Differenzengleichung lösen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
hi,
mir isses ja schon fast peinlich, die frage zu stellen, aber irgendwie hab ich so meine probs mit der pbz. also ich bin auf folgenden ausdruck gekommen:
[mm] Y(z)=\bruch{2z^{2}+z}{z^{2}-2z+1}=\bruch{2z^{2}+z}{(z-1)^{2}}=\bruch{A}{z-1}+\bruch{B}{(z-1)^{2}} \gdw 2z^{2}+z=A(z-1)+B \gdw 2z^{2}+z=Az+(-A+B) \Rightarrow [/mm] A=1 [mm] \Rightarrow [/mm] -1+B=0 [mm] \gdw [/mm] B=1
[mm] \Rightarrow Y(z)=\bruch{2z^{2}+z}{z^{2}-2z+1}=\bruch{1}{z-1}+\bruch{1}{(z-1)^{2}} [/mm]
meine probe: [mm] \bruch{1(z-1)}{(z-1)^{2}}+\bruch{1}{(z-1)^{2}}=\bruch{z}{(z-1)^{2}} \not= \bruch{2z^{2}+z}{(z-1)^{2}}
[/mm]
wo liegt mein fehler? :S
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Sa 27.06.2009 | | Autor: | abakus |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> hi,
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> mir isses ja schon fast peinlich, die frage zu stellen,
> aber irgendwie hab ich so meine probs mit der pbz. also ich
> bin auf folgenden ausdruck gekommen:
>
> [mm]Y(z)=\bruch{2z^{2}+z}{z^{2}-2z+1}=\bruch{2z^{2}+z}{(z-1)^{2}}=\bruch{A}{z-1}+\bruch{B}{(z-1)^{2}} \gdw 2z^{2}+z=A(z-1)+B \gdw 2z^{2}+z=Az+(-A+B) \Rightarrow[/mm]
> A=1 [mm]\Rightarrow[/mm] -1+B=0 [mm]\gdw[/mm] B=1
Hallo,
ich weiß nicht, woher dein Schluss auf A=1 kommen soll.
Ich würde es so machen:
[mm] \bruch{2z^{2}+z}{(z-1)^{2}}=\bruch{2z^{2} -2z+2z +z}{(z-1)^{2}}=\bruch{2z^{2}-2z}{(z-1)^{2}}+\bruch{3z}{(z-1)^{2}}=\bruch{2z(z-1)}{(z-1)^{2}}+\bruch{3z}{(z-1)^{2}}=\bruch{2z}{(z-1)}+\bruch{3z}{(z-1)^{2}}
[/mm]
Gruß Abakus
> [mm]\Rightarrow Y(z)=\bruch{2z^{2}+z}{z^{2}-2z+1}=\bruch{1}{z-1}+\bruch{1}{(z-1)^{2}}[/mm]
>
> meine probe:
> [mm]\bruch{1(z-1)}{(z-1)^{2}}+\bruch{1}{(z-1)^{2}}=\bruch{z}{(z-1)^{2}} \not= \bruch{2z^{2}+z}{(z-1)^{2}}[/mm]
>
> wo liegt mein fehler? :S
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ich bekomm mein A=1 durch koeffizientenvgl: [mm] 2z^{2}+1z=Az+(-A+B) [/mm] links hat das z ne 1 als koeffizient und rechts n A [mm] \Rightarrow [/mm] A=1 ;) also ka, was daran falsch sein soll, aber es is ja falsch :/ vllt wegen dem [mm] z^{2}? [/mm] dass man da noch was machen muss? aber danke für dein lösungsweg. also jetzt weiter:
[mm] Y(z)=\bruch{2z}{(z-1)}+\bruch{3z}{(z-1)^{2}}=z(\bruch{2}{(z-1)}+\bruch{3}{(z-1)^{2}})=\bruch{2}{1-\bruch{1}{z}}+\bruch{3}{z-2+\bruch{1}{z}} [/mm] also der erste bruch is ja [mm] \summe_{k=0}^{n}(\bruch{2}{z})^{k} [/mm] aber was mach ich mit dem 2.?
