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Delta-Epsilon Kriterium: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:03 Do 14.03.2013
Autor: mbra771

Aufgabe
Sei [mm] \, f:D\rightarrow [/mm] R
mit [mm] f(x)=\sqrt{1-{x}^{2}} [/mm]

Zeige mit dem Delta-Epsilon Kriterium die Stetigkeit von f

Hallo Forum,
ich rechne gerade einige Aufgaben durch und da ist mir aufgefallen, daß ich das Prinzig des Delta-Epsilon Kriteriums absolut nicht kappiert habe.

Lauf definition ist f stetig, wenn zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] \delta [/mm] >0 existiert, so daß gilt:

[mm] \mid x-a\mid <\delta \Rightarrow \mid f(x)-f(a)\mid <\varepsilon [/mm]

Ich habe mir dazu mal eine Beispielaufgabe im Forum angesehen, bei der ich aber im Ansatz nicht verstanden habe, warum hier ein [mm] \delta [/mm] abgeschätzt wurde.
Lauf def wähle ich doch erst ein mal ein [mm] \epsilon [/mm] und weise dann nach, daß es dazu ein passendes [mm] \delta [/mm] gibt? Sorry, aber ich stehe hier auf dem Schlauch und würde die Strategie dahinter gerne verstehen.
LG Micha



        
Bezug
Delta-Epsilon Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Do 14.03.2013
Autor: leduart

Hallo
ja du waehlst ein bel. Epsilon, dann siehst du dir f(x)-f(a) an, und versuchst ein passendes [mm] \delta [/mm] zu finden.
hier erweiterst du am besten mit der Summe der Wurzeln und schatzt den Nenner ab. Denk dran, [mm] \delta [/mm] h'ngt meist von x ab!
Welches Bsp hast du denn nicht verstanden_
Gruss leduart

Bezug
                
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Delta-Epsilon Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Do 14.03.2013
Autor: mbra771

Die Aufgabe wurde im Forum Matheboard gepostet, ich wäre aber dankbar, wenn ich hier die Aufgabe selber lösen könnte.

Ich wähle also ein beliebigen [mm] \epsilon [/mm] >0 und schätze [mm] \delta [/mm] ab. Dabei ist doch nur wichtig, daß ich ein [mm] \delta [/mm] bekomme, daß größer ist, als [mm] \mid f(x)-f(a)\mid [/mm] oder? Ich fang dann man an:


[mm] \mid f(x)-f(a)\mid =\mid \sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2}\mid [/mm]

= [mm] \mid \frac{(\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2})*(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2})}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2}}\mid [/mm]

[mm] =\mid \frac{1-x^2-1+a^2}{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2}}\mid [/mm]

[mm] =\mid \frac{-x^2+a^2}{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2}}\mid [/mm]

(Da [mm] \mid -x^2+a^2 \mid [/mm]  = [mm] \mid x^2-a^2 \mid [/mm]  ist gilt:)

[mm] =\mid \frac{x^2-a^2}{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2}}\mid [/mm]

= [mm] \frac{\mid x-a \mid * \mid x+a \mid}{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2}} [/mm]

Jetzt würde ich mit den Abschätzungen anfangen, also da [mm] \mid [/mm] x-a [mm] \mid [/mm] < [mm] \delta [/mm] ist, setze ich das [mm] \delta [/mm] schon mal so ein und lasse auch das [mm] \wurzel{1-x^2} [/mm] im Nenner weg. Dann bekomme ich :

[mm] \leq \frac{\delta \mid x+a \mid}{\sqrt{1-a^2}} [/mm]


Ich würde jetzt an den Ausdruck [mm] \mid [/mm] x+a [mm] \mid [/mm] mit der Dreiecksgleichung gehen, vorher möchte ich euch aber noch fragen, ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin !! ????
Danke ;-)
Micha

Bezug
                        
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Delta-Epsilon Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Do 14.03.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,
> Ich wähle also ein beliebigen [mm]\epsilon[/mm] >0 und schätze
> [mm]\delta[/mm] ab. Dabei ist doch nur wichtig, daß ich ein [mm]\delta[/mm]
> bekomme, daß größer ist, als [mm]\mid f(x)-f(a)\mid[/mm] oder?
> Ich fang dann man an:

Was ist x, was ist a?
Soll f nun stetig in x oder in a sein?
Machen wir mal weiter und dann überlegst du, was du eigentlich gezweigt hast:

> [mm]\mid f(x)-f(a)\mid =\mid \sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2}\mid[/mm]
>
> = [mm]\mid \frac{(\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2})*(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2})}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2}}\mid[/mm]

[ok]

> [mm]=\mid \frac{1-x^2-1+a^2}{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2}}\mid[/mm]

[notok]
Wo kommst das Minus im Nenner her?

