Eigenwert nur 0 und 1 < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:53 Di 20.04.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Sei $\ V $ ein Vektorraum und $\ [mm] \varphi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V $ ein Endomorphismus mit $\ [mm] \varphi^2 [/mm] = [mm] \varphi [/mm] $
Zeigen Sie, dass $\ [mm] \varphi$ [/mm] nur Eigenwerte $\ 0 $ und $\ 1 $ haben kann. |
Hallo,
zu Zeigen, dass $\ 1 $ ein Eigenwert von $\ [mm] \varphi [/mm] $ ist ging schnell.
Allerdings kann ich einfach nicht zeigen, dass $\ 0 $ ebenfalls Eigenwert sein muss. Im Gegenteil. Jedesmal, wenn ich das versuche, stoße ich auf einen Widerspruch.
Bsp:
$\ [mm] \varphi^2 [/mm] = [mm] \varphi [/mm] $
Es ist $\ [mm] \varphi(\varphi(v)) [/mm] = [mm] \varphi(v) \gdw \varphi(v) [/mm] = v $
$\ [mm] \lambda \in \IK [/mm] $ ist Eigenwert von $\ [mm] \varphi \gdw \varphi(v) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] v $ für $\ v [mm] \in \IK [/mm] $ und $\ v [mm] \not= [/mm] 0 $
Nach Voraussetzung ist
$\ [mm] \varphi(v) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] v $
$\ [mm] \gdw \varphi(v) [/mm] = [mm] \lambda \varphi(v) [/mm] $
$\ [mm] \gdw \varphi(v) [/mm] = [mm] \varphi(\lambda [/mm] v) $
$\ [mm] \gdw [/mm] v = [mm] \lambda [/mm] v $
$\ [mm] \gdw [/mm] v - [mm] \lambda [/mm] v = 0 $
$\ [mm] \gdw v(1-\lambda) [/mm] = 0 $
Das hat nur die Lösung $\ [mm] \lambda [/mm] = 1 $.
Für $\ [mm] \lambda [/mm] = 0 $ folgt $\ v = 0 $ was zum Widerspruch führt.
Wo liegt mein Fehler? Kann es sein, dass ich irgendwo heimlich durch Null geteilt hab? Das wär' übel.
Freue mich über Hilfe.
Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
> Sei [mm]\ V[/mm] ein Vektorraum und [mm]\ \varphi : V \to V[/mm] ein
> Endomorphismus mit [mm]\ \varphi^2 = \varphi[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\ \varphi[/mm] nur Eigenwerte [mm]\ 0[/mm] und [mm]\ 1[/mm] haben
> kann.
> Hallo,
>
> zu Zeigen, dass [mm]\ 1[/mm] ein Eigenwert von [mm]\ \varphi[/mm] ist ging
> schnell.
>
> Allerdings kann ich einfach nicht zeigen, dass [mm]\ 0[/mm]
> ebenfalls Eigenwert sein muss. Im Gegenteil. Jedesmal, wenn
> ich das versuche, stoße ich auf einen Widerspruch.
>
> Bsp:
>
> [mm]\ \varphi^2 = \varphi[/mm]
>
> Es ist [mm]\ \varphi(\varphi(v)) = \varphi(v) \gdw \varphi(v) = v[/mm]
>
> [mm]\ \lambda \in \IK[/mm] ist Eigenwert von [mm]\ \varphi \gdw \varphi(v) = \lambda v[/mm]
> für [mm]\ v \in \IK[/mm] und [mm]\ v \not= 0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nach Voraussetzung ist
> [mm]\ \varphi(v) = \lambda v[/mm]
> [mm]\ \gdw \varphi(v) = \lambda \varphi(v)[/mm]
>
> [mm]\ \gdw \varphi(v) = \varphi(\lambda v)[/mm]
> [mm]\ \gdw v = \lambda v[/mm]
> [mm]\ \gdw v - \lambda v = 0[/mm]
> [mm]\ \gdw v(1-\lambda) = 0[/mm]
>
> Das hat nur die Lösung [mm]\ \lambda = 1 [/mm].
>
> Für [mm]\ \lambda = 0[/mm] folgt [mm]\ v = 0[/mm] was zum Widerspruch
> führt.
>
> Wo liegt mein Fehler? Kann es sein, dass ich irgendwo
> heimlich durch Null geteilt hab? Das wär' übel.
Es ist [mm] $\varphi(v)=\lambda v=\varphi^2(v)=\varphi(\varphi(v))=\varphi(\lambda v)=\lambda\varphi(v)=\lambda(\lambda v)=\lambda^2 [/mm] v$
Also [mm] $\lambda^2 v=\lambda [/mm] v$ mit [mm] $v\neq [/mm] 0$
Damit ...
> Freue mich über Hilfe.
> Grüße
> ChopSuey
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:13 Di 20.04.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Morgen Schachuzipus,
> Hallo ChopSuey,
>
> > Sei [mm]\ V[/mm] ein Vektorraum und [mm]\ \varphi : V \to V[/mm] ein
> > Endomorphismus mit [mm]\ \varphi^2 = \varphi[/mm]
> >
> > Zeigen Sie, dass [mm]\ \varphi[/mm] nur Eigenwerte [mm]\ 0[/mm] und [mm]\ 1[/mm] haben
> > kann.
> > Hallo,
> >
> > zu Zeigen, dass [mm]\ 1[/mm] ein Eigenwert von [mm]\ \varphi[/mm] ist ging
> > schnell.
