DGL 1. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Mi 21.10.2015 | | Autor: | mariem |
Hallo,
ich will nachgucken ob man eine Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung in den Exponentialsummen [mm] \text{EXP}(\mathbb{C}) [/mm] finden kann.
Wir definieren als [mm] \text{EXP}(\mathbb{C}) [/mm] die Menge der Ausdrücke
[mm] \alpha =\alpha_0 +\alpha_1 e^{\mu_1 z}+\dots +\alpha_N e^{\mu_N z} [/mm]
wobei [mm] \alpha_0, \alpha_1, \dots [/mm] , [mm] \alpha_N \in \mathbb{C} \setminus \{0\} [/mm] und [mm] \mu_i \in \mathbb{C} \setminus \{0\} [/mm]
(Die [mm] \mu_i [/mm] sind paarweise verschieden.)
(Das "0" ist auch in [mm] \text{EXP}(\mathbb{C}) [/mm] enthalten.)
Ich habe folgendes gemacht:
Die generelle lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist
ax'(z)+bx(z)=y(z)
wobei x,y [mm] \in \text{EXP}(\mathbb{C}). [/mm]
[mm] \textbf{Fall 1.} [/mm]
a=0, b [mm] \neq [/mm] 0
Dann haben wir dass bx(z)=y(z).
Also die Lösung ist dann [mm] x(z)=\frac{1}{b}y(z) \in \text{EXP}(\mathbb{C}). [/mm]
[mm] \textbf{Fall 2.} [/mm]
[mm] a\neq [/mm] 0, b=0
Dann haben wir ax'(z)=y(z).
Wir haben dass [mm] x'(z)=\frac{1}{a}y(z), [/mm] wobei [mm] y(z)=\sum_{i=0}^N \alpha_i e^{\mu_i z}=\alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z}. [/mm]
Wenn wir die Gleichung [mm] x'(z)=\frac{1}{a}y(z)=\frac{1}{a}\left (\alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z} \right [/mm] ) integrieren haben wir folgendes:
[mm] x(z)=\frac{1}{a}\left (\alpha_0 z+\sum_{i=1}^N \frac{\alpha_i}{\mu_i} e^{\mu_i z} \right [/mm] ) +c
Da wir den Term [mm] \alpha_0 [/mm] z haben, gibt es keine Lösung in [mm] \text{EXP}(\mathbb{C}). [/mm]
[mm] \textbf{Fall 3.} [/mm]
a=0, b=0
Dann haben wir 0=y(z).
Wenn y(z)=0 dann haben wir unendlich viele Lösungen.
Wenn [mm] y(z)\neq [/mm] 0 dann haben wir keine Lösung.
[mm] \textbf{Fall 4.} [/mm]
a [mm] \neq [/mm] 0, b [mm] \neq [/mm] 0
Dann haben wir ax'(z)+bx(z)=y(z) [mm] \Rightarrow x'(z)+\frac{b}{a} x(z)=\frac{1}{a}y(z) [/mm] (*).
Wir haben dass [mm] y(z)=\sum_{i=0}^N \alpha_i e^{\mu_i z}, x(z)=\sum_{i=0}^N \beta_i e^{k_i z}=\beta_0 +\sum_{i=1}^N \beta_i e^{k_i z}, [/mm] also [mm] x'(z)=\sum_{i=1}^N \beta_i k_i e^{k_i z} [/mm]
(*) [mm] \Rightarrow \sum_{i=1}^N \beta_i k_i e^{k_i z}+\frac{b}{a} \left [\beta_0 +\sum_{i=1}^N \beta_i e^{k_i z}\right ]=\frac{1}{a} \left [\sum_{i=0}^N \alpha_i e^{\mu_i z}\right [/mm] ] [mm] \\ [/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{b}{a}\beta_0 +\sum_{i=1}^N \left [\beta_i k_i +\frac{b}{a}\beta_i \right ]e^{k_i z}=\frac{1}{a}\alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z} [/mm]
Also muss folgendes gelten:
[mm] \left\{\begin{matrix}
\frac{b}{a}\beta_0=\frac{1}{a}\alpha_0\\
\beta_i k_i+\frac{b}{a}\beta_i=\alpha_i, \ \ i=1, \dots , N\\
k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\beta_0=\frac{\alpha_0}{b}\\
\beta_i \mu_i+\frac{b}{a}\beta_i=\alpha_i, \ \ i=1, \dots , N\\
k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\beta_0=\frac{\alpha_0}{b}\\
\beta_i \left (\mu_i+\frac{b}{a}\right )=\alpha_i, \ \ i=1, \dots , N\\
k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\beta_0=\frac{\alpha_0}{b}\\
\beta_i =\frac{\alpha_i}{\left (\mu_i+\frac{b}{a}\right )}, \ \ i=1, \dots , N\\
k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N
\end{matrix}\right. [/mm]
Also [mm] x(z)=\frac{\alpha_0}{b}+\sum_{i=1}^N \frac{\alpha_i}{\mu_i+\frac{b}{a}}e^{\mu_i z} [/mm]
Ist alles richtig? Habe ich irgendein Fall vergessen?