> [mm]=\mid \frac{-x^2+a^2}{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2}}\mid[/mm]

Folgefehler:

> (Da [mm]\mid -x^2+a^2 \mid[/mm]  = [mm]\mid x^2-a^2 \mid[/mm]  ist gilt:)
>  
> [mm]=\mid \frac{x^2-a^2}{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2}}\mid[/mm]
>
> = [mm]\frac{\mid x-a \mid * \mid x+a \mid}{\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2}}[/mm]

Bis hierhin ok, den Fehler mal ignorierend.

> [mm]\leq \frac{\delta \mid x+a \mid}{\sqrt{1-a^2}}[/mm]

Die Ungleichung stimmt nur, wenn im Nenner ein Plus steht und wir annehmen, dass so ein [mm] \delta [/mm] schon existiert. Aber da wir das ja später genau so bestimmen, passt das. Dir muss das nur klar sein.
Aber das tut es ja glücklicherweise.

> Ich würde jetzt an den Ausdruck [mm]\mid[/mm] x+a [mm]\mid[/mm] mit der Dreiecksgleichung gehen

Ja, mach dir klar, dass daraus folgt: $|x+a| [mm] \le [/mm] 2(|a| + [mm] \delta)$ [/mm]

MFG,
Gono.

Bezug
                                
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Delta-Epsilon Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Do 14.03.2013
Autor: mbra771

Hallo Gono,
ich war etwas schlampig in der Aufgabenstellung. Ich versuche das jetzt noch mal zu korrigieren.  f soll in jedem x [mm] \varepsilon [/mm] D  stetig sein und sei a [mm] \varepsilon [/mm] D ein Punkt aus der [mm] \delta [/mm] Umgebung von x.

So verstehe ich jetzt erst ein mal die Definition.

Ja, das Minus im Nenner war ein Fehler den ich mir per copy & paste eingebrockt habe.
Das sollte natürlich nicht so sein. Hier die berichtigte Version:

[mm] \mid f(x)-f(a)\mid =\mid \sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2}\mid [/mm]

= [mm] \mid \frac{(\sqrt{1-x^2}-\sqrt{1-a^2})*(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2})}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2}}\mid [/mm]

[mm] =\mid \frac{1-x^2-1+a^2}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2}}\mid [/mm]

[mm] =\mid \frac{-x^2+a^2}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2}}\mid [/mm]

(Da [mm] \mid -x^2+a^2 \mid [/mm]  = [mm] \mid x^2-a^2 \mid [/mm]  ist gilt:)

[mm] =\mid \frac{x^2-a^2}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2}}\mid [/mm]

= [mm] \frac{\mid x-a \mid * \mid x+a \mid}{\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-a^2}} [/mm]

Jetzt die Abschätzung wie erwähnt:

[mm] \leq \frac{\delta \mid x+a \mid}{\sqrt{1-a^2}} [/mm]

  
Zitat von Gono:
Die Ungleichung stimmt nur, wenn im Nenner ein Plus steht und wir annehmen, dass so ein  [mm] \delta [/mm] schon existiert. Aber da wir das ja später genau so bestimmen, passt das. Dir muss das nur klar sein.
Aber das tut es ja glücklicherweise.


Das ist ja gerade das Problem. Das ist mir nicht klar und das wollte ich auch eigentlich mit dieser Aufgabe verstehen. Ich benutze jetzt ein [mm] \delta, [/mm] welches ich doch eigentlich noch nicht habe. Darf ich das?

