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| Aufgabe | Es sein [mm] \Omega [/mm] eine nichtleere Menge und [mm] \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega). [/mm] Zeigen sie: [mm] \mathcal{A} [/mm] ist genau dann ein Dynkin-System, wenn gilt
i) [mm] \Omega \in \mathcal{A}
[/mm]
ii) für A,B [mm] \in \mathcal{A} [/mm] mit A [mm] \subset [/mm] B ist [mm] B\backslash [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
iii) für [mm] (A_n) \subset \mathcal{A} [/mm] mit [mm] A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset [/mm] ... ist [mm] \bigcup_{n \in \IN}A_n \in \matcal{A} [/mm] |
Hallo zusammen,
habe zwar in diesem Forum die gleiche Aufgabe schon größtenteils bearbeitet gefunden, verstehe aber einfach den Sinn dahinter nicht so.
Denn wenn ich die Definition vom Dynkin-System nachschlage, finde ich genau die 3 Axiome der Aufgabenstellung. Einziger Unterschied liegt im ersten Satz bei "genau dann, wenn"...
Kann mir also jemand sagen was ich hier machen muss und wieso? Würde es gerne erstmal verstehen bevor ich mich an die einzelnen Schritte mache.
Vielen Dank
kaykay_22
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Hallo,
> Es sein [mm]\Omega[/mm] eine nichtleere Menge und [mm]\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega).[/mm]
> Zeigen sie: [mm]\mathcal{A}[/mm] ist genau dann ein Dynkin-System,
> wenn gilt
> i) [mm]\Omega \in \mathcal{A}[/mm]
> ii) für A,B [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
> mit A [mm]\subset[/mm] B ist [mm]B\backslash[/mm] A [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
> iii)
> für [mm](A_n) \subset \mathcal{A}[/mm] mit [mm]A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset[/mm]
> ... ist [mm]\bigcup_{n \in \IN}A_n \in \matcal{A}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
>
> habe zwar in diesem Forum die gleiche Aufgabe schon
> größtenteils bearbeitet gefunden, verstehe aber einfach
> den Sinn dahinter nicht so.
> Denn wenn ich die Definition vom Dynkin-System
> nachschlage, finde ich genau die 3 Axiome der
> Aufgabenstellung. Einziger Unterschied liegt im ersten Satz
> bei "genau dann, wenn"...
> Kann mir also jemand sagen was ich hier machen muss und
> wieso? Würde es gerne erstmal verstehen bevor ich mich an
> die einzelnen Schritte mache.
Na, du sollst zeigen, dass eure Definition eines Dynkinsystems aus der Vorlesung äquivalent zu dieser ist.
Wie lautet eure Definition?
Leite die Kriterien, die hier stehen aus denen, die ihr für ein D-System definiert habt, her und umgekehrt ...
>
> Vielen Dank
> kaykay_22
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:28 Fr 03.01.2014 | | Autor: | kaykay_22 |
Ja das ist eben das Problem... Unsere Definiton und die Aufgabenstellung sind mir zu ähnlich bzw. sehen für mich sogar gleich aus.
Wir haben:
Ein System [mm] \mathcal{D} [/mm] von Teilmengen einer Menge [mm] \Omega [/mm] heißt ein Dynkin-System, wenn es folgende Eigenschaften besitzt:
i) [mm] \Omega \in \mathcal{D}
[/mm]
ii) aus D,E [mm] \in \mathcal{D}, [/mm] D [mm] \subset [/mm] E folgt [mm] E\backslash [/mm] D [mm] \in \mathcal{D}
[/mm]
iii) für jede Folge [mm] (D_n) [/mm] paarweise fremder Mengen aus [mm] \mathcal{D} [/mm] liegt [mm] \bigcup_{n \in \IN}D_n [/mm] in [mm] \mathcal{D}
[/mm]
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Hallo nochmal,
das unterscheidet sich doch in (iii) erheblich ...
Es gilt das zu tun, was ich in der ersten Antwort schrieb ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Fr 03.01.2014 | | Autor: | kaykay_22 |
Okay stimmt, aber i) und ii) sind genau gleich, oder sehe ich das falsch?
