Doppelintegral, Gebiet < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Psi |
| Aufgabe | Es soll die Fläche durch die Parabel [mm] 4*x^2-4*x*y+y^2-4*x-3*y-1=0 [/mm] und die Gerade y=2/5 entstehenden Gebietes in [mm] \IR^2 [/mm] berechnet werden.
Benutze geeignete Koordinaten.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi Leute,
Ich komm hier nicht weiter:
[mm] 4*x^2-4*x*y+y^2-4*x-3*y-1=0 \gdw (2*x-y)^2-(4*x+3*y+1)=0
[/mm]
Schnittpunkte mit Gerade sind: -3/10 und 17/10
Substituiert:
a = 2*x-y (max. a= 3 und min. a = -1)
b = 4*x+3*y+1 (max. b= 9 und min. b = 1)
Sodass: [mm] a^2-b=0
[/mm]
|det(J(a,b))|= 1/10 (Determinante der Jacobimat.)
Für das Doppelintegral hab ich jetzt eine Ungleichung aufgestellt:
-1 [mm] \le [/mm] a [mm] \le [/mm] b+2 [mm] \le [/mm] 11
Jetzt integriere ich über das Gebiet:
[mm] \integral_{1}^{9}{\integral_{b+2}^{11}{1/10 *da db}}=16/5
[/mm]
Nach der Lösung sollte 16/15 (hab die Lösung auch durch Green-Rieman. Formel kontrolliert) rauskommen, ich glaube, dass ich vllt. die Ungleichung falsch aufgestellt habe.
Könnt ihr mir helfen?
Danke
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Hallo Psi,
> Es soll die Fläche durch die Parabel
> [mm]4*x^2-4*x*y+y^2-4*x-3*y-1=0[/mm] und die Gerade y=2/5
> entstehenden Gebietes in [mm]\IR^2[/mm] berechnet werden.
> Benutze geeignete Koordinaten.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi Leute,
>
> Ich komm hier nicht weiter:
> [mm]4*x^2-4*x*y+y^2-4*x-3*y-1=0 \gdw (2*x-y)^2-(4*x+3*y+1)=0[/mm]
>
> Schnittpunkte mit Gerade sind: -3/10 und 17/10
> Substituiert:
> a = 2*x-y (max. a= 3 und min. a = -1)
> b = 4*x+3*y+1 (max. b= 9 und min. b = 1)
>
> Sodass: [mm]a^2-b=0[/mm]
>
> |det(J(a,b))|= 1/10 (Determinante der Jacobimat.)
>
> Für das Doppelintegral hab ich jetzt eine Ungleichung
> aufgestellt:
> -1 [mm]\le[/mm] a [mm]\le[/mm] b+2 [mm]\le[/mm] 11
>
> Jetzt integriere ich über das Gebiet:
>
> [mm]\integral_{1}^{9}{\integral_{b+2}^{11}{1/10 *da db}}=16/5[/mm]
>
> Nach der Lösung sollte 16/15 (hab die Lösung auch durch
> Green-Rieman. Formel kontrolliert) rauskommen, ich glaube,
> dass ich vllt. die Ungleichung falsch aufgestellt habe.
Hier sind die Grenzen nicht richtig bestimmt worden.
Aus der Gleichung
[mm]a^{2}-b=0[/mm]
folgen die Grenzen für a: [mm]-\wurzel{b}, \ +\wurzel{b}[/mm]
Dann folgt die Untergrenze für b aus der Gleichung
[mm]-\wurzel{b}=+\wurzel{b}[/mm]
woraus als einzige Lösung b=0 folgt.
Somit hast Du folgendes Integral zu berechnen:
[mm]\integral_{0}^{9}{ \integral_{-\wurzel{b}}^{+\wurzel{b}}{ \bruch{1}{10} \ da }\ db}[/mm]
> Könnt ihr mir helfen?
> Danke
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Psi |
Danke für deine Antwort.
Wie bist du auf die Gleichung: [mm] -\wurzel{b} [/mm] = [mm] \wurzel{b}
[/mm]
gekommen?
Bei dem Integral kommt 18/5 statt 16/15 raus, wie in der Lösung.
[mm] \integral_{0}^{9}{\integral_{-\wurzel{b}}^{\wurzel{b}}{1/10* dadb}}=18/5 [/mm]
Weißt du, was da falsch ist?
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Hallo Psi,
> Danke für deine Antwort.
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> Wie bist du auf die Gleichung: [mm]-\wurzel{b}[/mm] = [mm]\wurzel{b}[/mm]
> gekommen?