Ich mache jetzt erst ein mal mit der Abschätzung weiter und hoffe, das sich das Problem mit dem /delta klärt:

[mm] \mid [/mm] x+a [mm] \mid [/mm] = [mm] \mid [/mm] x - a + 2a [mm] \mid [/mm] ≤ [mm] \mid [/mm] x-a [mm] \mid [/mm] + [mm] \mid [/mm] 2a [mm] \mid [/mm]

bedeutet:

[mm] \leq \frac{\delta \mid x+a \mid}{\sqrt{1-a^2}} \leq \frac{\delta (\mid x-a \mid + \mid 2a\mid)}{\sqrt{1-a^2}} \leq \frac{ \delta^2 + \delta\mid 2a\mid}{\sqrt{1-a^2}} [/mm]


(auf $ |x+a| [mm] \le [/mm] 2(|a| + [mm] \delta) [/mm] $ komme ich jetzt nicht. Hab ich da einen Fehler gemacht? )
Grüße, Mich

Bezug
                                        
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Delta-Epsilon Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Do 14.03.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hallo Gono,
>  ich war etwas schlampig in der Aufgabenstellung. Ich versuche das jetzt noch mal zu korrigieren.  f soll in jedem x [mm]\varepsilon[/mm] D  stetig sein und sei a [mm]\varepsilon[/mm] D ein Punkt aus der [mm]\delta[/mm] Umgebung von x.

Ah, das wirkt sich nämlich auf die Umformungen aus!
Mach dir auch klar warum: Ziel sollte es in diesem Fall sein, die Abschätzungen so hinzubekommen, dass nur noch ein von [mm] \delta [/mm] und x Abhängiger Term dasteht.
Denn: Dein [mm] \delta [/mm] darf ja von deinem x abhängen, nicht aber von deinem a!
Das kommt schließlich aus der [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von x!

> Jetzt die Abschätzung wie erwähnt:
>  
> [mm]\leq \frac{\delta \mid x+a \mid}{\sqrt{1-a^2}}[/mm]

Und das ist natürlich aus oben genannten Gründen doof.
Besser wäre hier jetzt:

[mm]\leq \frac{\delta \mid x+a \mid}{\sqrt{1-x^2}}[/mm]  

Und dann nutzt du einfach: $|x+a| [mm] \le [/mm] 2(|x| + [mm] \delta)$ [/mm]
Denn wie gesagt: Der Term soll später von x und [mm] \delta [/mm] abhängen, nicht jedoch von a!

> Das ist ja gerade das Problem. Das ist mir nicht klar und  das wollte ich auch eigentlich mit dieser Aufgabe  verstehen. Ich benutze jetzt ein [mm]\delta,[/mm] welches ich doch eigentlich noch nicht habe. Darf ich das?

Ja und Nein ;-)
Die eigentliche Aufgabe ist ja "Finde zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] $\delta$." [/mm]
Wenn wir so ein [mm] $\delta$ [/mm] gefunden haben, müssen wir ja noch zeigen, dass es unsere Ungleichung $|f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon$ [/mm] erfüllt.

Weg 1 wäre nun:
So ein [mm] \delta [/mm] fällt vom Himmel, wir formen so lange um, dabei erhalten nachher einen Ausdruck A, der von [mm] \delta [/mm] abhängt und das ist dann glücklicherweise gerade kleiner als [mm] $\varepsilon$. [/mm]
Abstrakt würde das so aussehen:

Sei [mm] \delta [/mm] das vom Himmel gefallene [mm] $\delta$, [/mm] dann gilt:

$|f(x) - f(a)| < [mm] \ldots\text{ viele komplizierte Umformungen }\ldots \le A(\delta,x) [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]

Wobei [mm] A(\delta,x) [/mm]  gerade ein Ausdruck von [mm] $\delta$ [/mm] und x ist.


Da aber so ein [mm] \delta [/mm] leider nicht immer "vom Himmel fällt", machen wir eine Art "Reverse Engineering".
Wir formen um und tun dabei so, als wäre so ein [mm] \delta [/mm] gerade vom Himmel gefallen. Am Ende schauen wir dann, wie wir unser [mm] \delta [/mm] wählen müssen, damit das alles passt und schreiben es an den Anfang des Beweises :-)

Und schon wirkt es auf den geneigten Leser so, als wäre es vom Himmel gefallen und alle unsere Umformungen würden dann passen.

Halten wir also fest: Rein formal können wir diese Umformung zu diesem Zeitpunkt nicht machen, später allerdings, wenn unser [mm] \delta [/mm] gegeben ist, stimmt diese Umformung dann.


