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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Durchmesser Jordankurve
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Durchmesser Jordankurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:33 Di 23.06.2009
Autor: XPatrickX

Aufgabe
Sei [mm] \gamma [/mm] ein geschl. Jordankurve im [mm] \IR^n. [/mm] Zwei beliebige Punkte [mm] x,y\in\gamma [/mm] teilen [mm] \gamma [/mm] in zwei Teilbögen. Zeige [mm] $\forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \; \exists \delta [/mm] > 0$, sodass für [mm] x,y\in \gamma [/mm] mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] folgt [mm] diam(\gamma_i) <\varepsilon. [/mm] Für i=1 oder i=2, d.h. für einen Teilbogen.
[mm] $diam(\gamma_i):=\sup\{ |x-y|\;\; | x,y\in \gamma_i \}$ [/mm]

Hallo,

ich weiß hier nicht so richtig wie ich anfangen soll. Das ganze erinnert ja an die Definition der Stetigkeit. Anschaulich gesehen ist das auch klar.
Aber wie kann ich hier einen Beweis führen? Evtl. würde sich ein Widerspruchsbeweis anbieten?


Danke!!

        
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Durchmesser Jordankurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 Di 23.06.2009
Autor: Merle23

Für einen festen Punkt [mm]x_0 \in \gamma[/mm] kannste ein passendes [mm]\delta_{x_0}[/mm] finden.
Jetzt benutze die Kompaktheit von [mm]\gamma[/mm].

PS: Schöne Aufgabe. ^^

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Durchmesser Jordankurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Di 23.06.2009
Autor: XPatrickX

Hallo Merle,

ähm kannst du mir das vielleicht noch ein bisschen genauer erklären? Wie sieht dieses [mm] \delta_{x_0} [/mm] denn genau aus?
Kompaktheit = beschränkt und abgeschlossen. Was kann ich damit hier anfangen?

Danke,
Lg Patrick

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Durchmesser Jordankurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Mi 24.06.2009
Autor: Merle23


> Hallo Merle,
>
> ähm kannst du mir das vielleicht noch ein bisschen genauer
> erklären? Wie sieht dieses [mm]\delta_{x_0}[/mm] denn genau aus?

Ja genauso, dass [mm]diam(\gamma_i) \le \epsilon \ f"ur \ i = 1 \ oder \ 2[/mm]. Das so ein [mm] \delta_{x_0} [/mm] existiert folgt aus der Stetigkeit von der Einbettung, wie du schon richtig am Anfang vermutet hast.

> Kompaktheit = beschränkt und abgeschlossen. Was kann ich
> damit hier anfangen?
>

Ich wollte auf die Überdeckungskompaktheit hinaus.

> Danke,
> Lg Patrick

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Durchmesser Jordankurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Do 25.06.2009
Autor: XPatrickX

Also eine geschlossene Jordankuve ist ja das stetige Bild einer Abbildung von der Kreisscheibe. Bezeichnen wir diese Abbildung mit f, dann gilt ja auf Grund der Stetigkeit, dass [mm] $\forall \varepsilon \exists \delta [/mm] >0,$ sodass [mm] $\forall [/mm] x,y$ mit $|x-y|< [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon$. [/mm]
Aber der Abstand der  Funktionswerte ist ja noch nicht der Durchmesser diam...


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Durchmesser Jordankurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Do 25.06.2009
Autor: Merle23


> Also eine geschlossene Jordankuve ist ja das stetige Bild
> einer Abbildung von der Kreisscheibe. Bezeichnen wir diese
> Abbildung mit f, dann gilt ja auf Grund der Stetigkeit,
> dass [mm]\forall \varepsilon \exists \delta >0,[/mm] sodass [mm]\forall x,y[/mm]
> mit [mm]|x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon[/mm].
> Aber der Abstand der  Funktionswerte ist ja noch nicht der
> Durchmesser diam...
>  


Das [mm] x_0 [/mm] ist fest (aufpassen, das [mm] x_0 [/mm] bei mir ist das f(x) bei dir in der Stetigkeitsformel - ausserdem hast du die Definition der glm. Stetigkeit hingeschrieben und nicht der Stetigkeit in [mm]f^{-1}(x_0)[/mm]).
Betrachte also nur den Teilbogen, der [mm] x_0 [/mm] enthält. OBdA [mm] x_0 \in \gamma_1. [/mm]
Dann kannst du [mm] diam(\gamma_1) [/mm] nach oben gegen [mm]2\epsilon[/mm] abschätzen, wobei das [mm] \epsilon [/mm] das ist, welches du aus der Definition der Stetigkeit herkriegst.

