Drehung um einen Punkt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Mi 30.05.2007 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | Sei L [mm] \in SO(\IR^{2}) \backslash \{ id_{\IR^{2}} \} [/mm] und b [mm] \in \IR^{2}. [/mm] Sei F: [mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] definiert durch F(x)=L(x)+b. Zeigen Sie:
a) F besitzt genau einen Fixpunkt (d. h. p [mm] \in \IR^{2}: [/mm] F(p)=p)
b) Für alle x [mm] \in \IR^{2} [/mm] gilt F(x)=p+L(x-p). |
Hallo Leute,
es geht um obige Aufgabe. Zuerst bin ich so herangegangen:
Ich dachte aus L [mm] \in SO(\IR^{2}) [/mm] folgt, dass L eine Drehung ist. Das heißt also, es gibt eine ONB O von [mm] \IR^{2}, [/mm] sodass [mm] Mat_{O}^{O}(L)=\pmat{ cos \phi & -sin \phi \\ sin \phi & cos \phi }.
[/mm]
Dann hab ich mir gedacht, ich setze [mm] Mat_{O}^{O}(L) \* [/mm] p + b = p
und schau, ob das LGS eindeutig lösbar ist. Das gestaltete sich allerdings als sehr schwierig  und ich komm einfach nicht weiter.
Dann haben wir überlegt, dass ich ja sagen kann: Sei p=L(p)+b. Dann gilt F(p)=L(p)+b=(p-b)+b=p . Somit hätten wir so ein Punkt gefunden. Dann wäre auch die b) entsprechend machbar.
Geht dieser Ansatz? Oder müssen wir da anders ran?
Danke schon mal.
Gruß Michi
|
|
| |
|
> Sei L [mm]\in SO(\IR^{2}) \backslash \{ id_{\IR^{2}} \}[/mm] und b
> [mm]\in \IR^{2}.[/mm] Sei F: [mm]\IR^{2} \to \IR^{2}[/mm] definiert durch
> F(x)=L(x)+b. Zeigen Sie:
>
> a) F besitzt genau einen Fixpunkt (d. h. p [mm]\in \IR^{2}:[/mm]
> F(p)=p)
> b) Für alle x [mm]\in \IR^{2}[/mm] gilt F(x)=p+L(x-p).
> Hallo Leute,
>
> es geht um obige Aufgabe. Zuerst bin ich so herangegangen:
> Ich dachte aus L [mm]\in SO(\IR^{2})[/mm] folgt, dass L eine
> Drehung ist. Das heißt also, es gibt eine ONB O von
> [mm]\IR^{2},[/mm] sodass [mm]Mat_{O}^{O}(L)=\pmat{ cos \phi & -sin \phi \\ sin \phi & cos \phi }.[/mm]
>
> Dann hab ich mir gedacht, ich setze [mm]Mat_{O}^{O}(L) \*[/mm] p + b
> = p
> und schau, ob das LGS eindeutig lösbar ist. Das gestaltete
> sich allerdings als sehr schwierig und ich komm einfach
> nicht weiter.
Hallo,
So kann man es aber machen.
Vorm Rechnen müßte man sich gut klar machen, welches die Variablen sind und welches Konstanten.
Die Variablen, nach denen man auflösen möchte, sind die Koordinaten von p. Die Koordinaten von b hingegen sind zwar beliebig, aber fest(!), ebenso wie der Drehwinkel eine feste Größe ist.
>
> Dann haben wir überlegt, dass ich ja sagen kann: Sei
> p=L(p)+b. Dann gilt F(p)=L(p)+b=(p-b)+b=p . Somit hätten
> wir so ein Punkt gefunden.
Und? Wie heißt der Punkt dann? Wie sind seine Koordinaten?
Solche einen Punkt mit p=L(p)+b mußt Du ja erstmal finden! Wie oben erwähnt: Dein b ist fest vorgegeben. Das kannst Du nicht anpassen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 31.05.2007 | | Autor: | MichiNes |
> Hallo,
>
> So kann man es aber machen.
