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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Det. komplexer Matrizen
Det. komplexer Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Det. komplexer Matrizen: Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:40 Mi 31.05.2006
Autor: Olek

Aufgabe
Sei [mm] $n\in\IR$ [/mm] und [mm] $X\inM(n\times n,\IC)$ [/mm] eine komplexe Matrix, etwa $X=A+iB$ mit [mm] $A,B\inM(n\times n,\IR)$. [/mm] Wir bezeichnen mit [mm] $\tilde X:=\pmat{ A & -B \\ B & A }\inM(2n\times 2n,\IR)$ [/mm] die zu X gehörende reelle Matrix. Zeigen sie:
Es gilt [mm] $det_{\IR}(\tilde X)=\left| det_{\IC}(X) \right|^{2}$. [/mm]

Tipp: Man berechne [mm] \pmat{ En & 0 \\ -i*En & En }*\tilde X*\pmat{ En & 0 \\ i*En & En }. [/mm]

Hallo,
ich hab an dieser Aufgabe nun schon ziemlich lange rumgepruckelt, weiß aber leider gar nicht genau worauf ich hinaus will. Den Tipp hab ich befolgt, aber ich weiß erstens nicht was ich mit dem Ergebnis anfangen kann, und zweitens nicht, ob es überhaupt richtig ist. Heute wurde mir nämlich gesagt, dass ich Matrizen, deren Einträge wieder Matrizen sind anders behandeln muß!?
Es wär schön wenn mir da jemand sagen könnte wie ich vorgehen muß.
Vielen Dank,
Olek

        
Bezug
Det. komplexer Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:02 Mi 31.05.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Sei [mm]n\in\IR[/mm] und [mm]X\inM(n\times n,\IC)[/mm] eine komplexe Matrix,
> etwa [mm]X=A+iB[/mm] mit [mm]A,B\inM(n\times n,\IR)[/mm]. Wir bezeichnen mit
> [mm]\tilde X:=\pmat{ A & -B \\ B & A }\inM(2n\times 2n,\IR)[/mm] die
> zu X gehörende reelle Matrix. Zeigen sie:
>  Es gilt [mm]det_{\IR}(\tilde X)=\left| det_{\IC}(X) \right|^{2}[/mm].
>  
> Tipp: Man berechne [mm]\pmat{ En & 0 \\ -i*En & En }*\tilde X*\pmat{ En & 0 \\ i*En & En }.[/mm]
>  
> Hallo,
>  ich hab an dieser Aufgabe nun schon ziemlich lange
> rumgepruckelt, weiß aber leider gar nicht genau worauf ich
> hinaus will. Den Tipp hab ich befolgt, aber ich weiß
> erstens nicht was ich mit dem Ergebnis anfangen kann, und
> zweitens nicht, ob es überhaupt richtig ist.

Na dann schreib das doch mal hier hin. Wir sind keine Hellseher...

> Heute wurde
> mir nämlich gesagt, dass ich Matrizen, deren Einträge
> wieder Matrizen sind anders behandeln muß!?

Bei bestimmten Operationen (wie Determinante nehmen) muss man aufpassen. Beim Multiplizieren allerdings nicht.

>  Es wär schön wenn mir da jemand sagen könnte wie ich
> vorgehen muß.

Den Tipp beachten. Was bekommst du raus?

LG Felix


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Bezug
Det. komplexer Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Mi 31.05.2006
Autor: Olek

Das schöne ist, dass ich fast jedes mal was anderes rausbekomme.
Diesem Ergebnis schenke ich jedoch mein Vertrauen:
[mm] A^2+2iAB+B^2 [/mm]
Aber was berechne ich denn da eigentlich?? Was soll der Tipp? Wenn ihr mir das sagen könntet könnte ich vielleicht selbst schon ein wenig weiter in die richtige Richtung denken, aber grad hab ich keinen Dunst in welchem Zusammenhang der zur Aufgabe steht.
MfG,
Olek

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Det. komplexer Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Mi 31.05.2006
Autor: felixf

Hallo Olek!

