Eigenschaften der Inversen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Spencer |
| Aufgabe | | (a [mm] \circ [/mm] b)^-1 = b^-1 [mm] \circ [/mm] a^-1 |
Kann mir jemand ein Tipp geben! Ich soll mit hilfe der Gruppenaxiome das beweisen soll !
Gruß
Spencer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Sa 05.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Spencer!
(pun intended?)
> (a [mm]\circ[/mm] b)^-1 = b^-1 [mm]\circ[/mm] a^-1
> Kann mir jemand ein Tipp geben! Ich soll mit hilfe der
> Gruppenaxiome das beweisen soll !
Schau dir doch mal die Axiome an. Damit [mm] $b^{-1} \circ a^{-1}$ [/mm] das Inverse von $a [mm] \circ [/mm] b$ ist, muss doch gelten $(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ (b^{-1} \circ a^{-1}) [/mm] = e = [mm] (b^{-1} \circ a^{-1}) \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b)$. Sprich, du hast zwei Gleichheiten die du nachpruefen musst. Leg doch mal los!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Spencer |
hmm also ich hätte eher den beweis so angefangen
e [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b)^-1 dann hätte ich e umgeformt
a^-1 [mm] \circ [/mm] a (a [mm] \circ [/mm] b)^-1 und dann so lange umgeformt bis eben b^-1 [mm] \circ [/mm] a^-1 rauskommt
bin mir nur nicht sicher ob man noch ein e braucht um dahinzukommen !?
gruß
Spencer
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Hallo Spencer,
Das, was Felix dir geschrieben hat, ist doch gerade die ![[]](/images/popup.gif) Definition des inversen Elementes einer Gruppe. Und laut dem, was du beweisen sollst, hat dieses inverse Element zwei Darstellungen, die äquivalent sind [mm](a\circ b)\circ(a\circ b)^{-1} = (a\circ b)^{-1}\circ(a\circ b)\Leftrightarrow \texttt{``siehe Felix Antwort''}[/mm].
Siehe dir doch mal das Assoziativgesetz einer Gruppe an:
[mm](a\circ b)\circ\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)=\textcolor{blue}{(\textcolor{black}{a\circ b})}\circ\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)=\textcolor{red}{(\textcolor{black}{a\circ b})}\circ\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)[/mm]
[mm]=a\circ\textcolor{red}{\left(\textcolor{black}{b\circ\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)}\right)}=a\circ\textcolor{blue}{\left(\textcolor{black}{b\circ\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)}\right)}=a\circ\left(b\circ\left(b^{-1}\circ a^{-1}\right)\right)=a\circ\left(b\circ\textcolor{blue}{\left(\textcolor{black}{b^{-1}\circ a^{-1}}\right)}\right)=\dotsm[/mm]
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 So 06.12.2009 | | Autor: | Spencer |
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 So 06.12.2009 | | Autor: | Spencer |
würde das ganze dann so aussehen !?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 So 06.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
es wäre schöner aufgeschrieben, wenn die Gleichung, die Du zeigen sollst, auch in einer Gleichungskette stünde. Das nur als Randbemerkung. Ich zeige Dir dies mal zum Schluss der Antowrt.
Die erste Zeile enthält ja nur Deine Behauptung. In der zweiten Zeile hast Du ja bereits 2 Mal das Assozientivgesetz angewendet und hast dies zudem verschwiegen. Insbesondere verschweigst Du alles, was Du anwendest. Mit anderen Worten solltest Du wesentlich präziser arbeiten und Deine Rechenschritte begründen. Deine generelle Vorgehensweise ist aber sehr richtig. Ich zeige Dir mal, wie es für die eine Gleichung aussehen sollte:
[mm] $(a\circ b)\circ(b^{-1}\circ a^{-1})$
[/mm]
[mm] $=a\circ(b\circ(b^{-1}\circ a^{-1}))$ [/mm] (wegen Assoziativgesetz)
[mm] $=a\circ((b\circ b^{-1})\circ a^{-1})$ [/mm] (wegen Assoziativgesetz)
[mm] $=a\circ(e\circ a^{-1})$ [/mm] (wegen Inverselement, d.h. [mm] $b^{-1}$ [/mm] Inverse von $b$)
[mm] $=a\circ a^{-1}$ [/mm] (wegen Neutralelement)
$=e$
Lieben Gruß
Denny
Die andere Gleichung folgt analog.
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> es wäre schöner aufgeschrieben, wenn die Gleichung, die
> Du zeigen sollst, auch in einer Gleichungskette stünde.
> Das nur als Randbemerkung. Ich zeige Dir dies mal zum
> Schluss der Antowrt.
Hallo,
auch von mir noch eine Randbemerkung:
noch viel schöner wäre es gewesen, wäre Deine, Spencers, Rechnung hier nicht eingescannt gewesen.