P.S. Ich habe diese Frage auch in matheplanet.de gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:28 Do 22.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich will nachgucken ob man eine Lösung einer linearen
> Differentialgleichung erster Ordnung in den
> Exponentialsummen [mm]\text{EXP}(\mathbb{C})[/mm] finden kann.
>
> Wir definieren als [mm]\text{EXP}(\mathbb{C})[/mm] die Menge der
> Ausdrücke
> [mm]\alpha =\alpha_0 +\alpha_1 e^{\mu_1 z}+\dots +\alpha_N e^{\mu_N z}[/mm]
> wobei [mm]\alpha_0, \alpha_1, \dots[/mm] , [mm]\alpha_N \in \mathbb{C} \setminus \{0\}[/mm]
> und [mm]\mu_i \in \mathbb{C} \setminus \{0\}[/mm]
> (Die [mm]\mu_i[/mm] sind paarweise verschieden.)
> (Das "0" ist auch in [mm]\text{EXP}(\mathbb{C})[/mm] enthalten.)
>
>
> Ich habe folgendes gemacht:
>
> Die generelle lineare Differentialgleichung erster Ordnung
> ist
> ax'(z)+bx(z)=y(z)
> wobei x,y [mm]\in \text{EXP}(\mathbb{C}).[/mm]
>
>
> [mm]\textbf{Fall 1.}[/mm]
> a=0, b [mm]\neq[/mm] 0
>
> Dann haben wir dass bx(z)=y(z).
> Also die Lösung ist dann [mm]x(z)=\frac{1}{b}y(z) \in \text{EXP}(\mathbb{C}).[/mm]
>
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 2.}[/mm]
> [mm]a\neq[/mm] 0, b=0
>
> Dann haben wir ax'(z)=y(z).
>
> Wir haben dass [mm]x'(z)=\frac{1}{a}y(z),[/mm] wobei
> [mm]y(z)=\sum_{i=0}^N \alpha_i e^{\mu_i z}=\alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z}.[/mm]
>
> Wenn wir die Gleichung
> [mm]x'(z)=\frac{1}{a}y(z)=\frac{1}{a}\left (\alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z} \right[/mm]
> ) integrieren haben wir folgendes:
>
> [mm]x(z)=\frac{1}{a}\left (\alpha_0 z+\sum_{i=1}^N \frac{\alpha_i}{\mu_i} e^{\mu_i z} \right[/mm]
> ) +c
>
> Da wir den Term [mm]\alpha_0[/mm] z haben, gibt es keine Lösung in
> [mm]\text{EXP}(\mathbb{C}).[/mm]
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 3.}[/mm]
> a=0, b=0
>
> Dann haben wir 0=y(z).
> Wenn y(z)=0 dann haben wir unendlich viele Lösungen.
> Wenn [mm]y(z)\neq[/mm] 0 dann haben wir keine Lösung.
>
>
>
> [mm]\textbf{Fall 4.}[/mm]
> a [mm]\neq[/mm] 0, b [mm]\neq[/mm] 0
>
> Dann haben wir ax'(z)+bx(z)=y(z) [mm]\Rightarrow x'(z)+\frac{b}{a} x(z)=\frac{1}{a}y(z)[/mm]
> (*).
