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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Endl. Additivität Wahrs.inhalt
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Endl. Additivität Wahrs.inhalt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Do 16.01.2020
Autor: Tobikall

Hallo,

könnte mir jemand weiterhelfen bei einem Beweis für die endliche Addivität P(A [mm] \vee [/mm] B)= P(A)+ P(B) für P als Wahrscheinlichkeitsinhalt und A,B Elemente einer Boole-Algebra, welche paarweise disjunkt sein sollen.

Für eine mündliche Prüfung hätte ich diesbezüglich eine besonders sprachlich einwandrei formulierte Beweisidee.

Meine Ideen waren bisher, dass wenn A, B p.d. sind, dies auf den Boole-Schnitt bezogen ist, wobei dann gilt: A [mm] \cap [/mm] B=0. Daher müssten A,B doch in einer Boole-Algebra komplementär zueinander sein, womit dann gilt [mm] A\cup [/mm] B=I ( [mm] \cup \cap [/mm] in sind Boole-Schnitt (Vereinigung)).
Nur wie kann ich das jetzt weiter auf obigen Beweis beziehen?

Vielen Dank für eure Mühe!

        
Bezug
Endl. Additivität Wahrs.inhalt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:58 Fr 17.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> könnte mir jemand weiterhelfen bei einem Beweis für die
> endliche Addivität P(A [mm]\vee[/mm] B)= P(A)+ P(B) für P als
> Wahrscheinlichkeitsinhalt und A,B Elemente einer
> Boole-Algebra, welche paarweise disjunkt sein sollen.

Dafür müssten wir eure Definition eines Inhalts kennen… normalerweise wird bei der Standarddefinition des Inhalts gerade davon ausgegeangen, dass dieser für endliche Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen additiv ist.
Da wäre also nix zu beweisen.

> Meine Ideen waren bisher, dass wenn A, B p.d. sind, dies
> auf den Boole-Schnitt bezogen ist, wobei dann gilt: A [mm]\cap[/mm]
> B=0. Daher müssten A,B doch in einer Boole-Algebra
> komplementär zueinander sein, womit dann gilt [mm]A\cup[/mm] B=I

Wieso sollte das gelten?
Beispielsweise ist jede Potenzmenge eine boolesche Algebra. Da gilt nicht immer $A [mm] \cup [/mm] B = 1$, wenn $A [mm] \cap [/mm] B = 0$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Endl. Additivität Wahrs.inhalt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:42 Fr 17.01.2020
Autor: Tobikall

Das stimmt, in unserer Definition wird ein Inhalt auch über die paarweise Additivität bewiesen.

In Altprüfungen habe ich nun noch den Hinweis gefunden, dass man die Additiviät über die Definition eines Quasikollektivs (oder Fastkollektivs) erlangen kann, wobei wir unter einem Quasikollektiv eine Folge von Boole-Morphismen verstehen, so dass die W-keit einem Grenzwert relativer Häufigkeit entspricht. Im Gegensatz zum Kollektiv sind hier aber eliminierende Effekte und hellserisches Verhalten möglich.

Bezug
                        
Bezug
Endl. Additivität Wahrs.inhalt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Fr 17.01.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das stimmt, in unserer Definition wird ein Inhalt auch
> über die paarweise Additivität bewiesen.

Du meinst: Definiert.
Aber dann ist doch nix zu zeigen?
Insofern ist deine Frage sinnfrei…

  

> In Altprüfungen habe ich nun noch den Hinweis gefunden,
> dass man die Additiviät über die Definition eines
> Quasikollektivs (oder Fastkollektivs) erlangen kann, wobei
> wir unter einem Quasikollektiv eine Folge von
> Boole-Morphismen verstehen, so dass die W-keit einem
> Grenzwert relativer Häufigkeit entspricht. Im Gegensatz
> zum Kollektiv sind hier aber eliminierende Effekte und
> hellserisches Verhalten möglich.

Aber nochmal: Es gibt nix zu beweisen, insofern ist deine Frage und damit auch der Ansatz hinfällig.

Daher: Wie lautet die Aufgabenstellung genau? So wie du sie formuliert hast, kann sie nicht lauten, denn dort ist nichts zu zeigen.

Gruß,
Gono

Bezug
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