Doppelintegral 2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Doppelintegral und skizzieren Sie den Integrationsbereich!
[mm] $\int\limits_{y=1}^{e^{2}} [/mm] \ [mm] \int\limits_{x=\frac{\pi}{4y}}^{\frac{\pi}{2y}}{\cos(xy) \ dxdy}$
[/mm]
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Hallo,
ich habe totale Probleme mit dieser Aufgabe, allein die Skizze bereitet mir schon Schwierigkeiten, da ich mir überhaupt nicht vorstellen kann wie diese auszusehen hat.
Und mit der Rechnung weiß ich auch nicht recht...
hoffe jemand kann mir helfen
dankeschön
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Doppelintegral-II
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Mi 24.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du deine posts nicht mal anguckst ob sie lesbar sind bist du scheints an ner antwort nicht interessiert
steht da in der Grenze [mm] x=\bruch{\pi}{4}*y [/mm] oder [mm] \bruch{\pi}{4*y}
[/mm]
ich hab dein post editiert.
1. Fall die Grenzen sind Geraden x=ay, 2. fall sie sind Hyperbeln.x=a/y
Wo liegt jetzt die Schwierigkeit?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Do 25.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
Hallo,
ja ich hab mir das in der Vorschau angeguckt, aber egal wie ich rumgebastelt habe das ist immer so komisch geblieben.
also hier nochmal, sry hätt ich vielleicht gleich von vornherein machen sollen.
1 ≤ y ≤ [mm] e^2
[/mm]
[mm] \pi/(4*y) [/mm] ≤ x ≤ [mm] \pi/(2y)
[/mm]
> ich hab dein post editiert.
Was bedeutet das?!?
also mein Problem ist das da [mm] e^2 [/mm] und [mm] \pi [/mm] drin ist.
Ich weiß nicht wie ich die zeichnen soll, weiß noch nicht mal wie ich da ansatzweise ansätzen soll.
ich hab versucht mal anzufangen:
Stammfunktion nach x
=[y* sin(xy)] dy
Grenzen eingesetzt von x:
= ( [mm] (y*sin(\pi/(2y)*y) [/mm] - [mm] (y*sin(\pi/(4y)*y))
[/mm]
Stammfunktion nach y:
= [mm] [1/2y^2 [/mm] * [mm] (-cos)(\pi/(2y)*y) [/mm] - [mm] (1/2y^2*(-cos)(\pi/(4y)*y)]
[/mm]
das kann aber glaub ich nicht stimmen.... =(
LG Moni
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Hallo Moni,
> Hallo,
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> ja ich hab mir das in der Vorschau angeguckt, aber egal wie
> ich rumgebastelt habe das ist immer so komisch geblieben.
>
> also hier nochmal, sry hätt ich vielleicht gleich von
> vornherein machen sollen.
>
> 1 ≤ y ≤ [mm]e^2[/mm]
>
> [mm]\pi/(4*y)[/mm] ≤ x ≤ [mm]\pi/(2y)[/mm]
>
> > ich hab dein post editiert.
>
> Was bedeutet das?!?
verbessert - ich hab's nochmal nacheditiert 
>
>
> also mein Problem ist das da [mm]e^2[/mm] und [mm]\pi[/mm] drin ist.
> Ich weiß nicht wie ich die zeichnen soll, weiß noch nicht
> mal wie ich da ansatzweise ansätzen soll.
>
> ich hab versucht mal anzufangen:
>
> Stammfunktion nach x
>
> =[y* sin(xy)] dy ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Leite mal nach x ab, da kommt nicht [mm] $\cos(xy)$ [/mm] wieder raus ...
Es muss richtig [mm] $\frac{1}{y}\cdot{}\sin(xy)$ [/mm] lauten.
Nimm mal diese richtige Stammfunktion für das innere Integral und setze die Grenzen ein, das vereinfacht sich immens, denke vor dem Verarzten des äußeren Integrals daran, dass du multiplikative Konstante aus dem Integral ziehen kannst ...
Es kommt ein "schönes" Ergebnis heraus ...