> Ich mache jetzt erst ein mal mit der Abschätzung weiter
> und hoffe, das sich das Problem mit dem /delta klärt:
> [mm]\leq \frac{\delta \mid x+a \mid}{\sqrt{1-a^2}} \leq \frac{\delta (\mid x-a \mid + \mid 2a\mid)}{\sqrt{1-a^2}} \leq \frac{ \delta^2 + \delta\mid 2a\mid}{\sqrt{1-a^2}}[/mm]

[ok]
Wobei ja festzuhalten ist, dass du nicht nach a umformen solltest, sondern nach x. Warum hab ich dir ja oben erklärt.
Die Umformungen sind aber identisch und dann steht da halt:

[mm] \frac{ \delta^2 + \delta\mid 2x\mid}{\sqrt{1-x^2}} [/mm]

Aber ansonsten passt es.
Wie musst du [mm] \delta [/mm] nun wählen, damit der Spaß kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] wird?

> (auf [mm]|x+a| \le 2(|a| + \delta)[/mm] komme ich jetzt nicht. Hab  ich da einen Fehler gemacht? )

Nein, nur einfach anders abgeschätzt.

MFG,
Gono.

Bezug
                                                
Bezug
Delta-Epsilon Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Do 14.03.2013
Autor: mbra771


> Ja und Nein ;-)
>  Die eigentliche Aufgabe ist ja "Finde zu jedem [mm]\epsilon[/mm]
> ein [mm]\delta[/mm]."
>  Wenn wir so ein [mm]\delta[/mm] gefunden haben, müssen wir ja noch
> zeigen, dass es unsere Ungleichung [mm]|f(x) - f(a)| < \varepsilon[/mm]
> erfüllt.

> Und schon wirkt es auf den geneigten Leser so, als wäre es
> vom Himmel gefallen und alle unsere Umformungen würden
> dann passen.
>  
> Halten wir also fest: Rein formal können wir diese
> Umformung zu diesem Zeitpunkt nicht machen, später
> allerdings, wenn unser [mm]\delta[/mm] gegeben ist, stimmt diese
> Umformung dann.
>  

Hallo Gono,
erst ein mal vielen Dank für deine Mühe. Ich denke ich hab heute unheimlich viel gelernt und plötzlich fallen mir Vorgehensweisen auf, die ich vorher nicht verstanden habe.

z.B. hat jemand in einer anderen Aufgabe erst die Abschätzung vorgenommen und [mm] \mid [/mm] x-a [mm] \mid [/mm] erst in der def. von [mm] \delta [/mm] :="   ... "  durch [mm] \delta [/mm] ersetzt. Damit umgeht man natürlich diesen "Trick" sehr elegant.

>  Wobei ja festzuhalten ist, dass du nicht nach a umformen
> solltest, sondern nach x. Warum hab ich dir ja oben
> erklärt.
>  Die Umformungen sind aber identisch und dann steht da
> halt:
>  
> [mm]\frac{ \delta^2 + \delta\mid 2x\mid}{\sqrt{1-x^2}}[/mm]
>  

Ich bin jetzt davon ausgegangen, daß ich mein [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit von a wählen muß. Jetzt, nach einigen Gedanken ist mir klar, daß ich das [mm] \delta [/mm] in Abhängigkeit von x wählen muß. Juppi!!! :-)

Jetzt habe ich also:

[mm] \frac{ \delta^2 + \delta\mid 2x\mid}{\sqrt{1-x^2}} [/mm]

... und weiß nicht wirklich weiter.

Ich würde gerne noch [mm] \sqrt{1-x^2} [/mm] vereinfachen, um dann anschließend zu sagen [mm] \ldots \le A(\delta,x) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

Wie kann ich das denn jetzt sinnvoll weiter abschätzen?

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Delta-Epsilon Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:22 Do 14.03.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Jetzt habe ich also:
>  
> [mm]\frac{ \delta^2 + \delta\mid 2x\mid}{\sqrt{1-x^2}}[/mm]
>  
> ... und weiß nicht wirklich weiter.

na oBdA ist ja [mm] $\delta \le [/mm] 1$ (warum?) und damit:

[mm] $\frac{ \delta^2 + \delta\mid 2x\mid}{\sqrt{1-x^2}} \le \frac{ \delta^2 + \mid 2x\mid}{\sqrt{1-x^2}}$ [/mm]


edit: Die Abschätzung ist zu grob, fällt mir gerade auf.
Nutze lieber:

[mm] $\frac{ \delta^2 + \delta\mid 2x\mid}{\sqrt{1-x^2}} [/mm] = [mm] \frac{ \delta(\delta + \mid 2x\mid)}{\sqrt{1-x^2}} \le \delta\frac{ 1 + \mid 2x\mid}{\sqrt{1-x^2}}$ [/mm]


Was soll für den Ausdruck denn dann gelten?
Dann nach [mm] \delta [/mm] umstellen => fertig.

