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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Direkte Summe von UVR
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Direkte Summe von UVR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:28 Mi 09.01.2019
Autor: meister_quitte

Aufgabe
Sei V ein K-Vektorraum mit Unterräumen [mm] $U_1,..,U_k$, [/mm] sodass [mm] $V=U_1+...+U_k$. [/mm] Zeigen Sie dass folgende Aussagen äquivalent sind:

a) Für alle $i [mm] \in \{ 1,...,k \}$ [/mm] gilt [mm] $U_i \cap W_i [/mm] = [mm] \{ 0 \}$, [/mm] wobei [mm] $W_i [/mm] := [mm] U_1+..+U_{i-1}+U_{i+1}+...+U_k$ [/mm]

b) Für alle $ v [mm] \in [/mm] V$ existieren eindeutig bestimmte [mm] $u_1 \in U_1, [/mm] ..., [mm] u_k \in U_k$, [/mm] so dass [mm] $v=u_1+...+u_k$. [/mm]

c) Sind [mm] $u_i \in U_i$ [/mm] für $i [mm] \in \{1, ..., k\}$ [/mm] alle von 0 verschieden, so sind diese linear unabhängig.

Hallo Freunde der Mathematik,

ich tue mich mit diesem Beweis ein wenig schwer. Wäre hier ein RIngschluss besser geeignet als jede von ihnen einzeln auf äquivalenz zu überprüfen?

Zur Eindeutigkeit ($a) [mm] \Rightarrow [/mm] b))$habe ich die Idee, dass [mm] $v=u_1+...+u_k=u'_1+...+u'_k \iff \underbrace{u_1-u'_1}_{\in U_1}+...+\underbrace{u_k-u'_k}_{\in U_k}=v$. [/mm]

Liebe Grüße

Christoph

        
Bezug
Direkte Summe von UVR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Mi 09.01.2019
Autor: fred97


> Sei V ein K-Vektorraum mit Unterräumen [mm]U_1,..,U_k[/mm], sodass
> [mm]V=U_1+...+U_k[/mm]. Zeigen Sie dass folgende Aussagen
> äquivalent sind:
>  
> a) Für alle [mm]i \in \{ 1,...,k \}[/mm] gilt [mm]U_i \cap W_i = \{ 0 \}[/mm],
> wobei [mm]W_i := U_1+..+U_{i-1}+U_{i+1}+...+U_k[/mm]
>  
> b) Für alle [mm]v \in V[/mm] existieren eindeutig bestimmte [mm]u_1 \in U_1, ..., u_k \in U_k[/mm],
> so dass [mm]v=u_1+...+u_k[/mm].
>  
> c) Sind [mm]u_i \in U_i[/mm] für [mm]i \in \{1, ..., k\}[/mm] alle von 0
> verschieden, so sind diese linear unabhängig.
>  Hallo Freunde der Mathematik,
>  
> ich tue mich mit diesem Beweis ein wenig schwer. Wäre hier
> ein RIngschluss besser geeignet als jede von ihnen einzeln
> auf äquivalenz zu überprüfen?

Ja, ein Ringschluss ist hier möglich (und kürzer).


>
> Zur Eindeutigkeit ([mm]a) \Rightarrow b))[/mm]habe ich die Idee,
> dass [mm]v=u_1+...+u_k=u'_1+...+u'_k \iff \underbrace{u_1-u'_1}_{\in U_1}+...+\underbrace{u_k-u'_k}_{\in U_k}=v[/mm].

Das stimmt nicht. Richtig ist:

[mm]v=u_1+...+u_k=u'_1+...+u'_k \iff \underbrace{u_1-u'_1}_{\in U_1}+...+\underbrace{u_k-u'_k}_{\in U_k}=0[/mm].


>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph


Bezug
                
Bezug
Direkte Summe von UVR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:57 Mi 09.01.2019
Autor: meister_quitte

Hallo fred,

ein frohes neues Jahr wünsche ich.

Wie kommst du auf die 0?

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                        
Bezug
Direkte Summe von UVR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Mi 09.01.2019
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> ein frohes neues Jahr wünsche ich.

Wünsche ich Dir auch.


>  
> Wie kommst du auf die 0?

Wir hatten



$ [mm] u_1+...+u_k=u'_1+...+u'_k [/mm] $

Wenn Du alles was rechts steht nach links bringst, bekommst Du

[mm] $u_1-u_1'+...+u_k-u_k'=0$. [/mm]

>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph


Bezug
                                
Bezug
Direkte Summe von UVR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:31 Do 10.01.2019
Autor: meister_quitte

Hallo fred,

kann ich dann sagen, dass [mm] $u_1=u'_1\in U_1, [/mm] ... , [mm] u_k=u'_k\in U_k$ [/mm] ist und somit eindeutig?