> Vorm Rechnen müßte man sich gut klar machen, welches die
> Variablen sind und welches Konstanten.
> Die Variablen, nach denen man auflösen möchte, sind die
> Koordinaten von p. Die Koordinaten von b hingegen sind zwar
> beliebig, aber fest(!), ebenso wie der Drehwinkel eine
> feste Größe ist.
>
> >
> > Dann haben wir überlegt, dass ich ja sagen kann: Sei
> > p=L(p)+b. Dann gilt F(p)=L(p)+b=(p-b)+b=p . Somit hätten
> > wir so ein Punkt gefunden.
>
> Und? Wie heißt der Punkt dann? Wie sind seine Koordinaten?
> Solche einen Punkt mit p=L(p)+b mußt Du ja erstmal finden!
> Wie oben erwähnt: Dein b ist fest vorgegeben. Das kannst Du
> nicht anpassen.
>
Ja geht also der zweite Ansatz?? WIe meinst du das, dass ich so einen Punkt erst finden muss. Ich kann ihn mir doch einfach definieren. Und das mit dem LGS funktioniert wirklich nicht. Da kommen ellenlange Terme raus. So kann ich das doch nicht zeigen...
Wie muss ich denn genau vorgehen??
Danke schon mal.
Gruß Michi
|
|
|
| |
|
>
> > Hallo,
> >
> > So kann man es aber machen.
> > Vorm Rechnen müßte man sich gut klar machen, welches die
> > Variablen sind und welches Konstanten.
> > Die Variablen, nach denen man auflösen möchte, sind die
> > Koordinaten von p. Die Koordinaten von b hingegen sind zwar
> > beliebig, aber fest(!), ebenso wie der Drehwinkel eine
> > feste Größe ist.
> >
> > >
> > > Dann haben wir überlegt, dass ich ja sagen kann: Sei
> > > p=L(p)+b. Dann gilt F(p)=L(p)+b=(p-b)+b=p . Somit hätten
> > > wir so ein Punkt gefunden.
> >
> > Und? Wie heißt der Punkt dann? Wie sind seine Koordinaten?
> > Solche einen Punkt mit p=L(p)+b mußt Du ja erstmal
> finden!
> > Wie oben erwähnt: Dein b ist fest vorgegeben. Das kannst Du
> > nicht anpassen.
> >
>
> Ja geht also der zweite Ansatz?? WIe meinst du das, dass
> ich so einen Punkt erst finden muss.
Ich meinte damit, daß man ihn so nicht findet.
Schau, Du suchst einen Punkt p, für welchen F(p)=L(p)+b=p gilt.
Wie gesagt, den Punk p kennen wir ja noch nicht.
Wenn ich Dich recht verstehe, gehst Du nun einfach daher und definierst p:=L(p)+b. Bloß, welcher Punkt das ist, wissen wir genausowenig wie zuvor.
Mich erinnerst das ein bißchen an einen Witz:
Wie beweist ein Logiker, daß 4 eine Primzahl ist?
Beweis: Wenn man es beweisen kann, ist 4 eine Primzahl.
Dies ist ein Beweis ==> 4 ist eine Primzahl.
Ich meine, daß Du das GS
M_Lp+b=p lösen mußt. [mm] (Mat_L:=\pmat{ cos \phi & -sin \phi \\ sin \phi & cos \phi })
[/mm]
Es ist äquivalent zu [mm] (M_L-E_2)p=-b
[/mm]
Da muß man ein bißchen mit den trigonometrischen Funktionen rummachen, eventuell Fallunterscheidungen für einige [mm] \varphi.
[/mm]
Ein paar Tricks erleichtern sicher das Rechnen:
So ist [mm] (cos-1)(cos+1)=cos^2-1=cos^2-(sin^2+cos^2)=sin^2, [/mm] ich könnte mir vorstellen, daß das nützlich ist.