> Das schöne ist, dass ich fast jedes mal was anderes
> rausbekomme.
>  Diesem Ergebnis schenke ich jedoch mein Vertrauen:
>  [mm]A^2+2iAB+B^2[/mm]

Das ist keine $2n [mm] \times [/mm] 2n$-Matrix. Und die sollte da schon rauskommen, wenn man drei $2n [mm] \times [/mm] 2n$-Matrizen miteinander multipliziert. Machen wir mal die eine Seite: [mm] $\pmat{ E_n & 0 \\ -i*E_n & E_n } \pmat{ A & -B \\ B & A } [/mm] = [mm] \pmat{ E_n * A + 0 \cdot B & E_n * (-B) + 0 \cdot A \\ -i*E_n \cdot A + E_n * B & -i*E_n * (-B) + E_n * A } [/mm] = [mm] \pmat{ A & -B \\ -i * A + B & i * B + A }$. [/mm] Und jetzt mach du mal die andere.

Was das mit der Aufgabe zu tun hat: Die Determinante der beiden Matrizen, die du dranmultiplizierst, ist $1$.

LG Felix


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Det. komplexer Matrizen: andere Seite
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Mi 31.05.2006
Autor: Olek

Ok, das war schluderig von mir. Ich hab einfach die Determinante des Ergebnisses ausgerechnet, obwohl nach der gar nicht gefragt ist.
Für die Linke Seite hab ich das gleiche wie du raus.
Endergebnis:
[mm] \pmat{ A & -B \\ -i*A+B & i*B+A }* \pmat{ En & 0 \\ i*En & En }= \pmat{ A-i*B & -B \\ 2i*A & A+i*B } [/mm]
Wenn das richtig ist, dann gibts bis hierher noch kein Problem. Wenn nun die Determinante gebildet werden muß, so hab ich das - wie gesehen - auch schon getan. Und nun?
Was bringt mir die Tatsache, dass die Determinanten die ich dran multipliziere =1 sind?
MfG,
Olek

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Det. komplexer Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 Mi 31.05.2006
Autor: felixf

Hallo Olek!

> Ok, das war schluderig von mir. Ich hab einfach die
> Determinante des Ergebnisses ausgerechnet, obwohl nach der
> gar nicht gefragt ist.
>  Für die Linke Seite hab ich das gleiche wie du raus.
>  Endergebnis:
>  [mm]\pmat{ A & -B \\ -i*A+B & i*B+A }* \pmat{ En & 0 \\ i*En & En }= \pmat{ A-i*B & -B \\ 2i*A & A+i*B }[/mm]

Das stimmt nicht ganz, der untere linke Eintrag ist falsch.

> Wenn das richtig ist, dann gibts bis hierher noch kein
> Problem. Wenn nun die Determinante gebildet werden muß, so
> hab ich das - wie gesehen - auch schon getan. Und nun?
>  Was bringt mir die Tatsache, dass die Determinanten die
> ich dran multipliziere =1 sind?

Einmal brauchst du, dass die Determinante multiplikativ ist, also [mm] $\det [/mm] (P Q) = [mm] \det [/mm] P [mm] \cdot \det [/mm] Q$ fuer Matrizen $P, Q$. Und dann brauchst du, dass [mm] $\det \pmat{ A & B \\ 0 & C } [/mm] = [mm] \det [/mm] A [mm] \cdot \det [/mm] C = [mm] \det \pmat{ A & 0 \\ B & C }$ [/mm] ist. Wende das doch mal auf das Produkt der Matizen an (sowohl auf das Produkt selber als auch auf das Endergebnis).

