ rechne die Eigenwerte aus, einer ist positiv,
> > der andere negativ [mm]\Rightarrow[/mm] Matrix indefinit, also
> > Sattelpunkt in [mm](0,0)[/mm]
>  
>
> Wie berechnet man Eigenwerte?!?

Das ist nicht dein Ernst, oder?

Stichwort: charakteristisches Polynom, Nullstellen desselben, [mm] $det(A-\lambda\cdot{}\mathbb{E})$ [/mm] ...

>  >  
> >
> > >  

> > > H(6,0)= [mm]\pmat{ 0 & 12 \\ 12 & 24 }[/mm]
>  >  >  det
> H(6,0)=-144
>  >  
> > wie oben
>  >  
> >
> >
> >
> > >  

> > > H(0,6)= [mm]\pmat{ 24 & 12 \\ 12 & 0 }[/mm]
>  >  >  det
> H(0,6)=-144
>  >  
> > auch hier ein Sattelpunkt
>  >  
> > >  

> > > H(2,2)= [mm]\pmat{ 8 & 4 \\ 4 & 8 }[/mm]
>  >  >  det H(2,2)=48
>  >  
> > Also [mm]det(H_g(2,2))>0[/mm]
>  >  
> > Außerdem [mm]a_{11}=8>0[/mm], was besagt also das
> > Hauptminorenkriterium? ...
>
> das wir einen lokale Minimumstelle haben =)

[ok]

>  >  
> > Alternativ über die Eigenwerte: beide sind positiv, also
> > ...
>  >  
> > >  

> > > => aber dis kann nicht sein, weil laut Aufgabe solln wir
> > > doch lokale Extrempkte und/oder Sattelpunkte finden?!?
> >
> > Ja, du bist/warst auch noch nicht ganz fertig ;-)
>  
> also haben wir hier 3 Sattelpunkte und 1 lokale
> Minimumstelle
>  und damit sind wir fertig, richtig;)

Ja, fertig ist die Laube

>  
> Lg Moni
>  

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                                
Bezug
Extrema/Sattelpunkt bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:32 Do 25.06.2009
Autor: Moni1987

vielen Dank für deine Unterstützung.... =)

hast mir echt super gut geholfen....

danke Moni

Bezug
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