Dimension des Kerns bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Sa 11.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Seien K ein Körper, n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] V=M_{n}(K). [/mm] Sei [mm] f(*)^{T} \otimes (*)^{T} \in End_{K}(V \otimes [/mm] V), d.h. f(A [mm] \otimes B)=A^{T} \otimes B^{T} [/mm] für alle A,B [mm] \in M_{n}(K). [/mm] Man bestimme Ker f, dim (ker f) und dim (Bild f). |
Guten Abend,
ich habe den Kern bestimmt, aber auf die Dimension des Kerns komme ich nicht.
Sei [mm] E_{ij} [/mm] die Matrix mit einer 1 an der ij-ten Stelle und Nullen sonst.
Eine Basis von V [mm] \otimes [/mm] V lautet [mm] B=\{E_{ij} \otimes E_{kl}|i,j,k,l=1,...,n\}. [/mm] Dann ist
[mm] f(\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl})=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*f(E_{ij} \otimes E_{kl)}=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*(E_{ij}^{T} \otimes E_{kl)^{T}} [/mm] und das ist =0 genau dann wenn [mm] a_{ijkl}=0. [/mm] DAs heißt es ist
[mm] ker(f)=span\{E_{ji} \otimes E_{lk}\}.
[/mm]
Den Kern hab ich also, aber wie komme ich auf die Dimension?
Ich hatte gedacht, dass vielleicht dim [mm] ker(f)=n^{4} [/mm] ist, da i,j,k,l von 1,...,n laufen,aber ich denke das dürfte etwas komplizierter sein.
Die Dimension des Bildes könnte ich dann einfach mit Dimensionssatz ausrechnen: dim V=n=dim ker (f)+dim Bild (f).
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 So 12.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien K ein Körper, n [mm]\in \IN[/mm] und [mm]V=M_{n}(K).[/mm] Sei [mm]f=(*)^{T} \otimes (*)^{T} \in End_{K}(V \otimes[/mm]
> V), d.h. f(A [mm]\otimes B)=A^{T} \otimes B^{T}[/mm] für alle A,B
> [mm]\in M_{n}(K).[/mm] Man bestimme Ker f, dim (ker f) und dim (Bild
> f).
> Guten Abend,
>
> ich habe den Kern bestimmt, aber auf die Dimension des
> Kerns komme ich nicht.
>
> Sei [mm]E_{ij}[/mm] die Matrix mit einer 1 an der ij-ten Stelle und
> Nullen sonst.
> Eine Basis von V [mm]\otimes[/mm] V lautet [mm]B=\{E_{ij} \otimes E_{kl}|i,j,k,l=1,...,n\}.[/mm]
> Dann ist
>
> [mm]f(\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl})=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*f(E_{ij} \otimes E_{kl)}=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*(E_{ij}^{T} \otimes E_{kl)^{T}}[/mm]
> und das ist =0 genau dann wenn [mm]a_{ijkl}=0.[/mm]
Aber nur wenn das für alle möglichen Werte von i,j,k,l gilt (weil auch die transponierten Matrizen [mm] $E_{ji} \otimes E_{lk}$ [/mm] eine Basis bilden), also nur wenn
[mm]\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl} = 0 [/mm]
(Du kannst dir auch überlegen, dass f injektiv ist.)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 So 12.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo rainerS,
> > Dann ist
> >
> > [mm]f(\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl})=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*f(E_{ij} \otimes E_{kl)}=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*(E_{ij}^{T} \otimes E_{kl)^{T}}[/mm]
> > und das ist =0 genau dann wenn [mm]a_{ijkl}=0.[/mm]
>
> Aber nur wenn das für alle möglichen Werte von i,j,k,l
> gilt (weil auch die transponierten Matrizen [mm]E_{ji} \otimes E_{lk}[/mm]
> eine Basis bilden), also nur wenn
>
> [mm]\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl} = 0[/mm]
Ja stimmt.
> (Du kannst dir auch überlegen, dass f injektiv ist.)
