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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Di 05.01.2010 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | Ein Wanderer läuft in drei Stunden am Vormittag von Adorf nach Bestadt. Dort macht er bei einer deftigen Mahlzeit Mittagspause, um anschließend in ebenfalls drei Stunden den Rückweg zurückzulegen. Gibt es einen Ort (S) auf der Strecke, den er sowohl auf dem Hinweg als auch auf dem Ruckweg nach der selben Zeit erreicht?
Begründen Sie mit Eigenschaften stetiger Funktionen. |
Hallo,
ich komme mit dieser Textaufgabe nicht zurecht. Also ersteinmal meine Vorüberlegungen:
Die Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem Hinweg ist identisch mit der Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem Rückweg. Aber ist die Geschwindigkeit auch konstant? Wenn ja, befindet sich der Ort (S) genau auf der Hälfte der Strecke. Wenn die Geschwindigkeit nicht konstant ist, müsste die Weg-Zeit-Funktion im Punkt S (Bei t = 1,5h) Punktsymmetrisch sein.
Oder da der Anstieg der Weg-Zeit-Funktion nicht negativ werden kann, muss [mm] \Delta s_{1} [/mm] = [mm] \Delta s_{2} [/mm] sein, wobei [mm] t_{1}\in[0h;1,5h] [/mm] und [mm] t_{2} \in[1,5h;3h]
[/mm]
Wir haben ein Kompaktes Intervall gegeben.
Allerdings habe ich da jetzt noch keine Eigenschaften von stetigen Funktionen angewendet.
Aber mir ist soeben noch etwas eingefallen:
Da wir ein Kompaktes Intervall gegeben haben und die Weg-Zeit-Funktion streng monoton wachsend ist, existiert auch die inverse Funktion, was gleichbedeutend mit dem Rückweg ist und wenn sich diese beiden Funktionen bei t=1,5h schneiden, dann existiert der Ort (S).
Ich hoffe ihr könnt ein wenig Ordnung in mein Chaos bringen.
Natürlich habe ich diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Mfg
Doc
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Hallo Docci,
Du setzt mehr Voraussetzungen, als Dir gegeben sind. Das ist aber gar nicht nötig.
> Ein Wanderer läuft in drei Stunden am Vormittag von Adorf
> nach Bestadt. Dort macht er bei einer deftigen Mahlzeit
> Mittagspause, um anschließend in ebenfalls drei Stunden
> den Rückweg zurückzulegen. Gibt es einen Ort (S) auf
> der Strecke, den er sowohl auf dem Hinweg als auch auf dem
> Ruckweg nach der selben Zeit erreicht?
Aufgabendeutung: Die Zeitmessung beginnt jeweils am Anfang des Weges und endet am Ziel. Kann es sein, dass der Wanderer z.B. nach 47 Minuten auf dem Rückweg einen Punkt erreicht, den er auf dem Hinweg auch nach 47 Minuten erreicht hat? Na klar.
> Begründen Sie mit Eigenschaften stetiger Funktionen.
> Hallo,
> ich komme mit dieser Textaufgabe nicht zurecht. Also
> ersteinmal meine Vorüberlegungen:
>
> Die Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem Hinweg ist
> identisch mit der Durchschnittsgeschwindigkeit auf dem
> Rückweg.
Ja, schon...
> Aber ist die Geschwindigkeit auch konstant?
Bestimmt nicht. Das wäre ja die Mutter aller Langweileraufgaben. Schon in der siebten Klasse würden ganze Schulklassen darüber einschlafen.
> Wenn
> ja, befindet sich der Ort (S) genau auf der Hälfte der
> Strecke. Wenn die Geschwindigkeit nicht konstant ist,
> müsste die Weg-Zeit-Funktion im Punkt S (Bei t = 1,5h)
> Punktsymmetrisch sein.
Wieso das denn? Und wieso sollte der Punkt S gerade bei t=1,5h liegen? Das ist nicht gegeben.
> Oder da der Anstieg der Weg-Zeit-Funktion nicht negativ
> werden kann,
Warum nicht? Vielleicht geht der Wanderer ja mal ein Stück zurück, um zu pinkeln oder eine Blume zu fotografieren, ein Auto anzuschieben oder weil er nicht mehr sicher ist, auf dem richtigen Weg zu sein oder oder oder...
> muss [mm]\Delta s_{1}[/mm] = [mm]\Delta s_{2}[/mm] sein, wobei
> [mm]t_{1}\in[0h;1,5h][/mm] und [mm]t_{2} \in[1,5h;3h][/mm]
Nee, vergiss das.
> Wir haben ein Kompaktes Intervall gegeben.
Das klingt schon besser.
> Allerdings habe ich da jetzt noch keine Eigenschaften von
> stetigen Funktionen angewendet.
Das kann ich nur bestätigen.
> Aber mir ist soeben noch etwas eingefallen:
> Da wir ein Kompaktes Intervall gegeben haben und die
> Weg-Zeit-Funktion streng monoton wachsend ist,
Muss sie nicht sein. Das ist nicht gegeben.
> existiert
> auch die inverse Funktion,
Die brauchst Du nicht. Nimm einfach an, es gibt keine inverse Funktion.
> was gleichbedeutend mit dem
> Rückweg ist
...und das wäre sowieso falsch.
> und wenn sich diese beiden Funktionen bei
> t=1,5h schneiden, dann existiert der Ort (S).
Neinneinnein.
> Ich hoffe ihr könnt ein wenig Ordnung in mein Chaos
> bringen.
> Natürlich habe ich diese Frage in keinem anderen Forum
> gestellt.
> Mfg
> Doc
Sorry, bin gerade mal durch meine Arbeit abgehalten worden. 
Zeichne Dir mal ein t-s-Diagramm, also t auf der Abszisse, s auf der Ordinate. Setze den Beginn des Hinwegs in den Ursprung des Koordinatensystems. Das Ziel liegt dann bei [mm] (t_1,s_1), [/mm] wobei wir noch wissen: [mm] t_1=3 [/mm] Stunden. Das ist aber eigentlich egal.
Der Rückweg beginnt dann bei [mm] (0,s_1) [/mm] und führt nach [mm] (t_1,0).
[/mm]
Denk Dir nun irgendwelche Funktionen aus, die die beiden Wege darstellen.
Die Frage ist nun: werden sie sich irgendwo schneiden?
Sei die Hinwegsfunktion, von der nur zwei Werte bekannt sind, f(x), und die Rückwegsfunktion, ebenfalls mit zwei bekannten Werten, g(x).
Bekannt sind: [mm] g(0)-f(0)=s_1 [/mm] und [mm] g(t_1)-f(t_1)=-s_1
[/mm]
Die Frage von oben heißt für die Differenzfunktion: hat sie irgendwo eine Nullstelle bei [mm] t_0 [/mm] mit [mm] f(t_0)=0 [/mm] und [mm] 0
Da sollte ein Satz über stetige Funktionen in den Ohren klingeln...
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Di 05.01.2010 | | Autor: | Docci |
da war ich ja weit weg vom richtigen weg, aus irgend einem unerfindlichen grund, bin ich davon ausgegangen, dass der zurückgelegte weg ebenfalls gleich sein soll.
so ist natürlich alles klar, nur noch eine kleine sache...das müsste dann [mm] g(t_{0})-f(t_{0})=0 [/mm] sein, könnte man auch als eine neue stetig zusammengesetzte funktion h(t) definieren mit [mm] h(t_{0})=0
[/mm]
vielen dank!
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