Dies folgt aus den Integrationsgrenzen:
[mm]-\wurzel{b} \le +\wurzel{b}[/mm]
(Untergrenze kann hier höchstens der Obergrenze sein)
>
> Bei dem Integral kommt 18/5 statt 16/15 raus, wie in der
> Lösung.
>
> [mm]\integral_{0}^{9}{\integral_{-\wurzel{b}}^{\wurzel{b}}{1/10* dadb}}=18/5[/mm]
> Weißt du, was da falsch ist?
Da ist dann die Obergrenze von b nicht richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:06 Sa 19.09.2009 | | Autor: | Psi |
Sorry, dass ich nochmal frage:
Also wenn [mm] -\wurzel{b} \le [/mm] a [mm] \le \wurzel{b} [/mm]
und bmin = 0 (aus [mm] -\wurzel{b} [/mm] = [mm] \wurzel{b})
[/mm]
[mm] -\wurzel{b} \le [/mm] a+1 , da bmin = 0 ist und amin = -1
kann ich dann sagen, dass:
a+1 [mm] \le \wurzel{b}+1 [/mm] und damit 4 ( ich hab das Erg. zurückgerechnet :))
Oder gibt es da noch einen anderen/besseren Weg.
Vielend Dank für deine Hilfe.
Liebe Grüsse, Psi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 20.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
ich kenne mich mit dem obigen Verfahren leider nicht aus, habe aber eine andere (einfachere) Verfahrensweise, die zur Lösung führt, wenn das hilft.
Da hier eine Parabel gegeben ist, kann man die Strecken integrieren, die entstehen, wenn man die Parallelen von y=2/5 mit der Parabel schneiden lässt. [mm] \Delta x(y)=2\wurzel{5/4y+0,5}
[/mm]
[mm] A=\integral_{\Delta x_{0}}^{2/5}{\wurzel{5y+2}}
[/mm]
[mm] \rightarrow \wurzel{5y+2}=0 \rightarrow y_{1}=-2/5
[/mm]
Subst. y [mm] \mapsto [/mm] y-2/5
[mm] A=\wurzel{5}*2/3 *[y^{1,5}]_{-0,4}^{0,4}
[/mm]
Rücksubst. [mm] A=\wurzel{5}*2/3 *[(y+0,4)^{1,5}]_{-0}^{0,8}
[/mm]
A=16/15
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> Es soll die Fläche durch die Parabel
> [mm]4*x^2-4*x*y+y^2-4*x-3*y-1=0[/mm] und die Gerade y=2/5
> entstehenden Gebietes in [mm]\IR^2[/mm] berechnet werden.
> Benutze geeignete Koordinaten.
Hallo Psi,
ich denke, dass mit dem Hinweis "Benutze geeignete
Koordinaten" gemeint ist, dass man z.B. eine Drehung
ausführt, welche die Parabel in eine Funktion der Form
p: [mm] \bar{y}=a*(\bar{x}-u)^2+v
[/mm]
überführt. Für die Flächenberechnung ergibt sich dann
ein gewöhnliches einfaches Integral !
Der von Niladhoc angegebene Weg scheint aber noch
einfacher zu sein. Vielleicht könnte man auch diesen
als Koordinatentransformation darstellen.
LG Al-Chw.
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> Es soll die Fläche durch die Parabel
> [mm]4*x^2-4*x*y+y^2-4*x-3*y-1=0[/mm] und die Gerade y=2/5
> entstehenden Gebietes in [mm]\IR^2[/mm] berechnet werden.
> Benutze geeignete Koordinaten.
Anstatt einer Drehung (was rechnerisch etwas
schwierig sein könnte) kommt auch eine affine
Transformation in Frage.
Da [mm] 4*x^2-4*x*y+y^2 [/mm] ein binomischer Term ist:
[mm] 4*x^2-4*x*y+y^2=(2\,x-y)^2
[/mm]
empfiehlt sich zunächst die Substitution [mm] u:=2\,x-y
[/mm]
Damit kann man x aus der Rechnung eliminieren.
Nachher kann man z.B. noch z:=u-1 setzen und
kommt dann auf eine einfache Parabelgleichung
in den Variablen z und y. Die Gerade hat immer
noch die Gleichung [mm] y=\frac{2}{5} [/mm] .
Die Fläche in der z-y-Ebene lässt sich leicht
berechnen. Der Wert ist [mm] \frac{32}{15}. [/mm] Um zum
Flächeninhalt in der x-y-Ebene umzurechnen,
braucht man als Umrechnungsfaktor den Betrag
der Transformationsmatrix.
LG Al-Chw.
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