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Forum "Integralrechnung" - Ellipse Volumen

Ellipse Volumen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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Ellipse Volumen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:35 Sa 02.01.2010
Autor:	alex12456

Aufgabe

 Zeige mit Hilfe der INtegralrechnung, dass für die Berechnung des Volumens eines Ellipsoides folgende Formel gilt:  V= [mm] \bruch{4}{3}*\pi* b^2*a. [/mm]  

hmm also.......ich hab erstmal die Funktion aufgestellt für die Ellipse
y= [mm] \bruch{b}{a}*\wurzel{a^2-x^2} [/mm]
nun wollt ich es durch integrieren herausfinden......
4* [mm] \pi *\integral_{0}^{a}{( \bruch{b}{a}*\wurzel{a^2-x^2})^2 dx} [/mm]
hmm ja schön und gut aber ich kann das irgendwie nicht aufleiten....
[mm] f(x)^2=( \bruch{b}{a}*\wurzel{a^2-x^2})^2 [/mm]
also =  [mm] (\bruch{b}{a})^2*a^2-x^2 [/mm]       oder da schon falsch?
nun gekürzt komme ich auf   [mm] b^2 [/mm] - [mm] \bruch{b^2x^2}{a^2} [/mm]
leite ich das auf komme ich AUF F(x) = b^2x-  [mm] \bruch{b^2x^3}{3a^2} [/mm]
so nun 4* [mm] \pi [/mm] * [F(x]  obere Grenze a untere = 0
[mm] [b^2 [/mm] *a - [mm] \bruch{b^2a^3}{3*a^2} [/mm] -0] *4 [mm] \pi [/mm]
hmm ja und da kommt nicht das richtige ergebnis raus.......
obwohl es raus kommen muss!
ich danke für Hilfe
lg

Bezug

Ellipse Volumen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:01 Sa 02.01.2010
Autor:	schachuzipus

Hallo Alex,

> Zeige mit Hilfe der INtegralrechnung, dass für die
> Berechnung des Volumens eines Ellipsoides folgende Formel
> gilt: V= [mm]\bruch{4}{3}*\pi* b^2*a.[/mm]
> hmm also.......ich hab erstmal die Funktion aufgestellt
> für die Ellipse
> y= [mm]\bruch{b}{a}*\wurzel{a^2-x^2}[/mm]

Das ist die obere Hälfte der Ellipse um den Ursprung mit x-Achsenabschnitt a

> nun wollt ich es durch integrieren herausfinden......
> 4* [mm]\pi *\integral_{0}^{a}{( \bruch{b}{a}*\wurzel{a^2-x^2})^2 dx}[/mm]

Woher kommt die 4?

Entweder berechnest du [mm] $V=\pi\cdot{}\int\limits_{-a}^{a}{\left[\frac{b}{a}\cdot{}\sqrt{a^2-x^2}\right]^2 \ dx}=\frac{b^2}{a^2}\cdot{}\pi\cdot{}\int\limits_{-a}^{a}{\left(a^2-x^2\right) \ dx}$ [/mm]

oder du betrachtest wegen der Symmetrie etwa nur den rechten Teil (so wie du angesetzt hast) und nimmst alles "mal 2"

Also [mm] $V=2\cdot{}\frac{b^2}{a^2}\pi\int\limits_0^{a}{\left(a^2-x^2\right) \ dx}$ [/mm]

Nun schnell alles ausrechnen, es haut hin ...

>
> hmm ja schön und gut aber ich kann das irgendwie nicht
> aufleiten....

Aua! Bitte nicht dieses Unwort. HAt dir der Lehrer das so gesagt?

Dann melde das dem Schulrat, dieses Wort gibt es nicht, es ist unschön, hässlich und unnütz.

Es heißt "integrieren" oder "eine Stammfkt bestimmen"

>  [mm]f(x)^2=( \bruch{b}{a}*\wurzel{a^2-x^2})^2[/mm]
>  also =
> [mm](\bruch{b}{a})^2*a^2-x^2[/mm]       oder da schon falsch?

Klammern wären gut!

Also [mm] $\left(f(x)\right)^2=\frac{b^2}{a^2}\cdot{}(a^2-x^2)$ [/mm]

Und multiplikative Konstante (hier [mm] $\frac{b^2}{a^2}$ [/mm] kannst du aus dem Integral ziehen - siehe oben)

>  nun gekürzt komme ich auf   [mm]b^2[/mm] - [mm]\bruch{b^2x^2}{a^2}[/mm]

die Klammern hast du also nur vergessen aufzuschreiben

> leite ich das auf

Hmmm

> komme ich AUF F(x) = b^2x- [mm]\bruch{b^2x^3}{3a^2}[/mm]

>  so nun 4* [mm]\pi[/mm] * [F(x]  obere Grenze a untere = 0
>   [mm][b^2[/mm] *a - [mm]\bruch{b^2a^3}{3*a^2}[/mm] -0] *4 [mm]\pi[/mm]
>  hmm ja und da kommt nicht das richtige ergebnis
> raus.......
>  obwohl es raus kommen muss!

s.o. rechne deine ermittelte Stammfkt "mal [mm] \red{2}\pi" [/mm]

>  ich danke für Hilfe
>  lg

Und bitte sag nicht mehr dieses "a"-Wort.