Ich würde sagen, f ist injektiv, da die [mm] a_{i,j,k,l}=0 [/mm] sind. Aber wenn f injektiv ist der Kern 0 [mm] \otimes [/mm] 0, wobei 0 die Nullmatrix ist. Das heißt dim ker(f)=0 und somit dim Bild(f)=n ?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Mo 13.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo rainerS,
>
> > > Dann ist
> > >
> > > [mm]f(\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl})=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*f(E_{ij} \otimes E_{kl)}=\summe_{}^{}a_{i,j,k,l}*(E_{ij}^{T} \otimes E_{kl)^{T}}[/mm]
> > > und das ist =0 genau dann wenn [mm]a_{ijkl}=0.[/mm]
> >
> > Aber nur wenn das für alle möglichen Werte von i,j,k,l
> > gilt (weil auch die transponierten Matrizen [mm]E_{ji} \otimes E_{lk}[/mm]
> > eine Basis bilden), also nur wenn
> >
> > [mm]\summe_{}^{} a_{i,j,k,l}*E_{ij} \otimes E_{kl} = 0[/mm]
>
> Ja stimmt.
> > (Du kannst dir auch überlegen, dass f injektiv ist.)
>
> Ich würde sagen, f ist injektiv, da die [mm]a_{i,j,k,l}=0[/mm]
> sind. Aber wenn f injektiv ist der Kern 0 [mm]\otimes[/mm] 0, wobei
> 0 die Nullmatrix ist. Das heißt dim ker(f)=0 und somit dim
> Bild(f)=n ?
Fast: [mm] $\dim \ker [/mm] f = 0$ und [mm] $\dim \mathop{\mathrm{Bild}} [/mm] f = [mm] \dim(V\otimes [/mm] V)$, was nicht n ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Fast: [mm]\dim \ker f = 0[/mm] und [mm]\dim \mathop{\mathrm{Bild}} f = \dim(V\otimes V)[/mm],
> was nicht n ist.
Ach stimmt, es ist dann dim [mm] Bild(f)=n^{2} [/mm] richtig?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Di 14.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
>
> > Fast: [mm]\dim \ker f = 0[/mm] und [mm]\dim \mathop{\mathrm{Bild}} f = \dim(V\otimes V)[/mm],
> > was nicht n ist.
>
> Ach stimmt, es ist dann dim [mm]Bild(f)=n^{2}[/mm] richtig?
Nein, denn [mm] $n^2$ [/mm] ist doch die Dimension von V, also ist die DImension von [mm] $V\otimes [/mm] V$ [mm] $n^4$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 So 12.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Gleiche Aufgabe mit [mm] f=id+(*)^{T} \otimes (*)^{T}, [/mm] d.h. f(A [mm] \otimes [/mm] B)=A [mm] \otimes B+A^{T} \otimes B^{T}. [/mm] |
Hallo,
der Kern ist dann [mm] ker(f)={span}\{E_{ij} \otimes E_{kl}+E_{ji} \otimes E_{lk}\}.
[/mm]
Außerdem muss gelten entweder 1) [mm] a_{ijkl}=0 [/mm] für alle ijkl oder 2) [mm] E_{ij} \otimes E_{kl}=-E_{ji} \otimes E_{lk}.
[/mm]
Ich denke f ist nicht injektiv,aber wie krieg ich denn nun die Dimension raus?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mo 13.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gleiche Aufgabe mit [mm]f=id+(*)^{T} \otimes (*)^{T},[/mm] d.h. f(A
> [mm]\otimes[/mm] B)=A [mm]\otimes B+A^{T} \otimes B^{T}.[/mm]
> Hallo,
>
> der Kern ist dann [mm]ker(f)={span}\{E_{ij} \otimes E_{kl}+E_{ji} \otimes E_{lk}\}.[/mm]
Nein, da hast du wieder den gleichen Fehler gemacht wie bei der ersten Aufgabe.
> Außerdem muss gelten entweder 1) [mm]a_{ijkl}=0[/mm] für alle ijkl
> oder 2) [mm]E_{ij} \otimes E_{kl}=-E_{ji} \otimes E_{lk}.[/mm]
Das ist schon näher dran, aber auch noch nicht richtig, denn du musst die Koeffizienten der Darstellungmatrix bezüglich deiner Basis ausrechnen. Hier hast du einfach diejenigen Basisvektoren verglichen, die den gleichen Koeffizienten [mm] $a_{ijkl}$ [/mm] zu haben scheinen. (Es ist übrigens [mm] $E_{ji}\not=E_{ij}$ [/mm] für [mm] $i\not=j$.)
