Ebene: Koord.- zu Param.darst. < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Fr 25.04.2008 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | Es sei [mm] \Pi [/mm] eine Ebene im [mm] E^3 [/mm] durch die Gleichung
[mm] n_0+n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=0
[/mm]
beschrieben. Formen sie den Ausdruck in die Parameterdarstellung von [mm] \Pi [/mm] um. |
Hallo.
Diese Aufgabe sieht eigentlich recht einfach aus, aber den Trick, den man hier finden muss erkenn ich irgendwie nicht. Man muss also eine allgemeine Formel herleiten, die also auch Spezialfälle, wie [mm] n_1=n_2=0 [/mm] berücksichtigt. Alle meine Ansätze berücksichtigen das nicht.
Also mein Ansatz:
u,v Aufspannvektoren der Ebene und A der Aufpunkt. Es muss gelten:
[mm] A\in\Pi
[/mm]
u*n=v*n=0 wobei [mm] u,v\ne0 [/mm] und u und v linear unabhängig.
DIe Bedingung mit Skalarprodukt ist 0 ist offensichtlich für [mm] u=\vektor{-2n_2n_3 \\ n_1n_3 \\ n_1n_2} [/mm] und [mm] v=\vektor{n_2n_3 \\ -2n_1n_3 \\ n_1n_2} [/mm] erfüllt. Linear unabhängig sind die auch und hab mal eine Probe gemacht und komme auf:
[mm] u\times v=3n_1n_2n_3*n
[/mm]
Offensichtlich gibt es da Schwierigkeiten wenn ein [mm] n_i=0 [/mm] ist. Andere Versuche haben auch nicht geklappt.
Kann mir vielleicht jemand einen Tip geben?
Schonmal vielen Dank.
Max
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
auch wenn du es nicht extra erwähnt hast, weist du sicher, dass
[mm] \vec{n}=\vektor{n_1\\n_2\\n_3} [/mm] der Normalenvektor der Ebene ist.
Die beiden Senkrechten sind einfacher als deine, wenn du zwei Koord. tauschst, eine davon auf negativ und die dritte Koord. dann auf 0 setzt.
also [mm] \vektor{n_2\\-n_1\\0}, \vektor{0\\n_3\\-n_2} [/mm] usw.
Einen Stützvektor findet man, indem man zwei Koord. auf 0 setzt.
z.B. [mm] n_0+n_1*0+n_2*0+n_3x_3=0 \gdw x_3=\bruch{-n_0}{n_3}
[/mm]
Das klappt immer, da nie alle drei [mm] n_1,n_2 [/mm] und [mm] n_3 [/mm] gleichzeitig 0 sein können. (Warum ?)
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 So 27.04.2008 | | Autor: | max3000 |
Hallo. Danke erstmal, aber wie sieht es denn zum Beispiel bei einer Ebene der Form
[mm] n_3*x_3=-n_0
[/mm]
aus?
Da ist ja [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2 [/mm] gleich 0. Da bekommt man ja auch Probleme bei deinem angegebenen Beispiel. Ich glaub so einfach ist das nicht gemacht, da muss was ganz allgemeines her.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Stützvektor:
[mm] x_1=x_2=0 [/mm] , [mm] x_3=\frac{-n_0}{n_3}
[/mm]
Richtungvektoren:
[mm] \vektor{n_3\\0 \\-0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\n_3 \\-0} [/mm] (wobei natürlich -0=0 )
Das klappt immer.
Du musst nur noch begründen weshalb.
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mo 28.04.2008 | | Autor: | max3000 |
Das klappt eben nicht immer. Sei jetzt mal die Ebene definiert durch
[mm] x_1=3
[/mm]
Dann ist [mm] n_1=1 [/mm] und [mm] n_2=n_3=0
[/mm]
Da bekommst du für deinen Stützvektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ \bruch{3}{0}}
[/mm]
und für deine Aufspannvektoren
[mm] u=v=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Das klappt alles nicht.
Für den Stützvektor hab ich ein Ergebnis. Mit dem Ansatz [mm] a=\lambda*n [/mm] kommt man nach einsetzen in die Gleichung auf
[mm] n_0+\lambda(n_1^2+n_2^2+n_3^2)=0
[/mm]
Damit [mm] \lambda [/mm] ausrechnen und in den Ansatz einsetzen. Das geht dann wirklich für jeden Fall. Nur mit den Aufspannvektoren bin ich mir nicht sicher. Da findet sich so eine Darstellung, die alle Spezialfälle mit berücksichtigt, nicht so einfach.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Klar, dass dann [mm] x_1=\frac{-n_0}{n_1} [/mm] , also Stützvektor [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
und Aufspannvektoren [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Es gibt doch immer eine Koordinate i des Normalenvektors, die [mm] \not= [/mm] 0 ist. Dann muss man nach [mm] x_i [/mm] umstellen, und Koordinate i mit den Anderen tauschen.
Aber, ok.
[mm] n_1^2+n_2^2+n_3^2=|n|^2
[/mm]
Also [mm] a=-n_0*\frac{n}{|n|^2}.
[/mm]
Für die Aufspannvektoren brauchst du einen Vektor [mm] v_{} [/mm] der [mm] \not=n [/mm] ist.
Danach könntest du [mm] r_1=n\times v_{} [/mm] und [mm] r_2=n\times r_1 [/mm] setzen.
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Di 29.04.2008 | | Autor: | max3000 |
Gute Idee, aber auch das klappt irgendwie nicht.
Zum Beispiel für [mm] v=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] find ich auch wieder ein Gegenbeispiel, für das es nicht klappt und zwar [mm] n_1=n_2=n_3.
[/mm]
Ich glaube langsam es ist gar nicht möglich eine ganz allgemeine Formel zu finden. So wie es in der Aufgabenstellung steht bin ich aber der Meinung, das das verlangt ist. Naja, da werd ich eben eine Fallunterscheidung aufschreiben müssen, dann geht das auch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Ja, das war etwas ungenau.
Statt [mm] v\not= [/mm] n sollte das v linear unabhängig von n heißen.
Ciao.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Mi 30.04.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
1. Löse die Koordinatenform nach irgendeiner der 3 Variablen auf.
2. Schreibe die Identitäten für die anderen beiden Variablen dazu.
3. Sortiere die Gleichungen in der Reihenfolge der Variablen untereinander
4. Schreibe gleiche Variablen übersichtlich untereinander
5. Ergänze den Faktor 1, wo eine Variable allein steht und den Summanden 0, wo sonst nicht steht.
6. Jetzt nur noch einmal die Augen reiben und ganz scharf hinschauen.
Voila... da ist sie...
LG
Will
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