wär nett, wenn mir hier nochmal jmd helfen könnte. bin so kurz vorm ziel : D
sg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Sa 27.06.2009 | | Autor: | abakus |
> ich bekomm mein A=1 durch koeffizientenvgl:
> [mm]2z^{2}+1z=Az+(-A+B)[/mm] links hat das z ne 1 als koeffizient
> und rechts n A [mm]\Rightarrow[/mm] A=1 ;) also ka, was daran falsch
> sein soll, aber es is ja falsch :/ vllt wegen dem [mm]z^{2}?[/mm]
> dass man da noch was machen muss? aber danke für dein
> lösungsweg. also jetzt weiter:
>
> [mm]Y(z)=\bruch{2z}{(z-1)}+\bruch{3z}{(z-1)^{2}}=z(\bruch{2}{(z-1)}+\bruch{3}{(z-1)^{2}})=\bruch{2}{1-\bruch{1}{z}}+\bruch{3}{z-2+\bruch{1}{z}}[/mm]
> also der erste bruch is ja
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(\bruch{2}{z})^{k}[/mm]
Das ist falsch. Du musst den Zähler 2 schon vorher ausklammern: [mm] \bruch{2}{(z-1)}=2\bruch{1}{(z-1)}, [/mm] und daraus erhältst du [mm] 2*\summe_{k=0}^{n}(\bruch{1}{z})^{k}
[/mm]
> aber was mach ich mit
> dem 2.?
>
> wär nett, wenn mir hier nochmal jmd helfen könnte. bin so
> kurz vorm ziel : D
>
> sg
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oh, stimmt. danke :)
jemand noch ne idee für den 2. bruch? ich hab mir überlegt, dass man evtl mit der beziehung [mm] (z-1)^{2}=2\integral_{}^{}{(z-1)dz} [/mm] die reihe des 2. bruchs herleiten kann. allerdings müsste man dann die int'konst. = 1 setzen, damit das hinhaut oda irgendwie anders tricksen. wenn jmd noch n trick auf lager hat, her damit ;)
sg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 02.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Reicheinstein,
> ich bekomm mein A=1 durch koeffizientenvgl:
> [mm]2z^{2}+1z=Az+(-A+B)[/mm] links hat das z ne 1 als koeffizient
> und rechts n A [mm]\Rightarrow[/mm] A=1 ;) also ka, was daran falsch
> sein soll, aber es is ja falsch :/ vllt wegen dem [mm]z^{2}?[/mm]
> dass man da noch was machen muss? aber danke für dein
> lösungsweg. also jetzt weiter:
>
> [mm]Y(z)=\bruch{2z}{(z-1)}+\bruch{3z}{(z-1)^{2}}=z(\bruch{2}{(z-1)}+\bruch{3}{(z-1)^{2}})=\bruch{2}{1-\bruch{1}{z}}+\bruch{3}{z-2+\bruch{1}{z}}[/mm]
Die Zerlegung von
[mm]\bruch{2z^{2}+z}{\left(z-1\right)^{2}}[/mm]
in Partialbrüche stimmt nicht.
Schreibe [mm]2z^{2}+z[/mm] in der Form [mm]a*\left(z-1\right)^{2}+b*\left(z-1\right)+c[/mm].
> also der erste bruch is ja
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(\bruch{2}{z})^{k}[/mm] aber was mach ich mit
> dem 2.?
>
> wär nett, wenn mir hier nochmal jmd helfen könnte. bin so
> kurz vorm ziel : D
>
> sg
Gruss
MathePower
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ich weiß, wo mein fehler lag: zählergrad [mm] \ge [/mm] nennergrad [mm] \Rightarrow [/mm] polynomdivision :/
die frage is, ob mir das was bringt!? ich erhalte: [mm] 2z-\bruch{5}{2}+\bruch{5}{2(z-1)^{2}} [/mm] und das muss ich jetzt inne laurent-reihe entwickeln?? ich bin genauso schlau wie vorher :/
wenn ich es mache, wie von dir vorgeschlagen, bekomm ich das gleiche, nur in folgender form: [mm] 2+\bruch{5}{z-1}+\bruch{3}{(z-1)^{2}}
[/mm]
die 2 kann ich wohl schlecht inne reihe entwickeln, oda? bleibt die dann einfach so stehen?
[mm] \bruch{5}{z-1}=5\bruch{1}{z}\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=5\bruch{1}{z}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^{k}=5\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{z})^{k}
[/mm]
aber wie geh ich beim 2. bruch vor? jmd n tipp? sg
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Hallo Reicheinstein,
> ich weiß, wo mein fehler lag: zählergrad [mm]\ge[/mm] nennergrad
> [mm]\Rightarrow[/mm] polynomdivision :/
>
> die frage is, ob mir das was bringt!? ich erhalte:
> [mm]2z-\bruch{5}{2}+\bruch{5}{2(z-1)^{2}}[/mm] und das muss ich
> jetzt inne laurent-reihe entwickeln?? ich bin genauso
> schlau wie vorher :/
>
> wenn ich es mache, wie von dir vorgeschlagen, bekomm ich
> das gleiche, nur in folgender form:
> [mm]2+\bruch{5}{z-1}+\bruch{3}{(z-1)^{2}}[/mm]
> die 2 kann ich wohl schlecht inne reihe entwickeln, oda?
