Dgl mit Parameter < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmten sie alle Lösungen der DGL in Abhängigkeit von a
y''''+2*(a+1)y'' + [mm] (a-1)^2 [/mm] y = 0 a > 0 |
So, bin hier glaub ich auf dem falschen Dampfer,
hab erstmal substituiert [mm] \lambda^2 [/mm] = u
Danach die Lösungsformel angewendet und unter der Wurzel gekürzt
dann bekomme ich fuer u1,u2, [mm] \frac{-(2a+1)+-\wurzel{10a-3}}{2}
[/mm]
Jetzt würde ich eben 3 Fälle unterscheiden , Wurzel = 0 , negativ, postiv,
glaub aber stark das ich irgendwo falsch bin oder mich verrechnet habe
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Hallo Traumfabrik,
> Bestimmten sie alle Lösungen der DGL in Abhängigkeit von
> a
>
> y''''+2*(a+1)y'' + [mm](a-1)^2[/mm] y = 0 a > 0
> So, bin hier glaub ich auf dem falschen Dampfer,
>
> hab erstmal substituiert [mm]\lambda^2[/mm] = u
>
> Danach die Lösungsformel angewendet und unter der Wurzel
> gekürzt
>
> dann bekomme ich fuer u1,u2,
> [mm]\frac{-(2a+1)+-\wurzel{10a-3}}{2}[/mm]
>
Die Lösungen für u stimmen nicht.
> Jetzt würde ich eben 3 Fälle unterscheiden , Wurzel = 0
> , negativ, postiv,
>
> glaub aber stark das ich irgendwo falsch bin oder mich
> verrechnet habe
Um herauszufinden, wo Dein Fehler liegt,
benötigen wir Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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Danke,
hier die Schritte
[mm] u^2 +(2a+1)*u+(a-1)^2
[/mm]
[mm] (a-1)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] +1 -2a
jetzt abc Formel :
= [mm] \frac{-(2a-1)+-\wurzel{4a^2+1+2a-4a^2+8a-4}}{2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Di 25.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Danke,
>
> hier die Schritte
>
> [mm]u^2 +(2a+1)*u+(a-1)^2[/mm]
>
> [mm](a-1)^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] +1 -2a
>
> jetzt abc Formel :
>
> = [mm]\frac{-(2a-1)+-\wurzel{4a^2+1+2a-4a^2+8a-4}}{2}[/mm]
Bei der ABC-Formel wird multipliziert es gilt:
[mm] x_{1;2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
[/mm]
Mit deinen Werten:
[mm] u_{1;2}=\frac{-(2a+1)\pm\sqrt{(2a+1)^{2}-4\cdot1\cdot(a-1)^{2}}}{2\cdot1}
[/mm]
[mm] =\frac{-2a-1\pm\sqrt{4a^2+4a+1-4\cdot(a^2-2a+1)}}{2}
[/mm]
[mm] =\frac{-2a-1\pm\sqrt{4a^2+4a+1-4a^2+8a-4}}{2}
[/mm]
[mm] =\frac{-2a-1\pm\sqrt{12a-3}}{2}
[/mm]
[mm] =\frac{-2a-1\pm\sqrt{3(4a-1)}}{2}
[/mm]
[mm] =-a-\frac{1}{2}\pm\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3(4a-1)}
[/mm]
[mm] =-a-\frac{1}{2}\pm\cdot\sqrt{\frac{3}{4}\cdot(4a-1)}
[/mm]
Marius
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Also lag mein Fehler "nur" im falschen Auflösen der binomischen Formel ?
Muss ich denn jetzt keine Fallunterscheidung für die unterschiedlichen Ausdrücke der Wurzel, = 0 , negativ oder postiv machen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Di 25.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also lag mein Fehler "nur" im falschen Auflösen der
> binomischen Formel ?
Ja
>
> Muss ich denn jetzt keine Fallunterscheidung für die
> unterschiedlichen Ausdrücke der Wurzel, = 0 , negativ oder
> postiv machen ?
Ja, genau eine Lösung, wenn die Wurzel Null ist, keine Lösung, wenn die Wurzel negativ ist und zwei Lösungen, wenn die Wurzel positiv ist.
Marius
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Hallo Traumfabrik,
> Danke,
>
> hier die Schritte
>
> [mm]u^2 +(2a+1)*u+(a-1)^2[/mm]
>
Muß das nicht so lauten:
[mm]u^2 +\blue{2}(a+1)*u+(a-1)^2[/mm]
Wenn das nicht so lautet, dann ist die DGL auch nicht richtig.
