Endlichkeit eines Integrals < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Mi 31.05.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
ich muss die Endlichkeit eines Integrals zeigen:
[mm] \integral^{\infty}{\bruch{1}{x*(lnx)^{1+\varepsilon}} dx}
[/mm]
Ich bekomme als Stammfunktion
- [mm] \bruch{1}{\varepsilon * (lnx)^{\varepsilon}}
[/mm]
heraus, aber bei den Limes-Betrachtungen habe ich Schwierigkeiten, da meiner Meinung nach das Integral unendlich ergibt.
Die untere Integralsgrenze ist nicht angegeben, da das Integral allgemein beschrieben wird als
[mm] \integral^{\infty}\bruch{\phi (t)}{t} [/mm] dt,
und in meinem Fall eben
[mm] \phi [/mm] (t) = [mm] (lnt)^{-(1+\varepsilon)}
[/mm]
gilt, d.h. die untere Grenze hängt anscheinend von der Wahl des [mm] \phi [/mm] ab. Es kann in diesem Fall eigentlich nur die 0 oder die 1 in Frage kommen.
Über Hilfe würde ich mich freuen.
Danke im Voraus und schöne Grüße,
Matthias.
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Sehe ich das dann richtig, es geht um die untere Grenze des INtervalls? Die obere Grenze liefert ja tatsächlich beim Einsetzen eine Konvergenz gegen 0, solange [mm] $\epsilon>0$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Mi 31.05.2006 | | Autor: | djmatey |
Ich weiß nicht, welche untere Grenze gewählt werden muss - ich vermute, es ist die 1.
Wenn Du da eine Konvergenz gegen 0 siehst, wäre es nett, wenn Du das mal ausführen könntest, denn so kann ich damit nichts anfangen.
Dank & Gruß,
Matthias.
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Hallo,
du erhältst als stammfunktion richtigerweise [mm] $-\bruch{1}{\varepsilon \cdot{} (lnx)^{\varepsilon}} [/mm] $. Wichtig ist für die aufgabe jetzt in erster linie, dass die stammfunktion einen endlichen grenzwert für [mm] $x\to \infty$ [/mm] besitzt und das tut sie auch, nämlich die 0. Du hast recht für $x=1$ ist die stammfunktion nicht definiert, nimm also als untere grenze zB. die 2 und du hast ein konvergentes integral.
VG
Matthias
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