Dann hätte nämlich Denny, welcher Dir geholfen hat, nicht auch noch die Mühe des Tippens gehabt, weil er hätte dazwischenschreiben, löschen, kopieren können.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 So 06.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
> (...)
> Dann hätte nämlich Denny, welcher Dir geholfen hat,
> nicht auch noch die Mühe des Tippens gehabt, weil er
> hätte dazwischenschreiben, löschen, kopieren können.
@Spencers: Ja für die Zukunft solltest Du das tatsächlich tun. In diesem Fall waren es glücklicherweise nicht so viele Zeilen, die ich tippen musste. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 So 06.12.2009 | | Autor: | Spencer |
ok wird gemacht !
gruß
Spencer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 So 06.12.2009 | | Autor: | Spencer |
gut die Begründungen hab ich nicht hingeschrieben da wir dafür Gruppenaxiomsabkürzungen haben die euch ja nicht viel sagen .... werden aber von mir noch eingefügt!
Genau zu dem Einwand "die erste Zeile enthält nur meine Behauptung" hab ich noch eine Frage! Und zwar die orginal Aufgabe hieß
(a [mm] \circ [/mm] b)^-1 = b^-1 [mm] \circ [/mm] a^-1
müsste ich nicht am Ende es Beweises auf der rechten Seite herauskommen, sodass dann am Ende da steht
(a [mm] \circ [/mm] b)^-1=
.
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. Beweisschritte
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.
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= b^-1 [mm] \circ [/mm] a^-1
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> Genau zu dem Einwand "die erste Zeile enthält nur meine
> Behauptung" hab ich noch eine Frage! Und zwar die orginal
> Aufgabe hieß
>
> (a [mm]\circ[/mm] b)^-1 = b^-1[mm]\circ[/mm]a^-1
>
> müsste ich nicht am Ende es Beweises auf der rechten Seite
> herauskommen, sodass dann am Ende da steht
>
>
> (a[mm]\circ[/mm]b)^-1=
> .
> .
> .
> .
> . Beweisschritte
> .
> .
> .
>
> = b^-1 [mm]\circ[/mm] a^-1
>
Hallo,
hier hilft es sich klarzumachen, was "(a[mm]\circ[/mm][mm] b)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1}[/mm] [mm]\circ[/mm][mm] a^{-1} [/mm] " in Worten heißt:
Das Inverse zu a[mm]\circ[/mm]b ist [mm] b^{-1}[/mm] [mm]\circ[/mm][mm] a^{-1} [/mm] .
Wie erkennt man, daß ein Element das Inverse von a [mm]\circ[/mm] b ist? Daran, daß sie miteinander verknüpft das neutrale Element ergeben.
Also muß man (a[mm]\circ[/mm][mm] b)\circ (b^{-1}[/mm] [mm]\circ[/mm][mm] a^{-1} [/mm] ) ausrechnen, und wenn am Ende e herauskommt, dann weiß man, daß [mm] b^{-1}[/mm] [mm]\circ[/mm][mm] a^{-1} [/mm] das Inverse zu a[mm]\circ[/mm]b ist. In Zeichen: [mm] b^{-1}[/mm] [mm]\circ[/mm][mm] a^{-1} [/mm] =(a[mm]\circ[/mm][mm] b)^{-1}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 So 06.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
Also Du weißt, dass für ein Element [mm] $a\circ [/mm] b$ aus Deiner Gruppe die Eigenschaft des Inversen Elements erfüllt ist
[mm] $(a\circ b)^{-1}\circ(a\circ b)=e=(a\circ b)\circ(a\circ b)^{-1}$
[/mm]
und dass dieses inverse Element [mm] $(a\circ b)^{-1}$ [/mm] eindeutig ist (!!!), d.h. es gibt nur ein solches Element mit der obigen Eigenschaft. Nun hast Du aber gezeigt, dass das Element [mm] $(b^{-1}\circ a^{-1})$ [/mm] (das offenbar auch ein Element Deiner Gruppe ist) die Eigenschaft
[mm] $(b^{-1}\circ a^{-1})\circ(a\circ b)=e=(a\circ b)\circ(b^{-1}\circ a^{-1})$
[/mm]
erfüllt, d.h. ein inverses Element zu [mm] $(a\circ [/mm] b)$ ist. Wegen der Eindeutigkeit des Inversen Elements (d.h. es gibt nur ein einziges) folgt nun aber, dass diese gleich sein müssen, d.h.
[mm] $(a\circ b)^{-1}=(b^{-1}\circ a^{-1})$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 So 06.12.2009 | | Autor: | Spencer |
ok danke jetzt hab ich es verstanden !
gruß
Spencer
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