MFG,
Gono.

Bezug
                                                                
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Delta-Epsilon Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:01 Do 14.03.2013
Autor: mbra771


> Hiho,
>  
> > Jetzt habe ich also:
>  >  
> > [mm]\frac{ \delta^2 + \delta\mid 2x\mid}{\sqrt{1-x^2}}[/mm]
>  >  
> > ... und weiß nicht wirklich weiter.
>
> na oBdA ist ja [mm]\delta \le 1[/mm] (warum?) und damit:
>  
> [mm]\frac{ \delta^2 + \delta\mid 2x\mid}{\sqrt{1-x^2}} \le \frac{ \delta^2 + \mid 2x\mid}{\sqrt{1-x^2}}[/mm]
>  
>
> edit: Die Abschätzung ist zu grob, fällt mir gerade auf.
>  Nutze lieber:
>  
> [mm]\frac{ \delta^2 + \delta\mid 2x\mid}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{ \delta(\delta + \mid 2x\mid)}{\sqrt{1-x^2}} \le \delta\frac{ 1 + \mid 2x\mid}{\sqrt{1-x^2}}[/mm]
>  
>
> Was soll für den Ausdruck denn dann gelten?
>  Dann nach [mm]\delta[/mm] umstellen => fertig.

>  
> MFG,
>  Gono.

... Ich zermartere mir gerade das Hirn, warum [mm] \delta [/mm] zwingend kleiner 1 sein muß. Das es natürlich sinnvoll ist ein [mm] \delta [/mm] zu nutzen, das relativ klein ist leuchtet mir ein. Die dann erfolgte Abschätzung ist klar und daraus müßte nach meinem Verständnis folgen:

[mm] \delta \frac{1+\mid2x\mid}{\sqrt{1-x^2}}<\varepsilon [/mm]

[mm] \delta [/mm] < [mm] \frac{1+\mid2x\mid}{\sqrt{1-x^2}} *\frac{1}{\varepsilon } [/mm]

[mm] \delta [/mm] < [mm] \frac{1+\mid2x\mid}{\varepsilon * \sqrt{1-x^2}} [/mm]

Ich weiß nicht ob ich das so machen kann, aber ich brauche ja ein [mm] \delta [/mm] welches die Kriterien erfüllt. Könnte ich dann nicht einfach sage:  ???

[mm] \delta [/mm] := [mm] \frac{\mid2x\mid}{\varepsilon * \sqrt{1-x^2}} [/mm]

Wenn das soweit ok wäre, dann würde ich mit dem jetzt def. [mm] \delta [/mm] meinen Beweis "anfangen" ja?




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Delta-Epsilon Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Fr 15.03.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> ... Ich zermartere mir gerade das Hirn, warum [mm]\delta[/mm] zwingend kleiner 1 sein muß.

es MUSS nicht kleiner als sein, also nicht generell. Wenn du das für deinen Beweis nutzt, solltest du dein [mm] \delta [/mm] natürlich so klein wählen.
Dass die Annahme, dass es bereits so ist, keine Einschränkung darstellt, liegt einfach daran, dass WENN du ein [mm] \delta [/mm] hast, jedes kleinere [mm] \delta [/mm] dir ebenfalls $|f(x) - f(y)| < [mm] \varepsilon$ [/mm] liefert. D.h. man kann [mm] \delta [/mm] (sofern es eins gibt) immer noch kleiner machen, d.h. auf jedenfall kleiner als 1.

> mir ein. Die dann erfolgte Abschätzung ist klar und daraus
> müßte nach meinem Verständnis folgen:
>  
> [mm]\delta \frac{1+\mid2x\mid}{\sqrt{1-x^2}}<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\delta[/mm] < [mm]\frac{1+\mid2x\mid}{\sqrt{1-x^2}} *\frac{1}{\varepsilon }[/mm]

[notok]

Hier solltest du nochmal gucken, wie du genau Formeln umstellst!


