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| Aufgabe | Die symmetrische (2x2)-Matrix A besitze den Eigenwert 0. Was folgt daraus?
a) A ist nicht diagonalisierbar
b) Der Nullvektor ist ein Eigenvektor von A
c) Der zweite Eigenwert von A ist trA = [mm] a_{11}+a_{22}
[/mm]
d) A ist invertierbar
e) A ist indefinit |
Hallo,
leider ist mal wieder eine Frage
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt aufgetaucht) - diesmal geht's um die angegebene Aufgabe.
Das habe ich mir bisher überlegt:
a) folgt nicht zwangsläufig daraus. Es kann ja auch einen 2ten Eigenwert geben, so dass A dann diagonalisierbar wäre.
b) Den Nullvektor zählt man doch garnicht zu den Eigenvektoren, oder!?
c) Okay, tr = Spur. Spur = Summe der Diagonalelemente auf der Hauptdiagonalen, also [mm] a_{11}+a_{22}= [/mm] Summe der Eigenwerte. Aber ich weiß doch nicht zwangsläufig, dass es einen zweiten Eigenwert geben muss, oder? (nur, dass es nicht mehr als 2 gibt). Wenn die Elemente der Hauptdiagnoalen [mm] a_{11}= [/mm] 0 und [mm] a_{22}=0 [/mm] sind, so könnte doch Eigenwert = 0 die einzige Lösung sein!?
d) Hier fehlt mir ein Ansatz.
e) indefinit wäre sie ja, wenn ein EW<0 und ein anderer >0 ist. Fällt also für Det=0 auch schon raus.
Ich glaube, dass alle Begründungen ausser c)und natürlich d) richtig sind wählen. c) soll wohl auch stimmen, aber kann mir jemand erklären, warum das gilt?
Vielen Dank für jede Hilfe im Voraus!
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> Die symmetrische (2x2)-Matrix A besitze den Eigenwert 0.
> Was folgt daraus?
> a) A ist nicht diagonalisierbar
> b) Der Nullvektor ist ein Eigenvektor von A
> c) Der zweite Eigenwert von A ist trA = [mm]a_{11}+a_{22}[/mm]
> d) A ist invertierbar
> e) A ist indefinit
> Hallo,
>
> leider ist mal wieder eine Frage
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt aufgetaucht) - diesmal geht's um
> die angegebene Aufgabe.
>
> Das habe ich mir bisher überlegt:
> a) folgt nicht zwangsläufig daraus. Es kann ja auch einen
> 2ten Eigenwert geben, so dass A dann diagonalisierbar
> wäre.
Nein das folgt nicht denn A ist auf jeden Fall diagonalisierbar, denn jede symmetrische reele Matrix ist diagonalisierbar. Das steht im Hauptachsentheorem.
> b) Den Nullvektor zählt man doch garnicht zu den
> Eigenvektoren, oder!?
Der Nullvektor ist niemals ein Eigenvektor.
> c) Okay, tr = Spur. Spur = Summe der Diagonalelemente auf
> der Hauptdiagonalen, also [mm]a_{11}+a_{22}=[/mm] Summe der
> Eigenwerte. Aber ich weiß doch nicht zwangsläufig, dass es
> einen zweiten Eigenwert geben muss, oder? (nur, dass es
> nicht mehr als 2 gibt). Wenn die Elemente der
> Hauptdiagnoalen [mm]a_{11}=[/mm] 0 und [mm]a_{22}=0[/mm] sind, so könnte doch
> Eigenwert = 0 die einzige Lösung sein!?
Diese Aussage ist richtig. Die Spur ist die Summe der Eigenwerte inklusive der Vielfachheiten. Schau mal hier
> d) Hier fehlt mir ein Ansatz.
Das kann man auch schick ueber die Determinante machen. Was heisst denn das 0 ein Eigenwert ist, dass heisst doch das [mm] det(\lambda-A)=0 [/mm] ist. Jetzt setzt mal Null fuer [mm] \lambda [/mm] ein. Was erhaelst du ?
> e) indefinit wäre sie ja, wenn ein EW<0 und ein anderer >0
> ist. Fällt also für Det=0 auch schon raus.
Indefinit ist sie wenn sie positive und negative eigenwerte hat. Die Definitheit haegt jetzt am zweiten Eigenwert. Ist der Positiv, so ist die Matrix positiv semitdefinit, ist der negativ so ist die Matrix negativ semidefinit. Also indefinit eher nicht :).
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> Ich glaube, dass alle Begründungen ausser c)und natürlich
> d) richtig sind wählen. c) soll wohl auch stimmen, aber
> kann mir jemand erklären, warum das gilt?
>
> Vielen Dank für jede Hilfe im Voraus!
Einen schoenen Tag (sorry ich hab keine Umlaute englische Tastatur :) )
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Hey,
Danke für die super Antwort! Gerade die Geschichte mit der Invertierbarkeit ist mir jetzt klar!
Allerdings verstehe ich immernoch nicht, wieso c) zwangsläufig gelten muss (mal angenommen, ich könnte die anderen nicht ausschließen). Kann es denn nicht sein, dass eine Matrix nur einen Eigenwert, nämlich 0 hat? Dann würde doch aus der Aufgabe nicht zwingend ein zweiter Eigenwert folgen... Gibt es da eine Faustregel zur Anzahl der Eigenwerte (wie etwas: Anz. EW [mm] \le [/mm] Anz. Zeilen)???
Nochmal Danke + Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Di 30.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Sei A = [mm] \pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] die gegebene sym. 2x2 Matrix.
Diese hat das char. Polynom (bitte nachrechnen)
p(t) = [mm] t^2-t(a+c) +ac-b^2
[/mm]
Ist 0 ein Eigenwert von A, so ist 0= p(0) = [mm] ac-b^2, [/mm] also
p(t) = [mm] t^2-t(a+c) [/mm] = t(t-(a+c)).
Jetzt siehst Du: eine weitere Nullstelle von p, also ein weiterer Eigenwert von A ist a+c = spur(A)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Sappsallap |
danke!
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