> [mm](a-1)^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] +1 -2a
>
> jetzt abc Formel :
>
> = [mm]\frac{-(2a-1)+-\wurzel{4a^2+1+2a-4a^2+8a-4}}{2}[/mm]
Gruss
MathePower
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Also, hab mich da wohl ziemlich verrechnet,
bekomme [mm] u^2 +2*(a+1)*u+(a-1)^2
[/mm]
[mm] u_1 u_2 [/mm] = [mm] \frac{-2 (a+1) +- \wurzel{4a^2+4+8a-4a^2+8a-4)}}{2}
[/mm]
= -a-1 +- 2* [mm] \wurzel{a}
[/mm]
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \wurzel{-a-1 + 2* \wurzel{a}}
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = - [mm] \wurzel{-a-1 + 2* \wurzel{a}}
[/mm]
[mm] \lambda_3 [/mm] = [mm] \wurzel{-a-1 - 2* \wurzel{a}}
[/mm]
[mm] \lambda_4 [/mm] = - [mm] \wurzel{-a-1 - 2* \wurzel{a}}
[/mm]
Weiss nicht weiter, bzw. hab wohl wieder einen Fehler gemacht, weil jetzt könnten ja ein Teil der Wurzel je nach a negativ oder positiv werden ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Mi 26.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Also, hab mich da wohl ziemlich verrechnet,
>
> bekomme [mm]u^2 +2*(a+1)*u+(a-1)^2[/mm]
>
> [mm]u_1 u_2[/mm] = [mm]\frac{-2 (a+1) +- \wurzel{4a^2+4+8a-4a^2+8a-4)}}{2}[/mm]
>
> = -a-1 +- 2* [mm]\wurzel{a}[/mm]
Also [mm] u_{1;2}=-a-1\pm2\cdot\sqrt{a}
[/mm]
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\wurzel{-a-1 + 2* \wurzel{a}}[/mm]
>
> [mm]\lambda_2[/mm] = - [mm]\wurzel{-a-1 + 2* \wurzel{a}}[/mm]
>
> [mm]\lambda_3[/mm] = [mm]\wurzel{-a-1 - 2* \wurzel{a}}[/mm]
>
> [mm]\lambda_4[/mm] = - [mm]\wurzel{-a-1 - 2* \wurzel{a}}[/mm]
Das ist soweit ok.
Bedenke aber noch folgende Umformungen:
[mm] (\sqrt{z}-1)^{2}=z-2\cdot\sqrt{z}+1
[/mm]
bzw
[mm] (\sqrt{z}+1)^{2}=z+2\cdot\sqrt{z}+1
[/mm]
Damit vereinfachen sich die Wurzeln ungemein. Außerdem sieht man dann recht schnell, welche Wurzeln nicht definiert sind, da sie negativ sind.
>
> Weiss nicht weiter, bzw. hab wohl wieder einen Fehler
> gemacht, weil jetzt könnten ja ein Teil der Wurzel je nach
> a negativ oder positiv werden ???
Setze mal die binomischen Formeln passend um.
Marius
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Sorry, versteh deine Antwort leider nicht.
Habe ich oben bei den binomischen FOrmeln einen Fehler gemacht ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mi 26.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Sorry, versteh deine Antwort leider nicht.
Forme mit den beiden binomischen Formeln deine [mm] \lambda_{i} [/mm] um, evtl musst du vorher noch -1 ausklammern.
>
> Habe ich oben bei den binomischen FOrmeln einen Fehler
> gemacht ?
Deine Rechnung ist bis hier korrekt, forme die [mm] \lambda_{i} [/mm] nur noch um.
Marius
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Ok. danke fuer den Umformungstipp, habe versucht ihn anzuwenden.
Ok, ich bekomme dann denk ich :
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] \wurzel{-(\wurzel{a}-1)^2} [/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = - [mm] \wurzel{-(\wurzel{a}-1)^2}
[/mm]
[mm] \lambda_3 [/mm] = [mm] \wurzel{-(\wurzel{a}+1)^2}
[/mm]
[mm] \lambda_4 [/mm] = - [mm] \wurzel{-(\wurzel{a}+1)^2}
[/mm]
Versteh leider nicht was nicht definiert sein soll ?
a ist ja >= 0 ,
daraus folgt [mm] \lambda_3 [/mm] und [mm] \lambda_4 [/mm] auf jedenfall eine negative Wurzel ergeben, [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] bräuchten eine Fallunterscheidung von a = 1 >0 und >0 dafür.
Die Aufgabe findet irgendwie kein Ende
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Mi 26.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Ok. danke fuer den Umformungstipp, habe versucht ihn
> anzuwenden.
