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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL 2. Ordnung
DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 Mi 12.09.2018
Autor: hase-hh

Aufgabe
Bestimmen Sie alle allgemeinen Lösungen der Differentialgleichung (DGL) 2. Ordnung:

y '' + 2*y '  - 3y  = [mm] x^2 [/mm] -1


Moin Moin,

auch hier bräuchte zunächst eine Idee.  


Muss ich hier die Variablen trennen? Und wenn ja wie?

Oder wie gehe ich am besten vor?


Danke & Gruß!



        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Mi 12.09.2018
Autor: Martinius

Hallo hase-hh,

> Bestimen Sie alle allgemeinen Lösungen der
> Differentialgleichung (DGL) 2. Ordnung:
>  
> y '' + 2*y '  - 3y  = [mm]x^2[/mm] -1
>  Moin Moin,
>
> auch hier bräuchte zunächst eine Idee.  
>
>
> Muss ich hier die Variablen trennen? Und wen nja wie?
>  
> Oder wie gehe ich am besten vor?
>  
>
> Danke & Gruß!


Nein, keine Variablentrennung.

Löse zunächst die homogene Gleichung:

[mm] $y''+2*y'-3*y\;=\;0$ [/mm]

mit Hilfe des Exponentialansatzes  [mm] $y(x)\;=\;e^{\lambda*x}$ [/mm]

Löse dann die charakteristische Gleichung.

Zur Kontrolle:  [mm] $y_{0}\;=\;C_{1}*e^{-3*x}+C_{2}*e^{x}$ [/mm]

Setze dann als partikuläre Lösung an:  [mm] $y_{p}\;=\;ax^2+bx+c$ [/mm]


LG, Martinius




Bezug
                
Bezug
DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Do 13.09.2018
Autor: hase-hh

Moin Moin,

ich habe die homogene Lösung nachgerechnet...

y = [mm] e^{/\ambda*x} [/mm]

y ' = [mm] \lambda*e^{\lambda*x} [/mm]

y '' =  [mm] \lambda^2*e^{\lambda*x} [/mm]


=>   [mm] \lambda^2*e^{\lambda*x} [/mm] + 2*  [mm] \lambda*e^{\lambda*x} [/mm] - [mm] 3*\e^{\lambda*x} [/mm] = 0

[mm] e^{\lambda*x}*[ \lambda^2 [/mm] + [mm] 2*\lambda [/mm] - 3] = 0


[mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] 2*\lambda [/mm] - 3 = 0

[mm] \lambda_1 [/mm] = 1   und [mm] \lambda_2 [/mm] = -3  


=>   [mm] y_0 [/mm] = [mm] C_1* \e^{-3*x} [/mm] + [mm] C_2* \e^{x} [/mm]


Aber wie geht es nun weiter?


[mm] y_p [/mm] = [mm] ax^2 [/mm] +bx + c


Und nun?








Bezug
                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 Do 13.09.2018
Autor: Martinius

Moin moin,

> Moin Moin,
>  
> ich habe die homogene Lösung nachgerechnet...
>  
> y = [mm]e^{/\ambda*x}[/mm]
>  
> y ' = [mm]\lambda*e^{\lambda*x}[/mm]
>  
> y '' =  [mm]\lambda^2*e^{\lambda*x}[/mm]
>  
>
> =>   [mm]\lambda^2*e^{\lambda*x}[/mm] + 2*  [mm]\lambda*e^{\lambda*x}[/mm] -

> [mm]3*\e^{\lambda*x}[/mm] = 0
>  
> [mm]e^{\lambda*x}*[ \lambda^2[/mm] + [mm]2*\lambda[/mm] - 3] = 0
>  
>
> [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]2*\lambda[/mm] - 3 = 0
>  
> [mm]\lambda_1[/mm] = 1   und [mm]\lambda_2[/mm] = -3  
>
>
> =>   [mm]y_0[/mm] = [mm]C_1* \e^{-3*x}[/mm] + [mm]C_2* \e^{x}[/mm]

>  
>
> Aber wie geht es nun weiter?
>  
>
> [mm]y_p[/mm] = [mm]ax^2[/mm] +bx + c
>  
>
> Und nun?


Leite [mm] y_p [/mm] zweimal ab & setze alles in die vollständige DGL ein. Bestimme dann die Koeffizienten a, b, c.


LG, Martinius


Bezug
                                
Bezug
DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Do 13.09.2018
Autor: hase-hh

ok, ich probiere...

[mm] y_p [/mm] = [mm] ax^2 [/mm] +bx + c

[mm] y_p [/mm] ' = 2a + b

[mm] y_p [/mm] '' = 2a



Einsetzen in die DGL


2a + 2*(2ax +b) - [mm] 3*(ax^2 [/mm] +bx +c)  = [mm] x^2 [/mm] -1


Aber wie bestimme ich jetzt  a, b, c ?

Stelle ich jetzt gar drei Gleichungen mit verschiedenen x-Werten auf ???


Danke & Gruß !