>
> Grenzen eingesetzt von x:
>
> = ( [mm](y*sin(\pi/(2y)*y)[/mm] - [mm](y*sin(\pi/(4y)*y))[/mm]
>
> Stammfunktion nach y:
>
> = [mm][1/2y^2[/mm] * [mm](-cos)(\pi/(2y)*y)[/mm] -
> [mm](1/2y^2*(-cos)(\pi/(4y)*y)][/mm]
>
> das kann aber glaub ich nicht stimmen.... =(
Nee, weil die erste Stammfunktion falsch war ...
>
>
> LG Moni
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:26 Do 25.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
Stammfunktionen und ich stehen aufm Kriegsfuss miteinander -.-
also nachm einsetzen:
= 1/y [mm] \integral_{y=1}^{e^2}{(sin(\pi/(2y^2)) - sin(\pi/(4y^2)) dy}
[/mm]
so und die Stammfunktionen können wir nicht stimmen -.-
= 1/y [mm] [-cos(\pi/(2y^2)) [/mm] - [mm] (-cos)(\pi/(4y^2))]
[/mm]
muss ich jetzt die inneren noch irgendwie integrieren?!?!?
Ach so, hast du ne Ahnung wie ich herausbekomme wie ich die zeichnen kann?!?
Danke Moni
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Hallo nochmal,
> Stammfunktionen und ich stehen aufm Kriegsfuss miteinander
> -.-
>
> also nachm einsetzen:
>
> = 1/y [mm]\integral_{y=1}^{e^2}{(sin(\pi/(2y^2)) - sin(\pi/(4y^2)) dy}[/mm]
Nana, was setzt du denn da fürn Quatsch mit Soße ein?
Du hast doch oben geschrieben, dass die Grenzen [mm] $x=\frac{\pi}{4y}$ [/mm] und [mm] $x=\frac{\pi}{2y}$ [/mm] sind, das in [mm] $\sin(xy)$ [/mm] für x eingesetzt, da kürzen sich doch die y schön weg, oder nicht?
Übrig bleibt ein Integral [mm] $\int\limits_{y=1}^{e^2}{M\cdot{}\frac{1}{y} \ dy}$
[/mm]
> so und die Stammfunktionen können wir nicht stimmen -.-
>
> = 1/y [mm][-cos(\pi/(2y^2))[/mm] - [mm](-cos)(\pi/(4y^2))][/mm]
>
> muss ich jetzt die inneren noch irgendwie integrieren?!?!?
>
> Ach so, hast du ne Ahnung wie ich herausbekomme wie ich die
> zeichnen kann?!?
Dazu lies nochmal leduarts Antwort oben ...
Stelle mal die Grenzen für x nach y um, außerdem liegt y zwischen 1 und [mm] e^2 [/mm] ...
Aber um mir das ganz im Detail zu überlegen, fehlt mir gerade die Zeit, daher stelle ich das mal auf teilweise beantwortet ...
>
> Danke Moni
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Do 25.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
> Hallo nochmal,
> für x eingesetzt, da kürzen sich doch die y schön weg, oder
> nicht?
stimmt sowas kann man ja kürzen^^
> Übrig bleibt ein Integral
> [mm]\int\limits_{y=1}^{e^2}{M\cdot{}\frac{1}{y} \ dy}[/mm]
>
>
was bedeutet denn das M?
Also nachm kürzen jetz;) :
= 1/y [mm] \integral_{y=1}^{e^2}{(sin(\pi/2) - sin(\pi/4)) dy}
[/mm]
so jetzt kann ich das ja ausrechnen mit [mm] (sin(\pi/2) [/mm] - [mm] sin(\pi/4)) [/mm] und komm da irgendwie auf den 0,0137
meintest du das ausgerechnete für M?!?!?
dann wär das irgendwie
[mm] \integral_{y=1}^{e^2}{0,0137 * 1/y}
[/mm]
und dann die Grenzen eingesetzt kommt Mist raus =(Wie Immer :´( )
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Hallo nochmal,
> > Hallo nochmal,
>
> > für x eingesetzt, da kürzen sich doch die y schön weg, oder
> > nicht?
>
> stimmt sowas kann man ja kürzen^^
>
> > Übrig bleibt ein Integral
> > [mm]\int\limits_{y=1}^{e^2}{M\cdot{}\frac{1}{y} \ dy}[/mm]
> >
> >
> was bedeutet denn das M?