Wenn diese Axiome wirklich gleich sind, könnte ich ja beide Male auf die Def. verweisen.
Danke
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Hallo nochmal,
> Okay stimmt, aber i) und ii) sind genau gleich, oder sehe
> ich das falsch?
> Wenn diese Axiome wirklich gleich sind, könnte ich ja
> beide Male auf die Def. verweisen.
Ja, es geht nur darum, jeweils aus der einen Definition bzw. Charakterisierung den Punkt (iii) der anderen zu folgern (und umgekehrt)
>
> Danke
Gruß
schachuzipus
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Okay danke jetzt ist das für mich logisch.
Zeige also erst die Hinrichtung:
[mm] \Rightarrow: [/mm] Es gilt also i-iii) der Definition: Also für jede Folge paarweise disjunkter Mengen aus [mm] \mathcal{D} [/mm] liegt [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}D_n [/mm] in [mm] \mathcal{D}.
[/mm]
z.z. also iii) aus der Aufgabenstellung.
Da gilt [mm] A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset [/mm] ... folgt
[mm] A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup [/mm] ... = [mm] A_1 \cup (A_2\backslash A_1) \cup (A_3\backslash A_2) \cup [/mm] ...
da [mm] A_1 [/mm] und die jeweils folgenden Glieder [mm] (A_2\backslash A_1), (A_3\backslash A_2), [/mm] ... paarweise disjunkt sind und genau diese Mengendifferenzen nach ii) in [mm] \mathcal{A} [/mm] liegen, gilt die Behauptung.
Stimmt das? Fehlt also noch die Rück-Richtung...
[mm] \Leftarrow: [/mm] Für [mm] (A_n) \subset \mathcal{A} [/mm] mit [mm] A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset [/mm] ... gilt [mm] \bigcup_{n \in \IN}A_n \in \mathcal{A}
[/mm]
usw.
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Hiho,
> Da gilt [mm]A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset[/mm] ... folgt [mm]A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup[/mm] ... = [mm]A_1 \cup (A_2\backslash A_1) \cup (A_3\backslash A_2) \cup[/mm]
> da [mm]A_1[/mm] und die jeweils folgenden Glieder [mm](A_2\backslash A_1), (A_3\backslash A_2),[/mm] ... paarweise disjunkt sind und genau diese Mengendifferenzen nach ii) in [mm]\mathcal{A}[/mm] liegen, gilt die Behauptung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Stimmt das? Fehlt also noch die Rück-Richtung...
Jop, dann mal los.
Gruß,
Gono.
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| Aufgabe | Def. Dynkin System Ergänzung
2.2) D [mm] \in \mathcal{D} \Rightarrow D^c \in \mathcal{D} [/mm] |
Hallo zusammen,
hatte oben bei meiner Definiton doch den Punkt 2.2 falsch geschrieben. Muss also für ii) in der Aufgabenstellung das "genau dann wenn" auch noch beweisen.
[mm] \Rightarrow:
[/mm]
z.z. ii) aus Aufgabenstellung.
B [mm] \backslash [/mm] A = B [mm] \cap A^c [/mm] = [mm] (B^c \cup A)^c \in \mathcal{A}
[/mm]
das iii) aus der Aufgabenstellung habe ich in einer Antwort oben schon gezeigt.
Stimmt der Beweis von ii)?
Nun also die Rückrichtung
[mm] \Leftarrow: [/mm] es gelte i)-iii) aus Aufgabenstellung
z.z. A [mm] \in \mathcal{A} \Rightarrow A^c \in \mathcal{A}
[/mm]
[mm] A^c [/mm] = [mm] \Omega \backslash [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}, [/mm] nach ii) da [mm] \Omega \in \mathcal{A} [/mm] und A [mm] \subset \Omega
[/mm]
Jetzt endlich zum Entscheidenden
z.z. [mm] (D_n) \subset \mathcal{D} [/mm] paarweise disjunkt [mm] \Rightarrow \bigcup_{n \in \IN}D_n \in \mathcal{D}
[/mm]
[mm] \bigcup_{n \in \IN}D_n [/mm] = [mm] D_1 \cup D_2 \cup D_3 \cup [/mm] ....
