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Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:39 Di 22.05.2018
Autor: Max34

Aufgabe
Hallo,
ich komme einfach nicht weiter. Es ist zu zeigen:
A [mm] \in \mathbb C^{n \times n} [/mm]  ist normal, wenn es eine Matrix B [mm] \in [/mm]  U(n) gibt s.d. [mm] B^{-1}AB [/mm]
eine (komplexe) Diagonalmatrix ist.

Kann mir da jmd einen Tipp geben?

        
Bezug
Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:17 Di 22.05.2018
Autor: fred97


> Hallo,
>  ich komme einfach nicht weiter. Es ist zu zeigen:
>   A [mm]\in \mathbb C^{n \times n}[/mm]  ist normal, wenn es eine
> Matrix B [mm]\in[/mm]  U(n) gibt s.d. [mm]B^{-1}AB[/mm]
>  eine (komplexe) Diagonalmatrix ist.
>  Kann mir da jmd einen Tipp geben?


Ich nehme an, dass mit U(n) die Menge der unitären komplexen n [mm] \times [/mm] n - Matrizen gemeint ist.

Wir haben also [mm] D:=B^{-1}AB [/mm] ist eine komplexe Diagonalmatrix.

Dan ist [mm] $A=BDB^{-1}=BAB^{\star}$ [/mm]

Damit berechnest Du nun [mm] A^{\star} [/mm] und die Produkte [mm] AA^{\star} [/mm] und [mm] A^{\star}A. [/mm]

Dann solltest Du sehen, dass A normal ist,wenn gilt [mm] DD^{\star} [/mm] und [mm] D^{\star}D. [/mm]

Das ist aber der Fall ! Warum ?

Bezug
                
Bezug
Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:48 Di 22.05.2018
Autor: Max34

Aufgabe
Ja mit U(n) ist die Menge der unitären komplexen n $ [mm] \times [/mm] $ n - Matrizen gemeint.
Also wenn ich jetzt habe [mm] A=BDB^{-1} [/mm] = BDB*.
Dann wäre doch A* =   (BDB*)* = B D* B*
A= BDB*

Dann ist AA*= (BDB*)(B D* B*)=BD E D*B wegen B*B=E
A*A= (BD*B*)(BDB*)=BD*DB*

Jetzt fehlt mir nur noch das Wissen, warum DD*=D*D ist.
Aber ist nicht nach dem Spektralsatz D eine relle Diagonalmatrix?

Bezug
                        
Bezug
Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:19 Di 22.05.2018
Autor: fred97


> Ja mit U(n) ist die Menge der unitären komplexen n [mm]\times[/mm]
> n - Matrizen gemeint.
>  Also wenn ich jetzt habe [mm]A=BDB^{-1}[/mm] = BDB*.
>  Dann wäre doch A* =   (BDB*)* = B D* B*
>  A= BDB*
>  
> Dann ist AA*= (BDB*)(B D* B*)=BD E D*B wegen B*B=E

Ja, also  AA*= B DD*B


>  A*A= (BD*B*)(BDB*)=BD*DB*
>  Jetzt fehlt mir nur noch das Wissen, warum DD*=D*D ist.
>  Aber ist nicht nach dem Spektralsatz D eine relle
> Diagonalmatrix?

Nein, nach Vor. ist doch D eine komplexe Diagonlamatrix, etwa

[mm] D=diag(d_1,...,d_n) [/mm] mit [mm] $d_j \in \mathbb [/mm] C$.

Dann ist [mm] D^{\star}= diag(\overline{d_1},...,\overline{d_n}), [/mm] also

[mm] DD^{\star}= diag(|d_1|^2,...., |d_n|^2)=D^{\star}D, [/mm]

beachte hierbei , dass für komplexes z gilt: [mm] \overline{z}z=|z|^2=z\overline{z}. [/mm]




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Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:22 Di 22.05.2018
Autor: Max34

Aufgabe
Ja dann hast du ja schon die Antwort gegeben, warum DD*=DD*
Ich hätte nur gedacht, dass eine Diagonalmatrix immer reell ist nach dem Spektralsatz unter den Vorraussetzungen?

Wo ist denn da mein Denkfehler?
Warum kann dann egtl die Umkehrung dieses Satzes nicht gelten?

Bezug
                                        
Bezug
Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:32 Di 22.05.2018
Autor: fred97


> Ja dann hast du ja schon die Antwort gegeben, warum
> DD*=DD*

So ist es.


>  Ich hätte nur gedacht, dass eine Diagonalmatrix immer
> reell ist nach dem Spektralsatz unter den
> Vorraussetzungen?

Wenn D reell ist, so ist A nicht nur normal, sondern auch noch symmetrisch.


>  Wo ist denn da mein Denkfehler?
>  Warum kann dann egtl die Umkehrung dieses Satzes nicht
> gelten?

Die Umkehrung gilt doch: A ist genau dann normal, wenn A unitär diagonalisierbar ist.