[/mm]
Du hast
[mm] 0 = \summe_{i,j,k,l} a_{ijkl} (E_{ij}\otimes E_{kl} + E_{ji}\otimes E_{lk}) [/mm] .
Ziehe die innere Summe auseinander:
[mm] 0 = \summe_{i,j,k,l} a_{ijkl}E_{ij}\otimes E_{kl} + \summe_{i,j,k,l}a_{ijkl} E_{ji}\otimes E_{lk} [/mm]
und vertausche in der zweiten Summe die Indizes i<->j und k<->l:
[mm] 0 = \summe_{i,j,k,l} a_{ijkl}E_{ij}\otimes E_{kl} + \summe_{i,j,k,l}a_{jilk} E_{ij}\otimes E_{lk} = \summe_{i,j,k,l} (a_{ijkl}+a_{jilk}) E_{ij}\otimes E_{kl} [/mm] .
Welche Bedingungen bekommst du also für die [mm] $a_{ijkl}$ [/mm] ? Wieviele sind das? Daraus bekommst du die Dimension des Kerns.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo rainerS,
> und vertausche in der zweiten Summe die Indizes i<->j und
> k<->l:
Aber wieso darf ich denn einfach die indizes vertauschen, müsste ich das auch nicht in der ersten Summe machen?
> [mm]0 = \summe_{i,j,k,l} a_{ijkl}E_{ij}\otimes E_{kl} + \summe_{i,j,k,l}a_{jilk} E_{ij}\otimes E_{lk} = \summe_{i,j,k,l} (a_{ijkl}+a_{jilk}) E_{ij}\otimes E_{kl}[/mm]
> .
>
> Welche Bedingungen bekommst du also für die [mm]a_{ijkl}[/mm] ?
> Wieviele sind das? Daraus bekommst du die Dimension des
> Kerns.
Es muss gelten: [mm] a_{ijkl}=-a_{jilk}.
[/mm]
Dann muss ja i=j und k=l sein, also [mm] n*n=n^{2} [/mm] Möglichkeiten. Das heißt dim [mm] ker(f)=n^{2} [/mm] ?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Di 14.06.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo rainerS,
>
> > und vertausche in der zweiten Summe die Indizes i<->j und
> > k<->l:
>
> Aber wieso darf ich denn einfach die indizes vertauschen,
> müsste ich das auch nicht in der ersten Summe machen?
Nach dem Auseinanderziehen sind die beiden Summen unabhängig, daher kannst du jede der Summen getrennt umformen. Oder anders gesagt: du darfst das, weil du die ursprüngliche Summe in zwei unabhängigige Summen auseinanderziehen kannst.
>
> > [mm]0 = \summe_{i,j,k,l} a_{ijkl}E_{ij}\otimes E_{kl} + \summe_{i,j,k,l}a_{jilk} E_{ij}\otimes E_{lk} = \summe_{i,j,k,l} (a_{ijkl}+a_{jilk}) E_{ij}\otimes E_{kl}[/mm]
> > .
> >
> > Welche Bedingungen bekommst du also für die [mm]a_{ijkl}[/mm] ?
> > Wieviele sind das? Daraus bekommst du die Dimension des
> > Kerns.
>
> Es muss gelten: [mm]a_{ijkl}=-a_{jilk}.[/mm]
Richtig, und zwar für beliebige Indizes i,j,k,l.
>
> Dann muss ja i=j und k=l sein, also [mm]n*n=n^{2}[/mm]
Vorsicht. Die Bedingung an die [mm] $a_{ijkl}$ [/mm] gilt auch für [mm] $i\not=j$ [/mm] oder [mm] $k\not=l$.
[/mm]
Für i=j und k=l folgt sofort [mm] $a_{iikk} [/mm] = 0$.
Für i=j und [mm] $k\not=l$ [/mm] ist [mm] $a_{iikl} [/mm] = [mm] -a_{iilk}$, [/mm] analog für [mm] $i\not=j$ [/mm] und $k=l$.
Bleibt noch [mm] $i\not=j$ [/mm] und [mm] $k\not=l$.
[/mm]
Du musst diese vier Fälle getrennt abzählen.
Viele Grüße
Rainer
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