Letztendlich geht es ja um Existenz und Eindeutigkeit des Fixpunktes.
Wenn Du mit Deinen Bemühungen an die Stelle gekommen bist, daß Rangüberlegungen Dir sagen, daß es genau eine Lösung des GS gibt, kannst Du im Grunde aufhören. (Insofern war meine Frage nach den Koordinaten etwas übereifrig.)
Rechne es doch einfach z.B. mal für [mm] b=\vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] \varphi=30° [/mm] durch, um erstmal ein Gefühl dafür zu bekommen, was Du tust.
(Es ist danach übrigens Aufgabe b) nahezu ein Kinderspiel. Im Grunde kannst Du sie jetzt schon bearbeiten, indem Du so tust, als hättest Du bereits bewiesen, daß es den Fixpunkt p gibt. Der Trick ist, die Linearität von L auszunutzen.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Angela,
ich habe das LGS jetzt einmal gelöst und bekomme folgendes heraus:
[mm] p_{2} [/mm] = [mm] \bruch{sin(x)*b_{1}}{2(1-cos(x))} [/mm] + [mm] \bruch{b_{2}}{2}
[/mm]
[mm] p_{1} [/mm] = [mm] \bruch{(-2+cos(x)+sin(x)^{2})b_{1}}{4cos(x)-2sin(x)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{sin(x)*b_{2}}{2cos(x)-2}
[/mm]
Ich weiß nicht ob es richtig ist, aber ich habe es jetzt schon mehrmals rausbekommen. Allerdings konnte ich deinen Tipp mit (1-cos(x)) (1+cos(x)) nirgends anwenden. Vielleicht habe ich etwas falsch gemacht??!
Wie geht es nun weiter? Ich weiß nicht genau, wie ich jetzt sagen kann, dass sich durch den Vektor p am Rang von der Matrix nichts ändert....
LG Leni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Leni-H |
Oh, mir ist gerade aufgefallen, dass ich einen Denkfehler gemacht habe. Ich muss ja letztendlich so argumentieren, dass sich durch den Vektor -b am Rang der Matrix nichts ändert (nicht durch p, wie ich vorhin geschrieben habe).
Ok... wie mach ich das?
Muss ich irgendwie nach b1 und b2 auflösen?
Liebe Grüße!
|
|
|
| |
|
> Muss ich irgendwie nach b1 und b2 auflösen?
Wie in der anderen Antwort gesagt: Du brauchst über den Rang nicht mehr nachzudenken.
Nach [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] aufzulösen wäre nicht vorteilhaft: der Vektor b ist Dir doch mit der Aufgabe gegeben. Den kennst Du bereits.
Suchen tust Du [mm] p_1 [/mm] und [mm] p_2, [/mm] und die hast Du ja im Prinzip gefunden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
>
> ich habe das LGS jetzt einmal gelöst
Na also! Es geht doch.
und bekomme folgendes
> heraus:
>
> [mm]p_{2}[/mm] = [mm]\bruch{sin(x)*b_{1}}{2(1-cos(x))}[/mm] +
> [mm]\bruch{b_{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]p_{1}[/mm] =
> [mm]\bruch{(-2+cos(x)+sin(x)^{2})b_{1}}{4cos(x)-2sin(x)^{2}}[/mm] +
> [mm]\bruch{sin(x)*b_{2}}{2cos(x)-2}[/mm]
>
> Ich weiß nicht ob es richtig ist,
Du hast mich verleitet, es auch einmal auszurechnen, mein Ergebnis sieht etwas anders aus - aber es auch gibt allerlei Ähnlichkeiten.
Mein [mm] p_2 [/mm] ist wie Deines in negativer Ausführung. Daß mein [mm] p_1 [/mm] dann etwas anders aussieht, ist kein Wunder. Wenn meine Nerven reichen, prüfe ich es später nochmal.