> Ich weiß nicht ob ich das so machen kann, aber ich brauche  ja ein [mm]\delta[/mm] welches die Kriterien erfüllt. Könnte ich dann nicht einfach sage:  ???
>  
> [mm]\delta[/mm] := [mm]\frac{\mid2x\mid}{\varepsilon * \sqrt{1-x^2}}[/mm]

Ja, sofern du richtig umgestellt hast. Wobei du nachher aufpassen musst: Du willst ja eine strikte Ungleichung zum [mm] \varepsilon [/mm] (wobei das keinen Unterschied macht), d.h. du musst das [mm] \delta [/mm] ja ECHT kleiner als das wählen und nicht GLEICH dem Ausdruck.

> Wenn das soweit ok wäre, dann würde ich mit dem jetzt
> def. [mm]\delta[/mm] meinen Beweis "anfangen" ja?

Korrekt, und du würdest feststellen, dass es dann (immer) tut.
Du hast ja dein [mm] \delta [/mm] dann gefunden und nach deinen Vorbetrachtungen erfüllt es eben dann genau die gewünschte Ungleichung.

Also nochmal aufschreiben musst du den Beweis dann nicht (auch wenn es zur Übung vllt. nicht schadet) :-)

MFG,
Gono.

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Delta-Epsilon Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:16 Fr 15.03.2013
Autor: mbra771

  
> es MUSS nicht kleiner als sein, also nicht generell. Wenn
> du das für deinen Beweis nutzt, solltest du dein [mm]\delta[/mm]
> natürlich so klein wählen...

Ok, ich glaub das habe ich jetzt verstanden. Da kommt natürlich auch zum tragen, daß wir unser [mm] \delta [/mm] "rückwärts" ermitteln. Das hatte ich einfach nicht überschaut.

>  
> Hier solltest du nochmal gucken, wie du genau Formeln
> umstellst!

Ach manno, war wohl schon zu spät gestern Abend.
Es soll natürlich heißen:

[mm] \delta \frac{1+\mid2x\mid}{\sqrt{1-x^2}}<\varepsilon [/mm]

[mm] \delta <\varepsilon [/mm] : [mm] \frac{1+\mid2x\mid}{\sqrt{1-x^2}} [/mm]

[mm] \delta [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon *\sqrt{1-x^2}}{1+\mid2x\mid} [/mm]

> Du willst ja eine strikte Ungleichung zum
> [mm]\varepsilon[/mm] (wobei das keinen Unterschied macht), d.h. du
> musst das [mm]\delta[/mm] ja ECHT kleiner als das wählen und nicht
> GLEICH dem Ausdruck.

Gut, jetzt wähle ich mein [mm] \delta [/mm] echt kleiner :

[mm] \delta [/mm] := [mm] \frac{\varepsilon * \sqrt{1-x^2}}{2+\mid2x\mid} [/mm]

...und könnte dann begründen, daß zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] existiert (natürlich in Abhängigkeit des gewählten x), welches immer >0 ist. (Das muß ich doch auch noch zeigen oder?)

Wobei es ja nun bei diesem Bruch klar wäre, da sowohl [mm] \epsilon, [/mm] als auch [mm] \sqrt{1-x^2} [/mm] immer größer 0 sind und der Nenner auch nur positiv sein kann.

Soweit ich das jetzt sehe, wäre ich dann damit fertig.

Gerne würde ich noch ein mal eine ähnliche Aufgabe hier machen und dich (Gono) bitten, dort noch ein mal drüber zu gucken. (Wenn das ok ist)  Ich hab gemerkt, daß ich hier nur durch Übung sicherer werde.
Wüßte jemand eine passende Aufgabe? Würde mich freuen.

@Gono: Vielen Dank! Ich hab sehr viel gelernt bei der Aufgabe. Nett, daß du dir die Mühe mit mir gemacht hast :-)

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Delta-Epsilon Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Fr 15.03.2013
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Gut, jetzt wähle ich mein [mm]\delta[/mm] echt kleiner :
>  
> [mm]\delta[/mm] := [mm]\frac{\varepsilon * \sqrt{1-x^2}}{2+\mid2x\mid}[/mm]

[ok]
  

> ...und könnte dann begründen, daß zu jedem [mm]\epsilon[/mm] ein  [mm]\delta[/mm] existiert (natürlich in Abhängigkeit des gewählten x), welches immer >0 ist. (Das muß ich doch auch noch zeigen oder?)