>
> Ok, ich bekomme dann denk ich :
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]\wurzel{-(\wurzel{a}-1)^2}[/mm]
> [mm]\lambda_2[/mm] = - [mm]\wurzel{-(\wurzel{a}-1)^2}[/mm]
> [mm]\lambda_3[/mm] = [mm]\wurzel{-(\wurzel{a}+1)^2}[/mm]
> [mm]\lambda_4[/mm] = - [mm]\wurzel{-(\wurzel{a}+1)^2}[/mm]
Das ist ok, forme aber weiter um:
[mm] $\lambda_1=\wurzel{-(\wurzel{a}-1)^2}=\sqrt{-1}\cdot(\wurzel{a}-1)$
[/mm]
In [mm] \IC [/mm] ist das ganze sicher lösbar, in [mm] \IR [/mm] nur, wenn a=1, denn dann wird [mm] \lambda_1=\wurzel{-(\wurzel{a}-1)^2} [/mm] zu [mm] \wurzel{-(\wurzel{1}-1)^2}=0
[/mm]
Dementsprechend forme die anderen [mm] \lambda_i [/mm] noch um
>
> Versteh leider nicht was nicht definiert sein soll ?
>
> a ist ja >= 0
>
> daraus folgt [mm]\lambda_3[/mm] und [mm]\lambda_4[/mm] auf jedenfall eine
> negative Wurzel ergeben,
So ist es.
> [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm]\lambda_2[/mm] bräuchten
> eine Fallunterscheidung von a = 1 >0 und >0 dafür.
Nur a=1 und [mm] a\ne1 [/mm] Sicherlich kannst du a>0 voraussetzen, denn nur dann ist die Ausgangsgleichung definiert.
>
> Die Aufgabe findet irgendwie kein Ende
Marius
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Also, wenn ich [mm] \wurzel{-1} [/mm] jeweils rausziehe was ja i ist,bekomme ich dann nicht einfach
[mm] \lambda_1 [/mm] = ( [mm] \wurzel{a}-1) [/mm] * i
[mm] \lambda_2 [/mm] = - ( [mm] \wurzel{a}-1) [/mm] * i
[mm] \lambda_3 [/mm] = ( [mm] \wurzel{a}+1) [/mm] * i
[mm] \lambda_4 [/mm] = - [mm] (\wurzel{a}+1) [/mm] * i
Jetzt könnte man noch unterscheiden ob a = 0 , kleiner 0 oder größer 0 ist
Denkfehler ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Mi 26.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Also, wenn ich [mm]\wurzel{-1}[/mm] jeweils rausziehe was ja i
> ist,bekomme ich dann nicht einfach
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = ( [mm]\wurzel{a}-1)[/mm] * i
> [mm]\lambda_2[/mm] = - ( [mm]\wurzel{a}-1)[/mm] * i
> [mm]\lambda_3[/mm] = ( [mm]\wurzel{a}+1)[/mm] * i
> [mm]\lambda_4[/mm] = - [mm](\wurzel{a}+1)[/mm] * i
>
> Jetzt könnte man noch unterscheiden ob a = 0 , kleiner 0
> oder größer 0 ist
>
> Denkfehler ?
Nein, alles ok, wenn du in [mm] \IC [/mm] bist.
Marius
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Wäre dann meine Lösung
y= A*sin (( [mm] \wurzel{a}-1)*x)+B*cos [/mm] (( [mm] \wurzel{a}-1)*x)+
[/mm]
C*sin (-( [mm] \wurzel{a}-1)*x)+D* [/mm] cos (-( [mm] \wurzel{a}-1)*x)
[/mm]
???
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Hallo Traumfabrik,
> Wäre dann meine Lösung
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> y= A*sin (( [mm]\wurzel{a}-1)*x)+B*cos[/mm] (( [mm]\wurzel{a}-1)*x)+[/mm]
> C*sin (-( [mm]\wurzel{a}-1)*x)+D*[/mm] cos (-( [mm]\wurzel{a}-1)*x)[/mm]
>
> ???
Das ist nicht ganz richtig.
Die Summanden 3 und 4 stimmen nicht.
Gruss
MathePower
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Da muss bei 3 und 4 jeweils ein + statt ein minus in die Klammer richtig ?
war copy paste fehler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Do 27.12.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Da muss bei 3 und 4 jeweils ein + statt ein minus in die
> Klammer richtig ?
>
Wahrscheinlich meinst du das richtige, zur Sicherheit solltest du das Ergebnis aber nochmal hier einstellen.
Marius
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