> bleibt die dann einfach so stehen?
Ja.
>
> [mm]\bruch{5}{z-1}=5\bruch{1}{z}\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}=5\bruch{1}{z}\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^{k}=5\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{z})^{k}[/mm]
>
> aber wie geh ich beim 2. bruch vor? jmd n tipp? sg
Zwei Möglichkeiten:
1. Multipliziere die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{z})^{k}[/mm] mit sich selbst.
oder
2. Differenziere die Gleichung
[mm]\bruch{1}{z-1}=\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{z})^{k}[/mm]
Gruß
MathePower
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hi,
danke. ich multipliziere sie mit sich selbst :) nur, was kommt dann raus? :S muss ich hier cauchyprodukt benutzen? es sind ja gleiche reihen. gibts da n trick oda so? sg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Mi 01.07.2009 | | Autor: | abakus |
> hi,
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> danke. ich multipliziere sie mit sich selbst :) nur, was
> kommt dann raus?
Das merkst du, wenn du es tust!
Fang einfach an, [mm] (\bruch{1}{z}+\bruch{1}{z^2}+\bruch{1}{z^3}+...)*(\bruch{1}{z}+\bruch{1}{z^2}+\bruch{1}{z^3}*...)
[/mm]
gliedweise auszumultiplizieren (kleinste Potenzen zuerst).
Gruß Abakus
> :S muss ich hier cauchyprodukt benutzen?
> es sind ja gleiche reihen. gibts da n trick oda so? sg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> hi,
>
> danke. ich multipliziere sie mit sich selbst :) nur, was
> kommt dann raus? :S muss ich hier cauchyprodukt
Cauchyprodukt ist eine hervorragende Idee
FRED
> benutzen?
> es sind ja gleiche reihen. gibts da n trick oda so? sg
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hm, danke euch. also egal wie ich es mache, es muss ja das gleiche rauskommen. bin mir aber jetzt beim cauchy-produkt nich sicher.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^k\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^k=\summe_{k=0}^{\infty}(\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^{n}(\bruch{1}{z})^{k-n}) [/mm] wenn ich da aber einfach mal werte einsetze, kommt irgendwie nich das gleiche raus :/ oda ich setze falsch ein oda muss man bei dem produkt was besonderes beachten? kann man das dann auch zu einer summe zusammenfassen? indem man die indices irgendwie umdefiniert? sowas ähnliches haben wir glaub ich im tutorium gemacht.
sg
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Hallo Reicheinstein,
> hm, danke euch. also egal wie ich es mache, es muss ja das
> gleiche rauskommen. bin mir aber jetzt beim cauchy-produkt
> nich sicher.
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^k\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^k=\summe_{k=0}^{\infty}(\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^{n}(\bruch{1}{z})^{k-n})[/mm] Frage
> wenn ich da aber einfach mal werte einsetze, kommt
> irgendwie nich das gleiche raus :/ oda ich setze falsch ein
> oda muss man bei dem produkt was besonderes beachten? kann
> man das dann auch zu einer summe zusammenfassen? indem man
> die indices irgendwie umdefiniert? sowas ähnliches haben
> wir glaub ich im tutorium gemacht.
Nun, multiplizieren wir die Reihe mit sich selbst:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^k\summe_{l=0}^{\infty}(\bruch{1}{z})^l=\summe_{k=0}^{\infty}\summe_{l=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{z}\right)^{k}*\left(\bruch{1}{z}\right)^{l}[/mm]
Ordnen wir das jetzt nach Potenzen n=k+l:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{1}{z}\right)^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)*\left(\bruch{1}{z}\right)^{n}[/mm]
>
> sg
Gruß
MathePower
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hm, ok, danke. eine frage noch, hoffentlich die letzte ;)
is das dann eine laurentreihe? :S ich erkenn das einfach nich...
sg
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Hallo Reicheinstein,
> hm, ok, danke. eine frage noch, hoffentlich die letzte ;)
> is das dann eine laurentreihe? :S ich erkenn das einfach
> nich...
Ja, das ist eine Laurentreihe, da z im Nenner steht,
und somit negative Potenzen auftreten.
> sg
Gruß
MathePower
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