www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl
Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:26 Fr 01.05.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Leiten Sie die Dichtefunktion der [mm] \chi^2(1)-Verteilung [/mm] aus Kenntnis der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung her.
Tipp: X = [mm] Z^2 [/mm] ist für standardnormalverteiltes Z chi-quadrat-verteilt mit m = 1. Verwenden Sie nun P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(Z^2 \le [/mm] x) um die Verteilungsfunktion von X durch jene von Z auszudrücken.

Hallo!

Die Dichtefunktion der [mm] \chi^2-Verteilung [/mm] ist laut meinem Buch:

f(x) = [mm] \bruch{1}{2^{\bruch{m}{2}} \Gamma(\bruch{m}{2})} x^{\bruch{m}{2} - 1} e^{-\bruch{x}{2}}. [/mm]

Die der [mm] \chi^2(1)-Verteilung [/mm] lautet somit

f(x) = [mm] \bruch{1}{2^{\bruch{1}{2}} \Gamma(\bruch{1}{2})} x^{\bruch{1}{2} - 1} e^{-\bruch{x}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2 \pi x}} e^{-\bruch{x}{2}} [/mm]

Jetzt ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:

[mm] \phi(z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{z \pi}} e^{-\bruch{z^2}{2}} [/mm]

Jetzt ist X = [mm] Z^2, [/mm] somit gilt

[mm] F_x(x) [/mm] = [mm] F_z(\wurzel{x}) [/mm]

Jetzt ableiten:

[mm] F_x'(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}} F_z'(x^{\bruch{1}{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}} \phi(\wurzel{x}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \wurzel{2 \pi x}} e^{-\bruch{x}{2}} \ne \bruch{1}{\wurzel{2 \pi x}} e^{-\bruch{x}{2}} [/mm]

Was mache ich falsch?

        
Bezug
Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Fr 01.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Jetzt ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:
>  
> [mm]\phi(z)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{z \pi}} e^{-\bruch{z^2}{2}}[/mm]

Das solltest du nochmal nachschlagen…

  

> Jetzt ist X = [mm]Z^2,[/mm] somit gilt
>  
> [mm]F_x(x)[/mm] = [mm]F_z(\wurzel{x})[/mm]

Auch das ist nicht korrekt…
Schreib mal die Definition der Verteilungsfunktion für X konkret hin und Forme dann sauber äquivalent um! (Im Übrigen ist der Index von F die ZV, d.h. der Großbuchstabe)
Tipp: [mm] $Z^2 \le [/mm] x [mm] \not\gdw [/mm] Z [mm] \le \sqrt{x}$ [/mm]

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:41 Sa 02.05.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

> > Jetzt ist die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung:
>  >  
> > [mm]\phi(z)[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{z \pi}} e^{-\bruch{z^2}{2}}[/mm]
>  
> Das solltest du nochmal nachschlagen…

Tippfehler!

>  
>
> > Jetzt ist X = [mm]Z^2,[/mm] somit gilt
>  >  
> > [mm]F_x(x)[/mm] = [mm]F_z(\wurzel{x})[/mm]
>  Auch das ist nicht korrekt…
>  Schreib mal die Definition der Verteilungsfunktion für X
> konkret hin und Forme dann sauber äquivalent um! (Im
> Übrigen ist der Index von F die ZV, d.h. der
> Großbuchstabe)
>  Tipp: [mm]Z^2 \le x \not\gdw Z \le \sqrt{x}[/mm]

Bin leider zu doof; die Definition der Verteilungsfunktion für X:

[mm] F_X(x) [/mm] = P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(Z^2 \le [/mm] x) = P(|Z| [mm] \le \wurzel{x}) [/mm]

Aber was kann ich damit anfangen. Ich brauche

P(Z [mm] \le [/mm] irgendwas)

statt

P(|Z| [mm] \le [/mm] irgendwas)

um mit [mm] F_Z(irgendwas) [/mm]

gleichsetzen zu können ... :-(

Bezug
                        
Bezug
Dichtefunktion Chi-Quadrat-Vtl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:40 Sa 02.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Bin leider zu doof; die Definition der Verteilungsfunktion
> für X:
>  
> [mm]F_X(x)[/mm] = P(X [mm]\le[/mm] x) = [mm]P(Z^2 \le[/mm] x) = P(|Z| [mm]\le \wurzel{x})[/mm]

Bis hierhin ja schon ganz gut.

>  
> Aber was kann ich damit anfangen. Ich brauche
>  
> P(Z [mm]\le[/mm] irgendwas)
>  
> statt
>  
> P(|Z| [mm]\le[/mm] irgendwas)

korrekt.

Es ist doch aber: $|Z| [mm] \le [/mm] z [mm] \gdw [/mm] -z [mm] \le [/mm] Z [mm] \le [/mm] z$

und schon bekommen wir (da Z stetig):
[mm] $F_X(x)= [/mm] P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] P(Z^2 \le [/mm] x) = P(|Z| [mm] \le \wurzel{x}) [/mm] = [mm] P(-\wurzel{x} \le [/mm] Z [mm] \le \wurzel{x}) [/mm] = P(Z [mm] \le \wurzel{x}) [/mm] - P(Z [mm] \le -\wurzel{x})$ [/mm]

Insgesamt also:
[mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] F_Z(\wurzel{x}) [/mm] - [mm] F_Z(-\wurzel{x})$ [/mm]

Damit könnte man ja schon arbeiten… wenn man nun aber noch nutzt, dass Z standardnormalverteilt ist, gilt ja sogar [mm] $F_Z(-\wurzel{x}) [/mm] = 1 - [mm] F_Z(\wurzel{x})$ [/mm] und der ganze Spaß vereinfacht sich zu:

[mm] $F_X(x) [/mm] = [mm] 2F(\wurzel{x}) [/mm] - 1$

Gruß,
Gono

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de