LG Felix


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Det. komplexer Matrizen: Vorzeichenfehler!?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:54 Mi 31.05.2006
Autor: Olek

Muß links unten 0 stehen? Ich hatte beim Ausrechnen iA+B-B+iA raus, aber hatte vor dem ersten ein Minuszeichen vergessen. Es müßte sich also alles aufheben.
Dann hätte ich auch eine obere Dreiecksmatrix wie du sie in deinem Beitrag auch benutzt hast. Das werd ich mir jetzt mal ausführlich ansehen.
Schönen Dank für deine Hilfe!

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Det. komplexer Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Mi 31.05.2006
Autor: felixf

Hallo Olek!

> Muß links unten 0 stehen?

Ja.

> Ich hatte beim Ausrechnen
> iA+B-B+iA raus, aber hatte vor dem ersten ein Minuszeichen
> vergessen. Es müßte sich also alles aufheben.

Genau: Es ist $(-i * A + B) * [mm] E_n [/mm] + (i * B + A) * (i * [mm] E_n) [/mm] = -i * A + B + [mm] i^2 [/mm] * B + i * A = B - B = 0$.

>  Dann hätte ich auch eine obere Dreiecksmatrix wie du sie
> in deinem Beitrag auch benutzt hast. Das werd ich mir jetzt
> mal ausführlich ansehen.

Tu das.

LG Felix


Bezug
                                                                
Bezug
Det. komplexer Matrizen: Bezug zum X
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:37 Do 01.06.2006
Autor: Olek

Guten Morgen,
ich hab das gemacht, aber hätte mir dabei jetzt was auffallen müßen? Wie steht das denn in Zusammenhang zu X=A+iB, und wie sieht davon die Deteminante aus (bzw. das Quadrat)?
Schönen Tag,
Olek

Bezug
                                                                        
Bezug
Det. komplexer Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:52 Do 01.06.2006
Autor: felixf

Hallo!

> Guten Morgen,
>  ich hab das gemacht, aber hätte mir dabei jetzt was
> auffallen müßen? Wie steht das denn in Zusammenhang zu
> X=A+iB, und wie sieht davon die Deteminante aus (bzw. das
> Quadrat)?

Du hast folgendes: [mm] $\pmat{ En & 0 \\ -i*En & En }*\tilde X*\pmat{ En & 0 \\ i*En & En } [/mm] = [mm] \pmat{ A - i B & 0 \\ 0 & A + i B } [/mm] = [mm] \pmat{ \overline{X} & 0 \\ 0 & X }$, [/mm] wobei [mm] $\overline{X}$ [/mm] die Matrix $X$ komponentenweise komplex konjugiert ist.

Determinante nehmen liefert nun $1 [mm] \cdot \det \tilde{X} \cdot [/mm] 1 = [mm] \det \overline{X} \cdot \det [/mm] X = [mm] \overline{\det X} \cdot \det [/mm] X = [mm] |\det X|^2$, [/mm] da die komplexe Konjugation mit der Determinante vertauscht.

LG Felix


Bezug
                                                                                
Bezug
Det. komplexer Matrizen: Eintrag oben rechts
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Do 01.06.2006
Autor: Olek

Hi,
du hast da jetzt ne 0 oben rechts hingeschrieben. Wir hatten doch aber beide eigentlich -B raus. Hast du das geschrieben, weil sich an der Determinante nichts ändert, wenn man da ne 0 hinschreibt?
Ansonsten komm ich mit glaub ich ;)
Vielen Dank,
Olek

Bezug
                                                                                        
Bezug
Det. komplexer Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Do 01.06.2006
Autor: felixf

Hi Olek!

>  du hast da jetzt ne 0 oben rechts hingeschrieben. Wir
> hatten doch aber beide eigentlich -B raus. Hast du das
> geschrieben, weil sich an der Determinante nichts ändert,
> wenn man da ne 0 hinschreibt?

Whoooops, da hab ich mich vertan! Ja, da muss ein $-B$ hin! Bei der Determinante spielt das allerdings wirklich keine Rolle, insofern stimmt der Rest wieder :-)

>  Ansonsten komm ich mit glaub ich ;)

Schoen :-)

LG Felix


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