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| Aufgabe | Ein punktförmiges Teilchen der Masse m, das an einem masselosen Faden der Länge l im Schwerfeld aufgehängt ist, umlaufe die Vertikale durch den Aufhängepunkt it der Winkelgeschwindigkeit [mm] \omega [/mm] auf einem Kreis mit dem Radius r.
a) Berechnen Sie bezüglich des Aufhängepunkt den Drehimpuls L(t) und das Drehmoment D(t) der Schwerkraft auf das Teilchen
Hinweis: Wählen Sie den Aufhängepunkt als Ursprung eines kartesischen KO-Systems (mit der z-Achse nach oben) und nehmen Sie zur Vereinfachung an, dass zum Zeitpunkt t=0 das Teilchen den Punkt (r,0,z) durchläuft (dabei ist z<0). |
Hey,
Also ich muss als erstes den Drehimpuls errechen. Dieser steht senkrecht auf der Bewegung, müsst also folgende Form haben [mm] (0,0,...)^T.
[/mm]
[mm] $L=r\times [/mm] p = [mm] m(r\times [/mm] v) = m |r| |v| [mm] \sin\phi$ *\vec{e_z} [/mm] Da r und v senkrecht aufeinander stehen ist [mm] \phi=pi/2 [/mm] und damit der Sinus 1. Also
[mm] $=m*r*v*\vec{e_z}=mr^2\omega$
[/mm]
Aber das kanns ja irgendwie nicht sein. So habe ich ja ganz viele Informationen von der Aufgabenstellung nicht eingebaut.
Wer kann mir helfen?
Grüße Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Sa 29.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Ein punktförmiges Teilchen der Masse m, das an einem
> masselosen Faden der Länge l im Schwerfeld aufgehängt ist,
> umlaufe die Vertikale durch den Aufhängepunkt it der
> Winkelgeschwindigkeit [mm]\omega[/mm] auf einem Kreis mit dem Radius
> r.
>
> a) Berechnen Sie bezüglich des Aufhängepunkt den Drehimpuls
> L(t) und das Drehmoment D(t) der Schwerkraft auf das
> Teilchen
>
>
> Hinweis: Wählen Sie den Aufhängepunkt als Ursprung eines
> kartesischen KO-Systems (mit der z-Achse nach oben) und
> nehmen Sie zur Vereinfachung an, dass zum Zeitpunkt t=0 das
> Teilchen den Punkt (r,0,z) durchläuft (dabei ist z<0).
> Hey,
>
> Also ich muss als erstes den Drehimpuls errechen. Dieser
> steht senkrecht auf der Bewegung, müsst also folgende Form
> haben [mm](0,0,...)^T.[/mm]
Du verwechselst den Mittelpunkt der Kreisbewegung mit dem Aufhängepunkt.
>
> [mm]L=r\times p = m(r\times v) = m |r| |v| \sin\phi[/mm] [mm]*\vec{e_z}[/mm]
> Da r und v senkrecht aufeinander stehen ist [mm]\phi=pi/2[/mm] und
> damit der Sinus 1. Also
> [mm]=m*r*v*\vec{e_z}=mr^2\omega[/mm]
Das ist die z-Komponente des Drehimpulses, da du nur die Projektion von [mm] $\vec{r}$ [/mm] auf die xy-Ebene genommen hast. [mm] $\vec{x}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$ [/mm] stehen nicht aufeinander senkrecht, denn zum Zeitpunkt t=0 ist
[mm] \vec{x}=\vektor{r\\0\\z} [/mm] , [mm] \vec{v} = \vektor{0\\v\\0} [/mm]
Schreibe dir die beiden Vektoren in Komponenten hin und bilde das Kreuzprodukt.
Viele Grüße
Rainer
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> Hallo Patrick!
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> > Also ich muss als erstes den Drehimpuls errechen. Dieser
> > steht senkrecht auf der Bewegung, müsst also folgende Form
> > haben [mm](0,0,...)^T.[/mm]
>
> Du verwechselst den Mittelpunkt der Kreisbewegung mit dem
> Aufhängepunkt.
Ok!
>
> >
> > [mm]L=r\times p = m(r\times v) = m |r| |v| \sin\phi[/mm] [mm]*\vec{e_z}[/mm]
> > Da r und v senkrecht aufeinander stehen ist [mm]\phi=pi/2[/mm] und
> > damit der Sinus 1. Also
> > [mm]=m*r*v*\vec{e_z}=mr^2\omega[/mm]
>
> Das ist die z-Komponente des Drehimpulses, da du nur die
> Projektion von [mm]\vec{r}[/mm] auf die xy-Ebene genommen hast.
> [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] stehen nicht aufeinander senkrecht,
> denn zum Zeitpunkt t=0 ist
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{r\\0\\z}[/mm] , [mm]\vec{v} = \vektor{0\\v\\0}[/mm]
>
Warum stehen [mm] \vec{x} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] nicht senkrecht aufeinander? Das Skalarprodukt ergibt doch Null.
> Schreibe dir die beiden Vektoren in Komponenten hin und
> bilde das Kreuzprodukt.
>
Also ich würde das dann so machen:
[mm] \vec{x}=\vektor{r*cos(\phi) \\ r*sin(\phi) \\ z}
[/mm]
Allerdings bin ich ja jetzt nicht mehr in kartesischen Koordinaten sondern quasi in Zylinderkoordinaten. Denke nicht, dass wir das so lösen sollen.
Außerdem habe ich noch Schwierigkeiten v als Vektor dazustellen.. Die letzte Komponente müsste ja Null sein, aber was ist mit den ersten beiden?
