DGL 2. Ordnung (hom. + partik) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
| Aufgabe | Bestimme diejenige Lösungskurve der Differtialgleichung 2. Ordnung
y'' + y' - 3 y = 4 * [mm] e^{x} [/mm] + 6*x - 10
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Also vorne homogener Teil geht.
Aber wie würdet ihr das Störglied (partikuläre Ansatz) lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Di 19.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
nimm' als Ansatz
> Bestimme diejenige Lösungskurve der Differtialgleichung 2.
> Ordnung
>
[mm] y''+y'-3y=\underbrace{4*e^{x}}_{C*e^x}+\underbrace{6*x-10}_{Ax+B}
[/mm]
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 Di 19.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> Bestimme diejenige Lösungskurve der Differtialgleichung 2.
> Ordnung
>
> y'' + y' - 3 y = 4 * [mm]e^{x}[/mm] + 6*x - 10
fehlt hier evtl. noch der Faktor 2: [mm] y''+\red{2}y'-3y=...
[/mm]
Wäre schöner zum Rechnen 
LG
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Ja stimmt, genau der 2er fehlt! Aber wie gesagt, des vorne ist nicht das problem. Das löse ich mit lambda auf.
Aber hinten! :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Di 19.01.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Ja stimmt, genau der 2er fehlt! Aber wie gesagt, des vorne
> ist nicht das problem. Das löse ich mit lambda auf.
>
> Aber hinten! :-(
ich hatte dir vorhin schon den Ansatz unter deine DGL geschrieben - der muss allerdings nach der 2er-Korrektur modifiziert werden.
Deine Störfunktion g(x) besteht aus zwei Teilen: [mm] 4*e^x [/mm] und 6x-10
1. Da [mm] x=\red{1} [/mm] eine Lösung der charakteristischen Gleichung ist, musst du für [mm] e^{\red{1}*x} [/mm] als Ansatz [mm] y_{p1}=C*\red{x}*e^x [/mm] nehmen (wäre x=... eine zweifache Nullstelle halt *x² usw.)
2. Für den Teil 6x-10 ist der Ansatz einfach [mm] y_{p2}=Ax+B
[/mm]
Der Gesamtansatz für deine DGL lautet [mm] y_p=y_{p1}+y_{p2}
[/mm]
Jetzt [mm] y_p [/mm] zweimal differenzieren und den ganzen Kram in deine DGL einsetzen. Anschließend Koeffizientenvergleich durchführen.
LG
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
So, ich habe jetzt mal was zusammengeschrieben:
y'' + 2y' - 3y = [mm] 4e^{x} [/mm] + 6 x -10
1. Schritt: Homogene Teil
y'' + 2y' - 3 = 0
[mm] \lambda^{2} [/mm] + [mm] 2\lambda [/mm] - 3 = 0
[mm] \lambda1 [/mm] = 1
[mm] \lambda2 [/mm] = -3
yh = c1 * [mm] e^{x} [/mm] + c2 * [mm] e^{-3x}
[/mm]
2. Schritt: Störglied (partikuläre Teil) behandeln:
[mm] 4*e^{x} [/mm] + 6*x - 10
[mm] 4*e^{x} [/mm] = yp1 = A1 * x * [mm] e^{x}
[/mm]
6*x - 10 = yp2 = A2 * x + A3 * [mm] x^{0}
[/mm]
yp = A1 * x * [mm] e^{x} [/mm] + A2*x + A3
Jetzt leite ich das ganze 2 mal ab:
y'p = (A1 * x + A1) * [mm] e^{x} [/mm] + A2
y''p = (A1 * x + 2*A1) * [mm] e^{x}
[/mm]
Dann kann ich das ganze in die Ausgangsgleichung einsetzen:
Ist des soweit eigentlich richtig??
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Hallo andi7987,
> So, ich habe jetzt mal was zusammengeschrieben:
>
> y'' + 2y' - 3y = [mm]4e^{x}[/mm] + 6 x -10
>
> 1. Schritt: Homogene Teil
>
> y'' + 2y' - 3 = 0
>
> [mm]\lambda^{2}[/mm] + [mm]2\lambda[/mm] - 3 = 0
>
> [mm]\lambda1[/mm] = 1
> [mm]\lambda2[/mm] = -3
>
> yh = c1 * [mm]e^{x}[/mm] + c2 * [mm]e^{-3x}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. Schritt: Störglied (partikuläre Teil) behandeln:
>
> [mm]4*e^{x}[/mm] + 6*x - 10
>
> [mm]4*e^{x}[/mm] = yp1 = A1 * x * [mm]e^{x}[/mm]
>
> 6*x - 10 = yp2 = A2 * x + A3 * [mm]x^{0}[/mm]
>
> yp = A1 * x * [mm]e^{x}[/mm] + A2*x + A3
>
>
> Jetzt leite ich das ganze 2 mal ab:
>
> y'p = (A1 * x + A1) * [mm]e^{x}[/mm] + A2
> y''p = (A1 * x + 2*A1) * [mm]e^{x}[/mm]
>
> Dann kann ich das ganze in die Ausgangsgleichung
> einsetzen:
>
> Ist des soweit eigentlich richtig??
Ja, das ist soweit richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Ok, dann weiter mit einsetzen in die Ausgangsgleichung:
[mm] A1*x*e^{x} [/mm] + [mm] 2*A1*e^{x} [/mm] + [mm] 2*A1*x*e^{x} [/mm] + [mm] 2*A1*e^{x} [/mm] + A2 - [mm] 3*A1*x*e^{x} [/mm] - 3*A2*x - 3*A3 = [mm] 4*e^{x} [/mm] + 6*x - 10
Dann kann man die [mm] A1*x*e^{x} [/mm] + [mm] 2*A1*e^{x} [/mm] - [mm] 3*A1*x*e^{x} [/mm] streichen!
Bleibt also übrig: [mm] 4*A1*e^{x} [/mm] + A2 - 3*A2*x - 3*A3 = [mm] 4*e^{x} [/mm] + 6*x - 10
Dann hätte ich gesagt: dass ich mir alle mit [mm] e^{x} [/mm] heraushole:
[mm] e^{x}: [/mm] 4A1 - 4 = 0
Lösung: A1 = 1
dann alle x: -3A2 - 6 = 0
Lösung A2 = - 3
dann alle [mm] x^{0}: [/mm] A2 - 3*A3 + 10 = 0
Lösung: A3 = [mm] -\bruch{8}{3}
[/mm]
So, ist das jetzt noch korrekt??
Weil dann würde ich jetzt das ganze in die partikuläre Lösung einsetzen und den homogenen Teil und partikulären Teil zusammensetzen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Di 19.01.2010 | | Autor: | andi7987 |
Danke, danke!
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
das stimmt so
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