Das ist die Konstante mit dem ganzen Sinusgedrisse
>
> Also nachm kürzen jetz;) :
>
> = 1/y [mm]\integral_{y=1}^{e^2}{(sin(\pi/2) - sin(\pi/4)) dy}[/mm] ![[schockiert]](/images/smileys/schockiert.gif "[schockiert]")
Oh weia, du kannst du nicht das [mm] $\frac{1}{y}$ [/mm] aus dem von y abh. Integral rausziehen ...
Du solltest das Sinusgewurschtel rausziehen, vorher aber mal zusammenfassen, was ist [mm] $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$ [/mm] und was [mm] $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$ [/mm] ?
>
> so jetzt kann ich das ja ausrechnen mit [mm](sin(\pi/2)[/mm] -
> [mm]sin(\pi/4))[/mm] und komm da irgendwie auf den 0,0137
>
> meintest du das ausgerechnete für M?!?!?
>
> dann wär das irgendwie
>
> [mm]\integral_{y=1}^{e^2}{0,0137 * 1/y}[/mm]
>
> und dann die Grenzen eingesetzt kommt Mist raus =(Wie Immer
> :´( )
Ja, du hast gerade nen dicken Knoten im Hirn, mache lieber mal ein Päuschen und trinke einen ![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]") oder ein Wasser
Und dann ausgeruht weiter ...
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:36 Do 25.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
> > = 1/y [mm]\integral_{y=1}^{e^2}{(sin(\pi/2) - sin(\pi/4)) dy}[/mm]
>
>
> Oh weia, du kannst du nicht das [mm]\frac{1}{y}[/mm] aus dem von y
> abh. Integral rausziehen ...
aber wir haben doch nach x integriert, wieso geht das denn nicht?!?
>
> Du solltest das Sinusgewurschtel rausziehen, vorher aber
> mal zusammenfassen, was ist [mm]\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)[/mm]
> und was [mm]\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)[/mm] ?
ähm [mm] sin(\pi/-2) [/mm] ???????????????????????????
weil steht doch nen minus dazwischen oder nicht?!?
ich seh mit den ganzen Mathezeugs gar nich mehr durch....
das machen die nur um uns zu beschäftigen :´(
also die Zeichnung....
y fängt ja bei 1 an..... dann hab ich [mm] e^2 [/mm] augerechnet und komm auf 7,3890
die beiden Punkte hab ich jetz verbunden....
kann man das so machen????
aber mit dem x komm ich trotzdem nich klar =(
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Hallo Moni,
> > > = 1/y [mm]\integral_{y=1}^{e^2}{(sin(\pi/2) - sin(\pi/4)) dy}[/mm]
> >
> >
> > Oh weia, du kannst du nicht das [mm]\frac{1}{y}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
aus dem von y
> > abh. Integral rausziehen ...
>
> aber wir haben doch nach x integriert, wieso geht das denn
> nicht?!?
Mann, Mann ...
Wir hatten $\int\limits_{y=1}^{e^2} \ \left( \ \int\limits_{x=\frac{\pi}{4y}}^{\frac{\pi}{2y}} \cos(xy) \ dx \ \right) \ dy}$
$=\int\limits_{y=1}^{e^2}{\frac{1}{y}\cdot{}\left(\underbrace{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}_{=1} \ - \ \underbrace{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}_{=\frac{1}{2}\cdot{}\sqrt{2}}\right) \ dy}$
$=\left(1-\frac{1}{2}\cdot{}\sqrt{2}\right)\cdot{}\int\limits_{y=1}^{e^2}{\frac{1}{y} \ dy}$ ...
Und den kleinen Rest schaffst du jetzt aber ...
> >
> > Du solltest das Sinusgewurschtel rausziehen, vorher aber
> > mal zusammenfassen, was ist [mm]\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)[/mm]
> > und was [mm]\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)[/mm] ?
>
> ähm [mm]sin(\pi/-2)[/mm] ???????????????????????????
> weil steht doch nen minus dazwischen oder nicht?!?
>
> ich seh mit den ganzen Mathezeugs gar nich mehr durch....
> das machen die nur um uns zu beschäftigen :´(
>
> also die Zeichnung....