> Viele Grüße
> Rainer
Danke, Gruß Patrick
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Sa 29.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> > Hallo Patrick!
> >
> > > Also ich muss als erstes den Drehimpuls errechen. Dieser
> > > steht senkrecht auf der Bewegung, müsst also folgende Form
> > > haben [mm](0,0,...)^T.[/mm]
> >
> > Du verwechselst den Mittelpunkt der Kreisbewegung mit dem
> > Aufhängepunkt.
>
> Ok!
>
> >
> > >
> > > [mm]L=r\times p = m(r\times v) = m |r| |v| \sin\phi[/mm] [mm]*\vec{e_z}[/mm]
> > > Da r und v senkrecht aufeinander stehen ist [mm]\phi=pi/2[/mm] und
> > > damit der Sinus 1. Also
> > > [mm]=m*r*v*\vec{e_z}=mr^2\omega[/mm]
> >
> > Das ist die z-Komponente des Drehimpulses, da du nur die
> > Projektion von [mm]\vec{r}[/mm] auf die xy-Ebene genommen hast.
> > [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] stehen nicht aufeinander senkrecht,
> > denn zum Zeitpunkt t=0 ist
> >
> > [mm]\vec{x}=\vektor{r\\0\\z}[/mm] , [mm]\vec{v} = \vektor{0\\v\\0}[/mm]
> >
> Warum stehen [mm]\vec{x}[/mm] und [mm]\vec{v}[/mm] nicht senkrecht
> aufeinander? Das Skalarprodukt ergibt doch Null.
Ja, du hast natürlich recht, das ist Unsinn. Was ich meinte: sie leigen nicht beide in der xy-Ebene.
>
> > Schreibe dir die beiden Vektoren in Komponenten hin und
> > bilde das Kreuzprodukt.
> >
> Also ich würde das dann so machen:
> [mm]\vec{x}=\vektor{r*cos(\phi) \\ r*sin(\phi) \\ z}[/mm]
Korrekt, aber du musst den Winkel auch als Funktion der Zeit hinschreiben: [mm] $\phi [/mm] = [mm] \omega [/mm] t$.
> Allerdings bin ich ja jetzt nicht mehr in kartesischen
> Koordinaten sondern quasi in Zylinderkoordinaten. Denke
> nicht, dass wir das so lösen sollen.
Nein, das sind keine Zylinderkoordinaten.
> Außerdem habe ich noch Schwierigkeiten v als Vektor
> dazustellen.. Die letzte Komponente müsste ja Null sein,
> aber was ist mit den ersten beiden?
Es gilt doch: [mm] $\vec{v} [/mm] = [mm] \Dot{\Vec{x}}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
> > Also ich würde das dann so machen:
> > [mm]\vec{x}=\vektor{r*cos(\phi) \\ r*sin(\phi) \\ z}[/mm]
>
> Korrekt, aber du musst den Winkel auch als Funktion der
> Zeit hinschreiben: [mm]\phi = \omega t[/mm].
Also ist [mm] \vec{x}=\vektor{r* cos(\omega t) \\ r*sin(\omega t) \\ z}
[/mm]
> > Außerdem habe ich noch Schwierigkeiten v als Vektor
> > dazustellen.. Die letzte Komponente müsste ja Null sein,
> > aber was ist mit den ersten beiden?
>
> Es gilt doch: [mm]\vec{v} = \Dot{\Vec{x}}[/mm].
Ohhh, das stimmt natürlich...
Ich leite dann nach t ab oder?Also
[mm] \vec{v}=\vektor{-r*\omega sin(\omega t) \\ r*\omega*cos(\omega t) \\ 0}
[/mm]
Insgesamt [mm] L=m(\vec{r}\times\vec{v})=m\cdot{}\vektor{-zr\omega*cos(\omega t) \\ -zr\omega*sin(\omega t) \\ r^2\omega }
[/mm]
Wäre das so dann richtig?
Die Minuszeichen könnt ich ja nochwegmachen, da ja z<0 gilt. Ist irgendwie ein bisschen doof formuliert in der Aufgabe, die z-Achse soll ja nach oben zeigen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Sa 29.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Hallo Rainer,
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> > > Also ich würde das dann so machen:
> > > [mm]\vec{x}=\vektor{r*cos(\phi) \\ r*sin(\phi) \\ z}[/mm]
> >
> > Korrekt, aber du musst den Winkel auch als Funktion der
> > Zeit hinschreiben: [mm]\phi = \omega t[/mm].
>
>
> Also ist [mm]\vec{x}=\vektor{r* cos(\omega t) \\ r*sin(\omega t) \\ z}[/mm]
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> > > Außerdem habe ich noch Schwierigkeiten v als Vektor
> > > dazustellen.. Die letzte Komponente müsste ja Null sein,
> > > aber was ist mit den ersten beiden?
> >
> > Es gilt doch: [mm]\vec{v} = \Dot{\Vec{x}}[/mm].
>
> Ohhh, das stimmt natürlich...
> Ich leite dann nach t ab oder?Also
>
> [mm]\vec{v}=\vektor{-r*\omega sin(\omega t) \\ r*\omega*cos(\omega t) \\ 0}[/mm]
>
>
> Insgesamt
> [mm]L=m(\vec{r}\times\vec{v})=m\cdot{}\vektor{-zr\omega*cos(\omega t) \\ -zr\omega*sin(\omega t) \\ r^2\omega }[/mm]
>
> Wäre das so dann richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Sa 29.11.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Danke Dir Rainer.
Habe es jetzt auch geschafft das Drehmoment direkt zu berechnen und es stimmt mit der Ableitung von L überein 
Viele Grüße Patrick
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