> >
> > Allerdings kann ich einfach nicht zeigen, dass [mm]\ 0[/mm]
> > ebenfalls Eigenwert sein muss. Im Gegenteil. Jedesmal, wenn
> > ich das versuche, stoße ich auf einen Widerspruch.
> >
> > Bsp:
> >
> > [mm]\ \varphi^2 = \varphi[/mm]
> >
> > Es ist [mm]\ \varphi(\varphi(v)) = \varphi(v) \gdw \varphi(v) = v[/mm]
> >
> > [mm]\ \lambda \in \IK[/mm] ist Eigenwert von [mm]\ \varphi \gdw \varphi(v) = \lambda v[/mm]
> > für [mm]\ v \in \IK[/mm] und [mm]\ v \not= 0[/mm]
> >
> > Nach Voraussetzung ist
> > [mm]\ \varphi(v) = \lambda v[/mm]
> > [mm]\ \gdw \varphi(v) = \lambda \varphi(v)[/mm]
>
> >
> > [mm]\ \gdw \varphi(v) = \varphi(\lambda v)[/mm]
> > [mm]\ \gdw v = \lambda v[/mm]
> > [mm]\ \gdw v - \lambda v = 0[/mm]
> > [mm]\ \gdw v(1-\lambda) = 0[/mm]
> >
> > Das hat nur die Lösung [mm]\ \lambda = 1 [/mm].
> >
> > Für [mm]\ \lambda = 0[/mm] folgt [mm]\ v = 0[/mm] was zum Widerspruch
> > führt.
> >
> > Wo liegt mein Fehler? Kann es sein, dass ich irgendwo
> > heimlich durch Null geteilt hab? Das wär' übel.
>
> Es ist [mm]\varphi(v)=\lambda v=\varphi^2(v)=\varphi(\varphi(v))=\varphi(\lambda v)=\lambda\varphi(v)=\lambda(\lambda v)=\lambda^2 v[/mm]
>
> Also [mm]\lambda^2 v=\lambda v[/mm] mit [mm]v\neq 0[/mm]
>
> Damit ...
Ahh, natürlich. Und doch habe ich's die ganze Zeit nicht gesehen 
Vielen Dank für Deine schnelle Hilfe!
>
> > Freue mich über Hilfe.
> > Grüße
> > ChopSuey
>
> LG
>
> schachuzipus
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Di 20.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\ V[/mm] ein Vektorraum und [mm]\ \varphi : V \to V[/mm] ein
> Endomorphismus mit [mm]\ \varphi^2 = \varphi[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass [mm]\ \varphi[/mm] nur Eigenwerte [mm]\ 0[/mm] und [mm]\ 1[/mm] haben
> kann.
> Hallo,
>
> zu Zeigen, dass [mm]\ 1[/mm] ein Eigenwert von [mm]\ \varphi[/mm] ist ging
> schnell.
Na, na, wenn [mm] \varphi= [/mm] 0 ist ,so ist 1 kein Eigenwert !
Für [mm] \varphi [/mm] mit [mm] \varphi= \varphi^2 [/mm] gilt:
[mm] \varphi \ne [/mm] 0 und [mm] \varphi \ne [/mm] id [mm] \gdw \varphi [/mm] hat die Eigenwerte 0 und 1
[mm] \varphi= [/mm] 0 [mm] \gdw \varphi [/mm] hat nur den Eigenwert 0
[mm] \varphi= [/mm] id [mm] \gdw \varphi [/mm] hat nur den Eigenwert 1
FRED
>
> Allerdings kann ich einfach nicht zeigen, dass [mm]\ 0[/mm]
> ebenfalls Eigenwert sein muss. Im Gegenteil. Jedesmal, wenn
> ich das versuche, stoße ich auf einen Widerspruch.
>
> Bsp:
>
> [mm]\ \varphi^2 = \varphi[/mm]
>
> Es ist [mm]\ \varphi(\varphi(v)) = \varphi(v) \gdw \varphi(v) = v[/mm]
>
> [mm]\ \lambda \in \IK[/mm] ist Eigenwert von [mm]\ \varphi \gdw \varphi(v) = \lambda v[/mm]
> für [mm]\ v \in \IK[/mm] und [mm]\ v \not= 0[/mm]
>
> Nach Voraussetzung ist
> [mm]\ \varphi(v) = \lambda v[/mm]
> [mm]\ \gdw \varphi(v) = \lambda \varphi(v)[/mm]
>
> [mm]\ \gdw \varphi(v) = \varphi(\lambda v)[/mm]
> [mm]\ \gdw v = \lambda v[/mm]
> [mm]\ \gdw v - \lambda v = 0[/mm]
> [mm]\ \gdw v(1-\lambda) = 0[/mm]
>
> Das hat nur die Lösung [mm]\ \lambda = 1 [/mm].
>
> Für [mm]\ \lambda = 0[/mm] folgt [mm]\ v = 0[/mm] was zum Widerspruch
> führt.
>
> Wo liegt mein Fehler? Kann es sein, dass ich irgendwo
> heimlich durch Null geteilt hab? Das wär' übel.
>
> Freue mich über Hilfe.
> Grüße
> ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Di 20.04.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
die Fälle $\ [mm] \varphi [/mm] = 0 $ und $\ [mm] \varphi [/mm] = id $ hab' ich garnicht in Betracht gezogen. Vielen Dank für die Hinweise!
Grüße
ChopSuey
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