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                                        
Bezug
Direkte Summe von UVR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:49 Do 10.01.2019
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> kann ich dann sagen, dass [mm]u_1=u'_1\in U_1, ... , u_k=u'_k\in U_k[/mm]
> ist

Na klar, sagen kannst Du das ! Sagen kann man viel. Du sollst das beweisen ! Benutze hierfür a)



> und somit eindeutig?
>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph


Bezug
                                                
Bezug
Direkte Summe von UVR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:25 Do 10.01.2019
Autor: meister_quitte

Guten Morgen fred,

ich muss also, dass bisher Festgestellte nun auf W übertragen. Sehe ich das richtig? Also [mm] $u_1+...+u_{i-1}+u_{i+1}+..+u_k=u'_1+...+u'_{i-1}+u'_{i+1}+..+u'_k \iff \underbrace{u_1-u'_1}_{\in U_1}+...+\underbrace{u_{i-1}-u'_{i-1}}_{\in U_{i-1}}+\underbrace{u_{i-1}-u'_{i+1}}_{\in U_{i+1}}+..+\underbrace{u_k-u'_k}_{\in U_k}=0 \Rightarrow u_1=u'_1, [/mm] ... , [mm] u_{i-1}=u'_{i-1}, u_{i+1}=u'_{i+1}, [/mm] ... , [mm] u_k=u'_k$ [/mm]

Dies gilt dann in analoger Weise auch für U.

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                                                        
Bezug
Direkte Summe von UVR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:49 Do 10.01.2019
Autor: fred97


> Guten Morgen fred,
>  
> ich muss also, dass bisher Festgestellte nun auf W
> übertragen. Sehe ich das richtig? Also
> [mm]u_1+...+u_{i-1}+u_{i+1}+..+u_k=u'_1+...+u'_{i-1}+u'_{i+1}+..+u'_k \iff \underbrace{u_1-u'_1}_{\in U_1}+...+\underbrace{u_{i-1}-u'_{i-1}}_{\in U_{i-1}}+\underbrace{u_{i-1}-u'_{i+1}}_{\in U_{i+1}}+..+\underbrace{u_k-u'_k}_{\in U_k}=0 \Rightarrow u_1=u'_1, ... , u_{i-1}=u'_{i-1}, u_{i+1}=u'_{i+1}, ... , u_k=u'_k[/mm]

Na ja, nirgendwo sieht man , wie die Vor. a) verwendet wurde.

Wir haben [mm] (u_1-u_1')+...+(u_k-u_k')=0, [/mm]


Zu zeigen ist [mm] u_j-u_j'=0 [/mm]  für j=1,...,k. Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit j=1 annehmen (anderenfalls nummeriere um !)

Also

(*)  [mm] u_1-u_1'=-(u_2-u_2')- [/mm] ....- [mm] (u_k-u_k') [/mm]

Die linke Seite in (*) liegt in [mm] U_1 [/mm] und die rechte Seite in [mm] W_1. [/mm]

Nach Vor. a) ist [mm] U_1 \cap W_1 [/mm] = [mm] \{0\}, [/mm] also folgt [mm] u_1=u_1' [/mm] .




>
> Dies gilt dann in analoger Weise auch für U.
>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph


Bezug
                                                                
Bezug
Direkte Summe von UVR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Do 10.01.2019
Autor: meister_quitte

Hallo fred,

leider habe ich von b) zu c) keine Idee. Nur in etwa weiß ich, was dort zu zeigen ist.

Weil [mm] $v=u_1+...+u_k$ [/mm] ist ein beliebig, aber fester (wegen Eindeutigkeit) Vektor. Die Summe erzeugt v. Also ist [mm] $\lambda_1u_1+...+\lambda_ku_k=0$ [/mm] Basis von V und somit linear unabhängig. Wie kann ich dies exakter begründen, falls dies überhaupt der richtige Weg ist?

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                                                                        
Bezug
Direkte Summe von UVR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Do 10.01.2019
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> leider habe ich von b) zu c) keine Idee. Nur in etwa weiß
> ich, was dort zu zeigen ist.
>  
> Weil [mm]v=u_1+...+u_k[/mm] ist ein beliebig, aber fester (wegen
> Eindeutigkeit) Vektor. Die Summe erzeugt v.