Anm.: Vielleicht geht das ganze auch direkt mit der glm. Stetigkeit viel leichter, da hab ich nicht drüber nachgedacht. Aber es wäre ja eigentlich im Grunde fast dasselbe, da wir in beiden Fällen die Kompaktheit benutzen würden.

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Durchmesser Jordankurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Do 25.06.2009
Autor: XPatrickX


>  Betrachte also nur den Teilbogen, der [mm]x_0[/mm] enthält. OBdA
> [mm]x_0 \in \gamma_1.[/mm]
>  Dann kannst du [mm]diam(\gamma_1)[/mm] nach oben
> gegen [mm]2\epsilon[/mm] abschätzen, wobei das [mm]\epsilon[/mm] das ist,
> welches du aus der Definition der Stetigkeit herkriegst.
>  

Also ich versuche es nochmal.

Sei also o.E. [mm] $x_0 \in \gamma_1$ [/mm] dann gilt ja [mm] $|x_0-x|<\varepsilon$ [/mm] wenn nur [mm] $|f^{-1}(x_0)-f^{-1}(x)|<\delta$ [/mm]

Mir ist jetzt nicht ganz klar, wie ich damit [mm] diam(\gamma_1) [/mm] abschätzen kann.


Danke

Gruß Patrick

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Durchmesser Jordankurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Do 25.06.2009
Autor: Merle23


> >  Betrachte also nur den Teilbogen, der [mm]x_0[/mm] enthält. OBdA

> > [mm]x_0 \in \gamma_1.[/mm]
>  >  Dann kannst du [mm]diam(\gamma_1)[/mm] nach
> oben
> > gegen [mm]2\epsilon[/mm] abschätzen, wobei das [mm]\epsilon[/mm] das ist,
> > welches du aus der Definition der Stetigkeit herkriegst.
>  >  
>
> Also ich versuche es nochmal.
>
> Sei also o.E. [mm]x_0 \in \gamma_1[/mm] dann gilt ja
> [mm]|x_0-x|<\varepsilon[/mm] wenn nur
> [mm]|f^{-1}(x_0)-f^{-1}(x)|<\delta[/mm]
>  
> Mir ist jetzt nicht ganz klar, wie ich damit [mm]diam(\gamma_1)[/mm]
> abschätzen kann.
>

Bisher haben wir das [mm] \gamma_1 [/mm] ja noch gar nicht definiert!
In der Aufgabenstellung ist übrigens auch nicht angegeben, wie das [mm] \gamma_i [/mm] definiert sein soll. Ich spekuliere einfach mal deswegen weiter unten.

Also, wir haben [mm]|f^{-1}(x_0)-f^{-1}(x)|<\delta \Rightarrow |x_0-x|<\varepsilon[/mm], d.h. das Bild von [mm] B_{\delta}(f^{-1}(x_0)) [/mm] unter f ist ein zusammenhängendes Streckenstück innerhalb [mm] B_{\epsilon}(x_0) [/mm] - dies definieren wir als [mm] \gamma_1. [/mm] Dann haben wir für alle x,y die Abschätzung [mm]|x-y| \le |x-x_0|+|x_0-y| \le 2\epsilon[/mm].

>
> Danke
>  
> Gruß Patrick

Bezug
                                                                
Bezug
Durchmesser Jordankurve: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:41 Fr 26.06.2009
Autor: XPatrickX

Ah, ok danke, jetzt ist mir einiges klarer geworden. Ich versuche das dann mal sauber aufzuschreiben.

Viele Grüße
Patrick

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