(Du hast ja hoffentlich bei Deinen Berechnungen beachtet, daß [mm] (cos\phi [/mm] - 1) nicht =0 sein darf, wenn man dadurch dividiert... (Diesen Fall untersuchst Du halt getrennt)
Ob Dein Ergebnis richtig ist, könntest Du sehen, wenn Du nun Deinen frischgewonnen Punkt [mm] \vektor{p_1 \\ p_2} [/mm] in L(p)+b bzw. [mm] M_L+b [/mm] einsetzt.
> aber ich habe es jetzt
> schon mehrmals rausbekommen.
Naja, über die Beweiskraft von so etwas mache ICH mir in MEINEM Falle keine Illusionen mehr.
> Allerdings konnte ich deinen
> Tipp mit (1-cos(x)) (1+cos(x)) nirgends anwenden.
> Vielleicht habe ich etwas falsch gemacht??!
Rechenfehler macht man ja gerne mal. Aber daraus, daß Du meinen Tip nicht verwenden konntest, kannst Du nicht auf einen Fehler schließen. Erstens führen mehrere Wege nach Rom, und zweitens gibt es auch schlechte Tips.
>
> Wie geht es nun weiter? Ich weiß nicht genau, wie ich jetzt
> sagen kann, dass sich durch den Vektor p am Rang von der
> Matrix nichts ändert....
Vergiß es. Da Du nun bis zum bitteren Ende gerechnet hast, festgestellt, daß es genau eine Lösung gibt und diese sogar angegeben, brauchst Du über Ränge nicht mehr nachzudenken. (Das hast Du nebenbei völlig automatisch getan.)
Die Bemerkung mit dem Rang war für den Fall gedacht, daß Du nicht bis zum Ende rechnen möchtest, sondern Dich mit der Information "existiert und ist eindeutig" zufrieden geben willst - was lt. Aufgabentext reicht.
Wie es weitergeht? Vorausgesetzt, daß alle Rechenfehler beseitigt sind: mit Aufgabe b.
Da brauchst Du p nicht mit den fiesen Koordinanten zu verwenden, sondern einfach als p. (Die Existenz eines solchen Punktes hast Du nun ja bereits rechnend bewiesen.)
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Leni-H |
Ah super, danke!
Das ist ja mal ne erfreuliche Nachricht, dass wir dann jetzt schon fertig sind. Kann ich dann einfach sagen, dass es eindeutig lösbar ist? Muss ich noch was mit der Fallunterscheidung ((cos(x)-1) [mm] \not= [/mm] 0) erwähnen?
Gruß Leni
|
|
|
| |
|
> Das ist ja mal ne erfreuliche Nachricht, dass wir dann
> jetzt schon fertig sind.
Wie gesagt: im Prinzip - abgesehen von möglichen Rechenfehlern.
> Kann ich dann einfach sagen, dass
> es eindeutig lösbar ist?
Klar. Da es eindeutig lösbar ist, hast Du eine existierende und eindeutige Lösung, also einen existierenden und eindeutigen Punkt, der's tut.
Muss ich noch was mit der
> Fallunterscheidung ((cos(x)-1) [mm]\not=[/mm] 0) erwähnen?
Das würde ich auf jeden Fall tun!
Aber überleg doch erstmal: wann ist [mm] cos\phi-1=0?
[/mm]
Für [mm] \phi=0.
[/mm]
Was bedeutet das denn? F besteht aus KEINER Drehung + einer Translation. Daß da kein Fleck auf dem anderen bleibt, versteht jedes Kindergartenkind (wenn man's nicht mit Matrizen erklärt.)
Allerdings: kommt dieser Fall überhaupt vor? Nein: denn das erste, was in der Aufgabe steht ist " Sei L $ [mm] \in SO(\IR^{2}) \backslash \{ id_{\IR^{2}} \} [/mm] $". Und id haben wir gerade für [mm] \phi=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Leni-H |
Ah stimmt, cool danke
|
|
|
|