Du hattest zu zeigen: A unitär diagonalisierbar [mm] \Rightarrow [/mm] A normal.


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Bezug
Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:36 Di 22.05.2018
Autor: Max34

Aufgabe
Achso. D.h ich hatte eine Voraussetzung nicht für den Spektralsatz.
Dankeschön:)

Laut Aufgabenstellung sollte die Umkehrung nicht gelten:
Warum gilt die Umkehrung von (iii)? (Tipp: sind komplexe Diagonalmatrizen normal?)

Bezug
                                                        
Bezug
Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:42 Di 22.05.2018
Autor: fred97


> Achso. D.h ich hatte eine Voraussetzung nicht für den
> Spektralsatz.
>  Dankeschön:)
>  Laut Aufgabenstellung sollte die Umkehrung nicht gelten:

Wer sagt das ???


>  Warum gilt die Umkehrung von (iii)? (Tipp: sind komplexe
> Diagonalmatrizen normal?)

Ja,  Diagonalmatrizen sind normal, das hab ich Dir in meiner zweiten Antwort vorgemacht !

Schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Normale_Matrix


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Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:54 Di 22.05.2018
Autor: Max34

Aufgabe
Es tut mir leid. Ich habe die ganze Zeit gelesen, dass die Umkehrung nicht gelten soll gelesen, aber das steht ja nicht mal da :)
Sorry.
Jetzt ist es klar:)

Ich habe folgendes gezeigt:
Fürr A [mm] \in C^{n \times n} [/mm] und B [mm] \in [/mm]  U(n) ist A genau dann normal, wenn [mm] \bar{B^T}AB [/mm] normal ist.
Warum folgt dann
, dass die Matrix eines Endomorphismus eines unitären Vektorraumes
bzgl. jeder ONB normal ist, wenn dies bzgl. irgendeiner ONB gilt?

Sei A die Matrix eines Endo, dann  gibt es eine Diagonalmatrix D und ein B [mm] \in [/mm] U(n) mit B* A B=D
Aber auch D*=B*A*B
Da gilt AA*=A*A gilt auch B*A*B=B*AB, d.h A ist bzgl jeder ONB normal, da A beliebig gewählt?

Bezug
                                                                        
Bezug
Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Di 22.05.2018
Autor: fred97


> Es tut mir leid. Ich habe die ganze Zeit gelesen, dass die
> Umkehrung nicht gelten soll gelesen, aber das steht ja
> nicht mal da :)
>  Sorry.
>  Jetzt ist es klar:)
>  Ich habe folgendes gezeigt:
>  Fürr A [mm]\in C^{n \times n}[/mm] und B [mm]\in[/mm]  U(n) ist A genau
> dann normal, wenn [mm]\bar{B^T}AB[/mm] normal ist.
>  Warum folgt dann
>  , dass die Matrix eines Endomorphismus eines unitären
> Vektorraumes
>  bzgl. jeder ONB normal ist, wenn dies bzgl. irgendeiner
> ONB gilt?

Das liegt daran, dass die Basiswechselmatrix zwischen zwei Orthonormalbasen unitär ist.

>  
> Sei A die Matrix eines Endo, dann  gibt es eine
> Diagonalmatrix D und ein B [mm]\in[/mm] U(n) mit B* A B=D

Das gilt nur, wenn A normal ist.


> Aber auch D*=B*A*B
> Da gilt AA*=A*A gilt auch B*A*B=B*AB,

Das letzte ist aber i.a. falsch, denn aus  B*A*B=B*AB folgt, da B invertierbar ist, [mm] A^{\star}=A. [/mm] Für normale und nicht symmetrische Matrizen ist  B*A*B=B*AB also falsch.





d.h A ist bzgl jeder

> ONB normal, da A beliebig gewählt?

Hä ? A beliebig gewählt ? Was meinst Du damit ?


Bezug
                                                                                
Bezug
Diagonalmatrix: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:00 Di 22.05.2018
Autor: Max34

Aufgabe
Du hast geschrieben als Antwort auf meine Frage:
Das liegt daran, dass die Basiswechselmatrix zwischen zwei Orthonormalbasen unitär ist.

Wenn A normal bzgl irgendeiner ONB ist, was bedeutet das genau?
Es ist schon klar, dass A*A=AA* gilt, aber was heißt das im Bezug auf ONB?
Wenn  die Basiswechselmatrix unitär ist, heißt das ja dass dann B*AB normal bzgl ONB ist, da das ja aus i folgt A normal dann auch B*AB.

Bezug
                                                                                        
Bezug
Diagonalmatrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:14 Do 24.05.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                                        
Bezug
Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Di 22.05.2018
Autor: Max34

Aufgabe
Ok dann ist es falsch.

Wie könnte ich es denn richtig formulieren?

Bezug
                                                                                
Bezug
Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 Di 22.05.2018
Autor: fred97


> Ok dann ist es falsch.
>  Wie könnte ich es denn richtig formulieren?

Jetzt komm ich nicht mehr mit. Was willst Du formulieren ?


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