Bezug
                                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Do 13.09.2018
Autor: Martinius

Moin moin,

> ok, ich probiere...
>  
> [mm]y_p[/mm] = [mm]ax^2[/mm] +bx + c
>  
> [mm]y_p[/mm] ' = 2a + b

Schreibfehler:  [mm] $y_p'\;=\;2ax+b$ [/mm]

>
> [mm]y_p[/mm] '' = 2a
>  
>
>
> Einsetzen in die DGL
>  
>
> 2a + 2*(2ax +b) - [mm]3*(ax^2[/mm] +bx +c)  = [mm]x^2[/mm] -1

Vorzeichenfehler:  + 1


Sonst richtig.

Nun die Klammern ausmultiplizieren. Sortiere nach Potenzen von x. Sodann vergleiche die Koeffizienten:

[mm] $x^2*(-3a)+ x*(4a-3b)+(2a+2b-3c)\;=\;1*x^2+1$ [/mm]

  

>
> Aber wie bestimme ich jetzt  a, b, c ?
>  
> Stelle ich jetzt gar drei Gleichungen mit verschiedenen
> x-Werten auf ???
>  
>
> Danke & Gruß !


LG, Martinius

Bezug
                                                
Bezug
DGL 2. Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 Do 13.09.2018
Autor: hase-hh


> > [mm]y_p[/mm] '' = 2a
>  >  
> >
> >
> > Einsetzen in die DGL
>  >  
> >
> > 2a + 2*(2ax +b) - [mm]3*(ax^2[/mm] +bx +c)  = [mm]x^2[/mm] -1
>  
> Vorzeichenfehler:  + 1

Nein, die rechte Seite der DGL lautet   [mm] x^2 [/mm] - 1.

> Nun die Klammern ausmultiplizieren. Sortiere nach Potenzen
> von x. Sodann vergleiche die Koeffizienten:
>  
> [mm]x^2*(-3a)+ x*(4a-3b)+(2a+2b-3c)\;=\;1*x^2+1[/mm]

[mm] x^2*(-3a) [/mm] + x*(4a-3b) +(2a+2b-3c) = [mm] 1*x^2 [/mm] -1

d.h. deine Lösung würde sich dann ergeben durch

-3a = 1

4a-3b = 0

2a+2b-3c = -1


a = - [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

b = - [mm] \bruch{4}{9} [/mm]

c = - [mm] \bruch{5}{27} [/mm]


Das habe ich auch raus.


=>  [mm] y_p [/mm] = - [mm] \bruch{1}{3}*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{4}{9}*x -\bruch{5}{27} [/mm]


Und die allgemeine Lösung ist dann

[mm] y_A [/mm] = [mm] y_0 [/mm] + [mm] y_p [/mm]  


[mm] y_A [/mm] =  [mm] C_1*e^{-3x} [/mm] + [mm] C_2*e^{x} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*x^2 [/mm] - [mm] \bruch{4}{9}*x -\bruch{5}{27} [/mm]


richtig?


Bezug
                                                        
Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Do 13.09.2018
Autor: Martinius

Moin moin,



> > > [mm]y_p[/mm] '' = 2a
>  >  >  
> > >
> > >
> > > Einsetzen in die DGL
>  >  >  
> > >
> > > 2a + 2*(2ax +b) - [mm]3*(ax^2[/mm] +bx +c)  = [mm]x^2[/mm] -1
>  >  
> > Vorzeichenfehler:  + 1
>  
> Nein, die rechte Seite der DGL lautet   [mm]x^2[/mm] - 1.
>  
> > Nun die Klammern ausmultiplizieren. Sortiere nach Potenzen
> > von x. Sodann vergleiche die Koeffizienten:
>  >  
> > [mm]x^2*(-3a)+ x*(4a-3b)+(2a+2b-3c)\;=\;1*x^2+1[/mm]
>  
> [mm]x^2*(-3a)[/mm] + x*(4a-3b) +(2a+2b-3c) = [mm]1*x^2[/mm] -1
>  
> d.h. deine Lösung würde sich dann ergeben durch
>  
> -3a = 1
>  
> 4a-3b = 0
>  
> 2a+2b-3c = -1
>
>
> a = - [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>  
> b = - [mm]\bruch{4}{9}[/mm]
>  
> c = - [mm]\bruch{5}{27}[/mm]
>  
>
> Das habe ich auch raus.
>  
>
> =>  [mm]y_p[/mm] = - [mm]\bruch{1}{3}*x^2[/mm] - [mm]\bruch{4}{9}*x -\bruch{5}{27}[/mm]

>  
>
> Und die allgemeine Lösung ist dann
>  
> [mm]y_A[/mm] = [mm]y_0[/mm] + [mm]y_p[/mm]  
>
>
> [mm]y_A[/mm] =  [mm]C_1*e^{-3x}[/mm] + [mm]C_2*e^{x}[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}*x^2[/mm] -
> [mm]\bruch{4}{9}*x -\bruch{5}{27}[/mm]
>  
>
> richtig?


Prima, alles richtig.

LG, Martinius  


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Bezug
DGL 2. Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Do 13.09.2018
Autor: leduart

Ja, auch statt Koeffizientenvergleich 3 möglichst einfache x Werte einsetzen ist ok.
Gruß leduart

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