Extrema, Rand < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | Es sei f : [mm] \IR^2 ->\IR [/mm] eine Funktion mit
f(x,y) := [mm] x^3+y^3-3xy
[/mm]
(i) Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema von f auf dem Rechteck D := [0; [mm] \bruch{9}{4}]^2 [/mm] |
Okay Freunde der Mathematik,
mein Problem ist die Betrachtung des Randes. Der Rest geht ja nach Schema X, wenn die Hesse-Matrix nicht gerade 0 ist.
Die Funktion hat bei (1,1) mit f(1,1)=-1 ein lokales Minimum und bei (0,0) Sattelpunkt.
Jetzt aber Randbetrachtung:
unterer Rand:
f(x,0) : aus [mm] f_x(x,0) [/mm] => x = 0 und f(0,0) = 0
oberer Rand:
[mm] f(x,\bruch{9}{4}) [/mm] : aus [mm] f_x(x,\bruch{9}{4}) [/mm] => x = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
oder x = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] und [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] ist nicht zulaessig wegen
[mm] -\bruch{3}{2}\not\in [/mm] [0; [mm] \bruch{9}{4}]
[/mm]
wegen [mm] f_{xx}(\bruch{3}{2}, \bruch{9}{4})=9 [/mm] liegt ein Minimum vor
und f( [mm] \bruch{3}{2}, \bruch{9}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{297}{64}
[/mm]
linker Rand;
f(0,y) : aus [mm] f_y(0,y) [/mm] => y = 0 und f(0,0) = 0
rechter Rand:
[mm] f(\bruch{9}{4},y) [/mm] : aus [mm] f_y(\bruch{9}{4},y) [/mm] => y = [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
oder y = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] und [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] ist nicht zulaessig wegen
[mm] -\bruch{3}{2}\not\in [/mm] [0; [mm] \bruch{9}{4}]
[/mm]
aus symmetrischen Grunden gilt:
y = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] => Minimum und
y = [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] ist nicht zulaessig
f( [mm] \bruch{9}{4}, \bruch{3}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{297}{64}
[/mm]
und noch die Eckpunkte:
f(0,0) = 0
[mm] f(0,\bruch{9}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{729}{64}
[/mm]
[mm] f(\bruch{9}{4},0) [/mm] = [mm] \bruch{729}{64}
[/mm]
[mm] f(\bruch{9}{4},\bruch{9}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{486}{64}
[/mm]
mein Problem liegt darin, dass ich verstehe, welche von den Punkten sind globales maximum bzw minimum
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mi 03.12.2014 | | Autor: | meili |
Hallo Melisa,
> Es sei f : [mm]\IR^2 ->\IR[/mm] eine Funktion mit
> f(x,y) := [mm]x^3+y^3-3xy[/mm]
>
> (i) Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema von f
> auf dem Rechteck D := [0; [mm]\bruch{9}{4}]^2[/mm]
> Okay Freunde der Mathematik,
>
> mein Problem ist die Betrachtung des Randes. Der Rest geht
> ja nach Schema X, wenn die Hesse-Matrix nicht gerade 0
> ist.
>
> Die Funktion hat bei (1,1) mit f(1,1)=-1 ein lokales
> Minimum und bei (0,0) Sattelpunkt.
>
> Jetzt aber Randbetrachtung:
>
> unterer Rand:
> f(x,0) : aus [mm]f_x(x,0)[/mm] => x = 0 und f(0,0) = 0
>
> oberer Rand:
> [mm]f(x,\bruch{9}{4})[/mm] : aus [mm]f_x(x,\bruch{9}{4})[/mm] => x =
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> oder x = [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] und [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] ist nicht
> zulaessig wegen
> [mm]-\bruch{3}{2}\not\in[/mm] [0; [mm]\bruch{9}{4}][/mm]
> wegen [mm]f_{xx}(\bruch{3}{2}, \bruch{9}{4})=9[/mm] liegt ein
> Minimum vor
> und f( [mm]\bruch{3}{2}, \bruch{9}{4})[/mm] = [mm]\bruch{297}{64}[/mm]
>
> linker Rand;
> f(0,y) : aus [mm]f_y(0,y)[/mm] => y = 0 und f(0,0) = 0
>
> rechter Rand:
> [mm]f(\bruch{9}{4},y)[/mm] : aus [mm]f_y(\bruch{9}{4},y)[/mm] => y =
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
> oder y = [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] und [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] ist nicht
> zulaessig wegen
> [mm]-\bruch{3}{2}\not\in[/mm] [0; [mm]\bruch{9}{4}][/mm]
> aus symmetrischen Grunden gilt:
> y = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] => Minimum und
> y = [mm]-\bruch{3}{2}[/mm] ist nicht zulaessig
> f( [mm]\bruch{9}{4}, \bruch{3}{2})[/mm] = [mm]\bruch{297}{64}[/mm]
>
> und noch die Eckpunkte:
> f(0,0) = 0
> [mm]f(0,\bruch{9}{4})[/mm] = [mm]\bruch{729}{64}[/mm]
> [mm]f(\bruch{9}{4},0)[/mm] = [mm]\bruch{729}{64}[/mm]
> [mm]f(\bruch{9}{4},\bruch{9}{4})[/mm] = [mm]\bruch{486}{64}[/mm]
>
> mein Problem liegt darin, dass ich verstehe, welche von den
> Punkten sind globales maximum bzw minimum
An der Stelle [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] ist ein globales Maximum,
genau dann wenn [mm] $f(x_0,y_0) \ge [/mm] f(x,y)$ für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] D$.
An der Stelle [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] ist ein globales Minimum,
genau dann wenn [mm] $f(x_0,y_0) \le [/mm] f(x,y)$ für alle $(x,y) [mm] \in [/mm] D$.
Vergleiche also die lokalen Extremwerte und die Werte auf dem Rand
auf Maximum und Minimum.
>
> LG
>
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Melisa |
Danke Meili fuer die Antwort,
also gilt es jetzt dass
f(1,1) = -1 ein globales Minimum und f(0,9/4) = f(9/4,0) = 729/64 ein globales Maximum ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Mi 03.12.2014 | | Autor: | meili |
Hallo Melisa,
> Danke Meili fuer die Antwort,
>
> also gilt es jetzt dass
> f(1,1) = -1 ein globales Minimum und f(0,9/4) = f(9/4,0) =
> 729/64 ein globales Maximum ist?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
meili
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