>  Also ist
> [mm]\lambda_1u_1+...+\lambda_ku_k=0[/mm] Basis von V


???  Wie kommst Du darauf, dass [mm]\lambda_1u_1+...+\lambda_ku_k=0[/mm]  eine Basis von V ist. Mit Verlaub, das ist Unsinn. Eine Basis eines Vektorraumes ist eine Menge (von Elementen dieses Vektorraumes)

>  und somit
> linear unabhängig. Wie kann ich dies exakter begründen,
> falls dies überhaupt der richtige Weg ist?

Nein. Wieder mit Verlaub, aber Du stocherst nur im Nebel.

Es gelte also b) und es sei [mm] u_i \in U_i [/mm] mit [mm] u_i \ne [/mm] 0 für i=1,...,k.

Zu zeigen ist, dass [mm] \{u_1,...,u_k\} [/mm] linear unabhängig ist. Dazu nehmen wir uns eine Linearkombination aus  [mm] \{u_1,...,u_k\} [/mm] des Nullvektors her. Seien also

[mm] \lambda_1,...,\lambda_k \in [/mm] K und  [mm]\lambda_1u_1+...+\lambda_ku_k=0[/mm].

Zu zeigen ist [mm] \lambda_1= ...=\lambda_k=0. [/mm]

Wenn wir Vor. b) nicht verwenden, kanns nix werden mit dem Beweis ! Wir bringen also b) ins Spiel. Aber wie ?

So:  mit v=0 haben wir

    [mm]v=\lambda_1u_1+...+\lambda_ku_k[/mm].

Wir haben aber noch eine weitere Darstellung von v=0, nämlich

[mm] $v=v_1+...+v_k$, [/mm] wobei jedes [mm] v_i [/mm] =0 [mm] \in U_i [/mm] ist. Also:

[mm] \lambda_1u_1+...+\lambda_ku_k= [/mm] v= [mm] v_1+...+v_k. [/mm]

Mit Vor. b) bekommen wir: [mm] \lambda_iu_i=v_i=0 [/mm]  (i=1,...,k).

Da [mm] u_i \ne [/mm] 0 ist, muss [mm] \lambda_i=0 [/mm] sein.

Fazit: [mm] \lambda_1=...=\lambda_k=0. [/mm] Damit is c) erledigt.

>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph


Bezug
                                                                                
Bezug
Direkte Summe von UVR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:33 Do 10.01.2019
Autor: meister_quitte

Hallo fred,

zu c) nach a) habe ich folgende Idee; vielmehr eine Verbildlichung. Wenn ich mir zwei Vektoren betrachte, die linear Unabhängig sind, dann können diese nur den Nullvektor gemeinsam haben.

Kann ich somit anhand dieser Verbildlichung  c) direkt aus a) folgern?

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                                                                                        
Bezug
Direkte Summe von UVR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Do 10.01.2019
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> zu c) nach a) habe ich folgende Idee; vielmehr eine
> Verbildlichung. Wenn ich mir zwei Vektoren betrachte, die
> linear Unabhängig sind, dann können diese nur den
> Nullvektor gemeinsam haben.

Hä ? Was meinst Du denn damit ? Was  soll denn  dieses "gemeinsam haben"  genau bedeuten?  So was hab ich noch nie  gehört.  

>
> Kann ich somit anhand dieser Verbildlichung  c) direkt aus
> a) folgern?

Meine Antwort wird Dich überraschen : Nein.

Mit selbstgestrickten,  unpräzisen Begriffen lässt sich  schwer etwas folgern.


>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph


Bezug
                                                                                                
Bezug
Direkte Summe von UVR: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Do 10.01.2019
Autor: meister_quitte

Hallo fred,

ich meinte das 2 linear unabhängige Vektoren sich im Ursprung schneiden. Also den Nullvektor gemeinsam haben.

Wie kann ich obige Verbildichung allgemein beweisen?

Ich weiß nicht, wie ich die Folgerung formulieren soll.

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Direkte Summe von UVR: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Do 10.01.2019
Autor: fred97


> Hallo fred,
>  
> ich meinte das 2 linear unabhängige Vektoren sich im
> Ursprung schneiden. Also den Nullvektor gemeinsam haben.

Ich hab keine Ahnung von was Du sprichst.

>  
> Wie kann ich obige Verbildichung allgemein beweisen?

Keine Ahnung,  denn obige  Verbildlichung ist unklar,  unpräzise und hat mit  Mathematik wenig  zu  tun.

>  
> Ich weiß nicht, wie ich die Folgerung formulieren soll.

Machen wir  morgen weiter.


>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Direkte Summe von UVR: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:39 Do 10.01.2019
Autor: meister_quitte

Hallo fred,

alles gut eine Kommilitonen hat mir geholfen.

Vielen Dank für alles.

Liebe Grüße

Christoph

Bezug
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