> y fängt ja bei 1 an..... dann hab ich [mm]e^2[/mm] augerechnet und
> komm auf 7,3890
> die beiden Punkte hab ich jetz verbunden....
> kann man das so machen????
> aber mit dem x komm ich trotzdem nich klar =(
Da halte ich mich raus ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Do 25.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
> Wir hatten [mm]\int\limits_{y=1}^{e^2} \ \left( \ \int\limits_{x=\frac{\pi}{4y}}^{\frac{\pi}{2y}} \cos(xy) \ dx \ \right) \ dy}[/mm]
>
> [mm]=\int\limits_{y=1}^{e^2}{\frac{1}{y}\cdot{}\left(\underbrace{\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}_{=1} \ - \ \underbrace{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}_{=\frac{1}{2}\cdot{}\sqrt{2}}\right) \ dy}[/mm]
>
> [mm]=\left(1-\frac{1}{2}\cdot{}\sqrt{2}\right)\cdot{}\int\limits_{y=1}^{e^2}{\frac{1}{y} \ dy}[/mm]
> ...
>
> Und den kleinen Rest schaffst du jetzt aber ...
>
so ich nerv dich jetz noch einmal und dann is gut... ;)
ich weiß du wirst mich gleich umbringen aber wie kommst du auf die Zahlen?!?
> [mm][mm] =\left(1-\frac{1}{2}\cdot{}\sqrt{2}\right)\cdot{}
[/mm]
weil mitm Taschenrechner bekomm ich das natürlich nicht raus -.-
und wenn ich das inenr Prüfung machen muss und du vorher so nett warst und mir das erklärst bekomm ich das vielelicht sogar hin^^
so dann natürlich wieder meine Stammfunktion
1/y
1 bleibt unverändert, da wir ja nur y interieren
also hab ich jetz
[mm] 1/0,5y^2.....
[/mm]
lg Moni
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Hallo Moni,
>
> so ich nerv dich jetz noch einmal und dann is gut... ;)
na gut, weil du's bist
>
> ich weiß du wirst mich gleich umbringen aber wie kommst du
> auf die Zahlen?!?
>
> > [mm][mm]=\left(1-\frac{1}{2}\cdot{}\sqrt{2}\right)\cdot{}[/mm]
> weil mitm Taschenrechner bekomm ich das natürlich nicht raus -.-
> und wenn ich das inenr Prüfung machen muss und du vorher so nett >warst und mir das erklärst bekomm ich das vielelicht sogar hin^^
Ich kann mir die Werte auch nie merken, wann Sinus oder Cosinus 0 oder 1 sind oder wie auch immer, ich male mir immer die Graphen hin.
Dann erkenne ich es wieder, einige spezielle Werte sollte man kennen, wie zB, halt [mm] $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
[/mm]
Ich weiß nur, dass es diesen Wert gibt, an der Zeichnung erkenne ich wieder, bei welchem Argument er liegt
Also ganz professionell ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
> so dann natürlich wieder meine Stammfunktion
> 1/y
> 1 bleibt unverändert, da wir ja nur y interieren
> also hab ich jetz
[mm]1/0,5y^2.....[/mm]
Jetzt willst du mich aber vera**** oder?
Deine "Stammfunktion" ist umgeschrieben [mm] $2y^{-2}$
[/mm]
Das abgeleitet ergibt [mm] $-4y^{-3}\neq \frac{1}{y}$
[/mm]
Du kennst die Potenzregel für das Integrieren: [mm] $f(y)=y^n\Rightarrow \int{y^n \ dy}=\frac{1}{n+1}y^{n+1}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IR\setminus\{-1\}$
[/mm]
Für $n=-1$ ist [mm] $f(y)=y^{-1}=\frac{1}{y}$ [/mm]
Das hat eine "besondere" Stammfunktion.
Die musst du kennen!!
lg Moni
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Do 25.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
nee stopp vielelicht ln(y) ????????????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Do 25.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Moni!
> nee stopp vielelicht ln(y) ????????????
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Viiiieeeeel besser!
Gruß
Loddar
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Hallo nochmal,
gut, dass du's noch selber gemerkt hast
Nun wird das Integral doch schön übersichtlich, oder?