Ja, müsstest du. Wobei das natürlich hier sofort klar ist :-)
Eine Verständnisfrage. Was wäre, wenn du einen Ausdruck erhalten hättest, der nicht mehr von x, sondern nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen würde?


> Soweit ich das jetzt sehe, wäre ich dann damit fertig.

[ok]
  

> Wüßte jemand eine passende Aufgabe? Würde mich freuen.


Na dann machen wir zum "warm werden" doch mal zwei ähnliche, aber leichte Aufgaben:

$f(x) = [mm] x^2$ [/mm] und $f(x) = [mm] \sqrt{x}$ [/mm]

Sauber aufschreiben, mal sehen, ob es was zu meckern gibt :-)

MFG,
Gono.

Bezug
                                                                                                
Bezug
Delta-Epsilon Kriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Fr 15.03.2013
Autor: mbra771


>  Eine Verständnisfrage. Was wäre, wenn du einen Ausdruck
> erhalten hättest, der nicht mehr von x, sondern nur von
> [mm]\varepsilon[/mm] abhängen würde?


Dann habe ich auch meinen Beweis. Z.B. bei der Identitätsfunktion sollte das doch der Fall sein. Also ich meine
f(x)=x

Dort würde ich das [mm] \delta [/mm] abschätzen mit :

[mm] \mid [/mm] f(x)-f(a) [mm] \mid [/mm] = [mm] \mid [/mm] x-a [mm] \mid [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

bedeutet ja, ich wähle ein [mm] \delta [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]

Mein [mm] \delta [/mm] muß also nur kleiner sein als mein [mm] \varepsilon [/mm] und für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] \delta [/mm] welches zwischen 0 und [mm] \varepsilon [/mm] liegt. Bedingung erfüllt, wobei mein [mm] \delta [/mm] nur von [mm] \epsilon [/mm] abhängt. ;-)

(Hoffe das Smily war berechtigt)

>  

>
> Na dann machen wir zum "warm werden" doch mal zwei
> ähnliche, aber leichte Aufgaben:
>  
> [mm]f(x) = x^2[/mm] und [mm]f(x) = \sqrt{x}[/mm]
>  
> Sauber aufschreiben, mal sehen, ob es was zu meckern gibt
> :-)

Ja mache ich. Soll ich da jeweils eine separate neue Aufgabe für erstellen?
Muss heute noch etwas arbeiten, ich werde mir mit den Aufgaben dann den Feierabend versüßen :-)

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Delta-Epsilon Kriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Fr 15.03.2013
Autor: schachuzipus

Hallo mbra771,


> >  Eine Verständnisfrage. Was wäre, wenn du einen Ausdruck

> > erhalten hättest, der nicht mehr von x, sondern nur von
> > [mm]\varepsilon[/mm] abhängen würde?
>  
>
> Dann habe ich auch meinen Beweis. Z.B. bei der
> Identitätsfunktion sollte das doch der Fall sein. Also ich
> meine
> f(x)=x
>  
> Dort würde ich das [mm]\delta[/mm] abschätzen mit :
>  
> [mm]\mid[/mm] f(x)-f(a) [mm]\mid[/mm] = [mm]\mid[/mm] x-a [mm]\mid[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>  
> bedeutet ja, ich wähle ein [mm]\delta[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>  
> Mein [mm]\delta[/mm] muß also nur kleiner sein als mein [mm]\varepsilon[/mm]
> und für jedes [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm]\delta[/mm] welches
> zwischen 0 und [mm]\varepsilon[/mm] liegt. Bedingung erfüllt, wobei
> mein [mm]\delta[/mm] nur von [mm]\epsilon[/mm] abhängt. ;-)

Du kannst doch auch [mm]\delta:=\varepsilon[/mm] nehmen.

Für [mm]|x-a|<\delta[/mm] ist dann [mm]|f(x)-f(a)|=|x-a|<\delta=\varepsilon[/mm], also [mm]|f(x)-f(a)|<\varepsilon[/mm], wie gewünscht ...

Jedes positive [mm]\delta<\varepsilon[/mm] tut's natürlich auch.

>  
> Ja mache ich. Soll ich da jeweils eine separate neue
> Aufgabe für erstellen?

Jo, allein wegen der Übersichtlichkeit wäre das gut.

>  Muss heute noch etwas arbeiten, ich werde mir mit den
> Aufgaben dann den Feierabend versüßen :-)

Na dann viel Spaß ;-)

Gruß

schachuzipus


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