Und hier hänge ich. Will also diese Vereinigung der [mm] D_n [/mm] irgendwie umschreiben, ich denke mal als Komplemente oder so... Ziel ist es ja dass ich eine Vereinigung hab von Mengen, bei der jeweils die eine Menge in der nachfolgenden liegt.
Hat mir jemand einen Tipp? Vielen Dank!
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Hiho,
> [mm]\Rightarrow:[/mm]
> z.z. ii) aus Aufgabenstellung.
> B [mm]\backslash[/mm] A = B [mm]\cap A^c[/mm] = [mm](B^c \cup A)^c \in \mathcal{A}[/mm]
Was willst du jetzt eigentlich zeigen?
Dass für $A [mm] \subset [/mm] B auch [mm] B\setminus [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] unter Verwendung von $D [mm] \in \mathcal{A} \Rightarrow D^c\in \mathcal{A}$?
[/mm]
Dann solltest du noch Begründen, warum [mm] $B^c \cup [/mm] A$ ebenfalls in A liegt.
> Stimmt der Beweis von ii)?
Mit den Anmerkungen ja.
> Und hier hänge ich. Will also diese Vereinigung der [mm]D_n[/mm]
> irgendwie umschreiben, ich denke mal als Komplemente oder so... Ziel ist es ja dass ich eine Vereinigung hab von Mengen, bei der jeweils die eine Menge in der nachfolgenden liegt.
Korrekt, versuchs mal mit [mm] $A_n [/mm] = [mm] \bigcup_{k=1}^n D_k$
[/mm]
Gruß,
Gono.
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> > [mm]\Rightarrow:[/mm]
> > z.z. ii) aus Aufgabenstellung.
> > B [mm]\backslash[/mm] A = B [mm]\cap A^c[/mm] = [mm](B^c \cup A)^c \in \mathcal{A}[/mm]
>
> Was willst du jetzt eigentlich zeigen?
> Dass für [mm]A \subset B auch B\setminus A \in \mathcal{A}[/mm]
> unter Verwendung von [mm]D \in \mathcal{A} \Rightarrow D^c\in \mathcal{A}[/mm]?
>
> Dann solltest du noch Begründen, warum [mm]B^c \cup A[/mm]
> ebenfalls in A liegt.
Danke, das habe ich natürlich auf meinem Aufgabenblatt schon dabeistehen.
> > Und hier hänge ich. Will also diese Vereinigung der [mm]D_n[/mm]
> > irgendwie umschreiben, ich denke mal als Komplemente oder
> so... Ziel ist es ja dass ich eine Vereinigung hab von
> Mengen, bei der jeweils die eine Menge in der nachfolgenden
> liegt.
>
> Korrekt, versuchs mal mit [mm]A_n = \bigcup_{k=1}^n D_k[/mm]
Ja ich habe jetzt eben
[mm] \bigcup_{k=1}^n D_k [/mm] = [mm] D_1 \cup D_2 \cup D_3 \cup [/mm] ...
Und eben diese [mm] D_n [/mm] sind ja alle disjunkt. Ich will aber für diese Vereinigung eine andere Schreibweise finden. Sodass ich irgendwann [mm] A_1 \subset A_2 \subset A_3 [/mm] ... aus iii) anwenden kann.
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Hiho,
> Und eben diese [mm]D_n[/mm] sind ja alle disjunkt. Ich will aber
> für diese Vereinigung eine andere Schreibweise finden.
> Sodass ich irgendwann [mm]A_1 \subset A_2 \subset A_3[/mm] ... aus
> iii) anwenden kann.
Was gilt denn für die so definierten [mm] $A_n$?
[/mm]
Also noch mehr Zaunpfahl geht schon gar nicht......
Und deine Aussage, dass
[mm] $A_n [/mm] = [mm] \bigcup_{k=1}^n D_k [/mm] = [mm] D_1 \cup D_2 \cup \ldots$
[/mm]
gelten würde, stimmt eben nicht, es gilt nämlich
[mm] $A_n [/mm] = [mm] \bigcup_{k=1}^n D_k [/mm] = [mm] D_1 \cup D_2 \cup \ldots \cup D_n$
[/mm]
Gruß,
Gono.
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