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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Di 21.02.2017 | | Autor: | Franzi17 |
| Aufgabe | | Sei A ∈ Matm(K) und λ ein Eigenwert von A. Zeigen Sie, dass λn ein Eigenwert von An ist f¨ur jede ganze Zahl n ≥ 1. |
Hallo!
ich bräuchte bitte einen kleinen Tipp, wie ich da anfangen soll.
ich weiss, dass A v = Lambda v gelten muss. Aber ich weiss nicht, wie ich das mit den Potenzen beweisen soll.
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Di 21.02.2017 | | Autor: | Franzi17 |
Sei A ∈ Matm(K) und λ ein Eigenwert von A. Zeigen Sie, dass λ^n ein Eigenwert von [mm] A^n [/mm] ist für jede ganze Zahl n ≥ 1.
Tut mir leid, es haben zwei Potenzzeichen gefehlt
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Hiho,
verwende doch bitte den Formeleditor für deine Formeln, so kann das ja kein Mensch lesen.
Du möchtest also Zeigen: ist [mm] $\lambda$ [/mm] Eigenwert von A so ist [mm] $\lambda^n$ [/mm] Eigenwert von [mm] $A^n$ [/mm] und eigentlich ist da nicht viel zu machen.
Was es bedeutet, dass [mm] $\lambda$ [/mm] Eigenwert von A ist, hast du ja bereits aufgeschreiben.
Beachte nun: $A^nv = [mm] A^{n-1}Av$ [/mm]
Wende den Schritt n-mal iterativ an oder verwende vollständige Induktion.
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Mi 22.02.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Franzi17,
mit dem Tipp von Gono ( [mm] A^{n}v [/mm] = [mm] A^{n-1}Av [/mm] und vollständige Induktion ) geht es ganz easy!
Zu zeigen ist folgende Behauptung: Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so ist [mm] \lambda^{n} [/mm] ein Eigenwert von [mm] A^{n}, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 bzw.
Gilt [mm] A\overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \lambda \overrightarrow{v}, [/mm] so gilt auch [mm] A^{n} \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \lambda^{n} \overrightarrow{v}, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
Induktionsanfang: n = 1
Es gilt [mm] A\overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \lambda \overrightarrow{v}, [/mm] da gemäß Voraussetzung [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von A ist.
Induktionvoraussetzung:
[mm] A^{n} \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \lambda^{n} \overrightarrow{v} [/mm] gelte für ein n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
Induktionsschritt: n -> n+1
Zu zeigen: [mm] A^{n+1} \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \lambda^{n+1} \overrightarrow{v}
[/mm]
Es ist nun [mm] A^{n+1} \overrightarrow{v} [/mm] = ...
jetzt du!
Viele Grüße,
X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Mi 22.02.2017 | | Autor: | Franzi17 |
Danke für die Hilfe!
Also:
[mm] A^{n+1}*v [/mm] = [mm] A^n*A*v [/mm] = [mm] A^n*L*v [/mm] = [mm] L^{n}*L*v [/mm] = [mm] L^{n+1}*v [/mm]
mit L meine ich Lambda, ich habe das Zeichen dafür nicht gefunden.
Stimmt das so? Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mi 22.02.2017 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die Hilfe!
> Also:
> [mm]A^{n+1}*v[/mm] = [mm]A^n*A*v[/mm] = [mm]A^n*L*v[/mm] = [mm]L^{n}*L*v[/mm] = [mm]L^{n+1}*v[/mm]
>
> mit L meine ich Lambda, ich habe das Zeichen dafür nicht
> gefunden.
>
> Stimmt das so?
Falsch ist das nicht, aber besser wäre:
[mm] A^{n+1}v=A^n(Av)=A^n(Lv)=LA^nv=L*L^nv=L^{n+1}v, [/mm]
wobei das vorletzte "=" mit der Induktionvor. folgt.
> Danke!
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