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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Do 26.07.2007 | | Autor: | daria |
| Aufgabe | f(z) = [mm] \bruch{1}{cos(z)*sin(z)}
[/mm]
Entwickeln Sie die Funktion in eine Potenzreihe um [mm] z_{0}=i [/mm] !
Wie groß ist der Konvergenzradius der Potenzreihe? |
Ich habe cos(z) und sin(z) in Reihendarstellung geschrieben.
cos(z) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{2n!}*z^{2n}
[/mm]
sin(z) = [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!}*z^{2n+1}
[/mm]
Jetzt wollte ich die beiden Reihen zusammenfügen, also cos(z)-sin(z).
Nur wie mache ich das?
Eigentlich wäre das ja dann:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n} }{n!}*z^{n}
[/mm]
nur das Vorzeichen ( [mm] (-1)^{n} [/mm] )stimmt noch nicht... das wechselt sich jetzt nicht jedesmal ab, sondern nur alle 2-mal.
Wie kann ich das denn ausdrucken?
und wie bestimme ich dann den Konvergenzradius?
Mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} [/mm] ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Do 26.07.2007 | | Autor: | kochmn |
Servus Daria,
Du könntest das Additionstheorem
[mm]2\sin(z)\cos(z) = \sin(2z)[/mm]
anwenden und dann damit weiterarbeiten.
Viel Erfolg,
Markus-Hermann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Do 26.07.2007 | | Autor: | daria |
OH NEIN...
ich hatte einen Tippfehler drin.
TUT MIR LEID!
es sollte heißen:
[mm] f(z)=\bruch{1}{cos(z)-sin(z)}
[/mm]
also ein - anstatt ein *.
Tut mir wirklich leid.
Kann mir nochmal jemand helfen.
Nämlich jetzt helfen mir die Additionstheoreme nicht richtig weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Do 26.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo daria!
> es sollte heißen:
>
> [mm]f(z)=\bruch{1}{cos(z)-sin(z)}[/mm]
>
> also ein - anstatt ein *.
> Tut mir wirklich leid.
>
> Kann mir nochmal jemand helfen.
> Nämlich jetzt helfen mir die Additionstheoreme nicht
> richtig weiter.
Vielleicht doch: [mm]\cos(z) - \sin(z) = -\sqrt{2}\sin\left(z-\bruch{\pi}{4}\right)[/mm].
Weiter fällt mir im Moment aber auch nichts ein...
Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Do 26.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
du suchst doch nicht die reihe für sinz-cosz sondern 1 durch. da bleibt dir wohl nix übrig als differenzieren! wahrscheinlich besser mit der exponentialdarstellung von sinz und cosz, weil du ja die Werte bei i brauchst. vielleicht kürzt die formel von rainer die Rechnung ja ab.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Fr 27.07.2007 | | Autor: | daria |
Wieso könnte mir differenzieren helfen? Also wie?
[mm] \bruch{1}{\bruch{e^{iz}+e^{-iz}}{2} - \bruch {e^{iz}+e^{-iz}}{2i}}
[/mm]
wie könnte ich da jetzt weiterarbeiten und was muss ich beachten dass ich die Potenzreihe ja um [mm] z_{0}=i [/mm] entwickeln will?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Fr 27.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo daria,
deine Funktion ist doch holomorph in einer Umgebung um den Punkt [mm]z_0=i[/mm], und damit ist die Potenzreihe eine Taylorreihe, also
[mm]f(z) = \summe_{n=0}^\infty \bruch{1}{n!} f^{(n)}(z_0) (z-z_0)^n [/mm].
Allerdings sehe ich nicht, wie man einen allgemeinen Ausdruck für [mm]f^{(n)}(z_0)[/mm] angeben kann.
Eine Idee hätte ich noch, aber ich weiß nicht, wie weit du damit kommst:
Schreibe [mm]1/f(z)=\cos z -\sin z[/mm] erst einmal als [mm]1/f((z-z_0)+z_0)[/mm] und benutze die Additionstheoreme, um [mm]\sin(z-z_0)[/mm] und [mm]\cos(z-z_0)[/mm] zu bekommen, zum Beipiel
[mm]\cos((z-z_0)+z_0) = \cos(z-z_0) \cos z_0 - \sin(z-z_0)\sin z_0[/mm].
Dann benutzt du die bekannten Potenzreihenentwicklungen für Sinus und Cosinus:
[mm]\sin (z-z_0) = \summe_{n=0}^\infty (-1)^n \bruch{1}{(2n+1)!} (z-z_0)^{2n+1} [/mm], [mm]\cos (z-z_0) = \summe_{n=0}^\infty (-1)^n \bruch{1}{(2n)!} (z-z_0)^{2n} [/mm],
ziehst alle Terme zusammen und hast damit eine Potenzreihenentwicklung für [mm]1/f(z)[/mm].
Daraus kann man die Potenzreihenentwicklung für f(z) ausrechnen, analog zur Polynomdivision: wenn [mm]a_n[/mm] die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von 1/f(z) sind, so sind
[mm] c_0 = \bruch{1}{a_0} [/mm], [mm]c_n = -\bruch{1}{a_0} \summe_{i=0}^{n-1} a_{n-i} c_i \quad n >0 [/mm]
die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung von f(z). Das kommt einfach daher, das sich beim Ausmultiplizieren der beiden Potenzreihen alle Terme bis auf 1 wegheben müssen.
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Fr 27.07.2007 | | Autor: | daria |
Danke, ich glaube so wollte unser Prof das haben!
Super!
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