Gruß

schachuzipus

Bezug

Ellipse Volumen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:36 Sa 02.01.2010
Autor:	alex12456

Aufgabe

 danke ;)

stimmt, das war ein kleiner denkfehler......

mm noch ne frage, könnte ich das auch im Vergleich zur Kugelvolumenberechnung bestimmen, ja oder?

eile Ellipse ist ja sozusagen ein Kreis sobald a=b=r
also die fkt y= [mm] \wurzel{r^2-x^2} [/mm] wäre ja identisch mit der Fkt
y= [mm] \bruch{b}{a}* \wurzel{a^2-x^2} [/mm] falss r=a=b
also müsste ja auch das Volumen in dem Falle gleich sein.....
und V (kugel) ist bekannt V= [mm] \bruch{4}{3} \pi *r^3 [/mm]

nun fast identisch nur statt b und a steht [mm] r^3 [/mm]
nun aber das problem b und a zu bestimmen, wie würde ich das machen müssen? würde es dein überhaupt ein beweis sein?

Bezug

Ellipse Volumen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:45 Sa 02.01.2010
Autor:	schachuzipus

Hallo nochmal,

> danke ;)
> stimmt, das war ein kleiner denkfehler......

Das hatte ich vermutet ;-)

> mm noch ne frage, könnte ich das auch im Vergleich zur
> Kugelvolumenberechnung bestimmen, ja oder?

Na klar!

>
> eile Ellipse ist ja sozusagen ein Kreis sobald a=b=r
>  also die fkt  y= [mm]\wurzel{r^2-x^2}[/mm] wäre ja identisch mit
> der Fkt
>  y= [mm]\bruch{b}{a}* \wurzel{a^2-x^2}[/mm] falss r=a=b

> also müsste ja auch das Volumen in dem Falle gleich
> sein.....
> und V (kugel) ist bekannt V= [mm]\bruch{4}{3} \pi *r^3[/mm]

>
> nun fast identisch nur statt b und a steht [mm]r^3[/mm]
> nun aber das problem b und a zu bestimmen, wie würde ich
> das machen müssen?

Hier verstehe ich die Frage nicht!?

Das $r$ ist doch einfach der Radius des gegebenen Kreises ...

> würde es dein überhaupt ein beweis
> sein?

Klar, du hast ja das Integral bzw. das Volumen für den allg. Fall mit $a,b>0$ berechnet.

Der Fall $a=b=r$ ist nur ein Spezialfall, der damit abgedeckt ist.

Du hast berechnet: [mm] $V_{Ellipsoid}=\frac{4}{3}\cdot{}\pi\cdot{}b^2\cdot{}a$ [/mm]

Damit also mit $a=b=r$ dann [mm] $V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot{}\pi\cdot{}r^2\cdot{}r=\frac{4}{3}\cdot{}\pi\cdot{}r^3$ [/mm]

Gruß

schachuzipus

Bezug

Ellipse Volumen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:10 Sa 02.01.2010
Autor:	alex12456

Aufgabe

 ja stimmt, das der Spezialfall,

aber könnte ich an diesem Fall ohne Integrall Beweisen, das diese V den Volumen des Ellipsoides beschreibt?

das meinte ich mit wie bringe ich a =b=r in zusammenhang und verallgemeine es ohne Integralrechnung?

danke nochmal;)

Bezug

Ellipse Volumen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:32 Sa 02.01.2010
Autor:	MathePower

Hallo alex12456,

> ja stimmt, das der Spezialfall,
>  aber könnte ich an diesem Fall ohne Integrall Beweisen,
> das diese V den Volumen des Ellipsoides beschreibt?
>  das meinte ich mit wie bringe ich a =b=r in zusammenhang
> und verallgemeine es ohne Integralrechnung?

Nun, wenn sich die Ellipse um die x-Achse dreht,
hast Du einen Kreis mit dem Radius b, der sich
um diese Achse dreht.

Insofern hast im Volumen einen Faktor [mm]b^{2}[/mm].

Daher ergibt sich dann da Volumen zu [mm]V=\bruch{4}{3}*\pi*a*b^{2}[/mm]

>  danke nochmal;)

Gruss
MathePower

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