Was kommt schlussendlich heraus?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Do 25.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
ja sieht besser aus...
=(1- 1/2 * [mm] \wurzel{2}) [/mm] * [ln(y)]
Grenzen einsetzen
=(1 - 1/2 * [mm] \wurzel{2}) [/mm] * (-2)
= -0,5858
super tolles ergebnis -.-
ach so, wie bist du denn nun auf [mm] (1-1/2*\wurzel{2}) [/mm] gekommen? also mit der vereinfachung?
lg Moni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Do 25.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
JAAAAAAAAAA klasse ein Ergebnis =)
Toll=)
ich danke dir.....
SOOO jetzt ist nur noch mein Problem mit der Zeichnung:
an alle anderen jetz;)
Ich brauch unbedingt Hilfe bei der Zeichnung:
Ich hab mich zumindest shcon mal an den y Grenzen versucht
ich hab einfach mal [mm] e^2 [/mm] ausgerechnet und den Punkt 7,389 rausbekommen,
den hab ich dann mit 1 verbunden....
ich weiß aber leide rnicht ob man das so machen kann....
mit den x Grenzen komm ich leider gar nicht klar... =(
Hoffe jemand kann da noch helfen...
DANKE SCHONMAL
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Sa 27.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
hallo,
also mitm selber zeichnen geht das irgendwie nicht.... ich hab zwar die y bereiche aber die x bereiche... nur viele kreuze und wieß nich wie ich die verbinden soll...
und mit den Programmen klappt das irgendwie auch nicht wirklich =(
lg Moni
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> hallo,
>
> also mitm selber zeichnen geht das irgendwie nicht.... ich
> hab zwar die y bereiche aber die x bereiche... nur viele
> kreuze und wieß nich wie ich die verbinden soll...
>
> und mit den Programmen klappt das irgendwie auch nicht
> wirklich =(
>
> lg Moni
Hallo,
es geht ja um den Bereich, über welchem in $ [mm] \int\limits_{y=1}^{e^{2}} [/mm] \ [mm] \int\limits_{x=\frac{\pi}{4y}}^{\frac{\pi}{2y}}{\cos(xy) \ dxdy} [/mm] $ integriert wird.
Dazu muß man sich die Integrationsgrenzen anschauen.
Ein Koordinatensystem hast Du vorbereitet?
Schauen wir zunächst die festen y-Grenzen beim ersten Intervall an: Es ist [mm] 1
Das bedeutet: Du integrierst nur über dem Bereich des Koordinatensystems, in welchen die y-Komponente der Punkte zwischen disen beiden Zahlen liegt.
Das ist ein breiter Streifen parallel zur x-Achse, welcher oben durch die Gerade [mm] y=e^2 [/mm] und unten durch die Gerade x=1 begrenzt wird.
Nun gibt es aber weitere Einschränkungen (zweites Integral): x liegt zwischen [mm] \frac{\pi}{4y} [/mm] und [mm] \frac{\pi}{2y},
[/mm]
also [mm] x>\frac{\pi}{4y} [/mm] und [mm] x<\frac{\pi}{2y}.
[/mm]
Ich kann sowas immer besser zeichnen, wenn ich das y freistelle: [mm] y>\frac{\pi}{4x} [/mm] und [mm] y<\frac{\pi}{2x}, [/mm] da für y nur pos. zahlen infrage kommen, muß man hier bei den Ungleichheitszeichen nichts beachten.
So. Ich weiß nun: die Punkte die im Integrationsbereich liegen, liegen oberhalb des Graphen von [mm] y=\frac{\pi}{4x} [/mm] und unterhalb von [mm] y=\frac{\pi}{2x}.
[/mm]
Zeichne die beiden Graphen ein und die Fläche zwischen ihnen.
Der Integrationsbereich ist nun der Bereich, der zwischen diesen beiden Graphen liegt und gleichzeitig in dem zuerst markierten Streifen.
leider kann ich kein Bildchen einstellen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
@ schachuzipus
magst du nich doch mal wegen der Zeichnung gucken?!? *schäm*
gestern hat hier einer angefangen, aber irgendwie das nicht geändert...
und keiner dn ich bis jetz gefragt habe kann das =(
PLEASE HELP ME =´(
lg Moni
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