>
> Wir haben dass [mm]y(z)=\sum_{i=0}^N \alpha_i e^{\mu_i z}, x(z)=\sum_{i=0}^N \beta_i e^{k_i z}=\beta_0 +\sum_{i=1}^N \beta_i e^{k_i z},[/mm]
> also [mm]x'(z)=\sum_{i=1}^N \beta_i k_i e^{k_i z}[/mm]
>
> (*) [mm]\Rightarrow \sum_{i=1}^N \beta_i k_i e^{k_i z}+\frac{b}{a} \left [\beta_0 +\sum_{i=1}^N \beta_i e^{k_i z}\right ]=\frac{1}{a} \left [\sum_{i=0}^N \alpha_i e^{\mu_i z}\right[/mm]
> ] [mm]\\[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{b}{a}\beta_0 +\sum_{i=1}^N \left [\beta_i k_i +\frac{b}{a}\beta_i \right ]e^{k_i z}=\frac{1}{a}\alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z}[/mm]
>
>
> Also muss folgendes gelten:
>
> [mm]\left\{\begin{matrix}
\frac{b}{a}\beta_0=\frac{1}{a}\alpha_0\\
\beta_i k_i+\frac{b}{a}\beta_i=\alpha_i, \ \ i=1, \dots , N\\
k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\beta_0=\frac{\alpha_0}{b}\\
\beta_i \mu_i+\frac{b}{a}\beta_i=\alpha_i, \ \ i=1, \dots , N\\
k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\beta_0=\frac{\alpha_0}{b}\\
\beta_i \left (\mu_i+\frac{b}{a}\right )=\alpha_i, \ \ i=1, \dots , N\\
k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\beta_0=\frac{\alpha_0}{b}\\
\beta_i =\frac{\alpha_i}{\left (\mu_i+\frac{b}{a}\right )}, \ \ i=1, \dots , N\\
k_i=\mu_i, \ \ i=1, \dots , N
\end{matrix}\right.[/mm]
>
>
> Also [mm]x(z)=\frac{\alpha_0}{b}+\sum_{i=1}^N \frac{\alpha_i}{\mu_i+\frac{b}{a}}e^{\mu_i z}[/mm]
>
>
>
>
> Ist alles richtig?
Ja
> Habe ich irgendein Fall vergessen?
Ja, im Fall 4 den "Unterfall"
[mm] \mu_i =-\bruch{b}{a} [/mm] für ein i
FRED
>
>
>
>
> P.S. Ich habe diese Frage auch in matheplanet.de gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:48 Fr 23.10.2015 | | Autor: | mariem |
Kann man das auch folgenderweise formulieren?
Die generelle lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist
ax'(z)+bx(z)=y(z) (*)
wobei x,y [mm] \in \text{EXP}(\mathbb{C}). [/mm]
Wir haben dass [mm] y(z)=\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z}, x(z)=\sum_{i=1}^N \beta_i e^{k_i z}, [/mm] also [mm] x'(z)=\sum_{i=1}^N \beta_i k_i e^{k_i z} [/mm]
(*) [mm] \Rightarrow a\sum_{i=1}^N \beta_i k_i e^{k_i z}+b\sum_{i=1}^N \beta_i e^{k_i z}= \sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z} \Rightarrow \sum_{i=1}^N \left [a\beta_i k_i +b\beta_i \right ]e^{k_i z}=\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z} [/mm]
Für [mm] k_i=\mu_i [/mm] haben wir folgendes:
[mm] \sum_{i=1}^N \left [\beta_i (a\mu_i +b) \right ]e^{\mu_i z}=\sum_{i=1}^N \alpha_i e^{\mu_i z} \Rightarrow \sum_{i=1}^N \left [(a \mu_i +b)\beta_i -\alpha_i\right ]e^{\mu_i z}=0 [/mm]
1. Wenn für mindestens ein i mit [mm] \alpha_i\neq [/mm] 0 der Ausdruck [mm] a\mu_i+b=0 [/mm] ist, gibt es keine Lösung.
2. Wenn für mindestens ein i mit [mm] \alpha_i [/mm] = 0 der Ausdruck [mm] a\mu_i+b \neq [/mm] 0 ist, dann haben wir dass [mm] \beta_i=0. [/mm]
3. Wenn für alle i folgendes gilt: [mm] \alpha_i [/mm] = 0 [mm] \land a\mu_i+b [/mm] = 0, dann gibt es unendlich viele Lösungen.
4. Wenn für alle i folgendes gilt: [mm] \alpha_i\ne0 \land a\mu_i+b\ne0, [/mm] dann gibt es genau eine Lösung, mit [mm] \beta_i=\frac{\alpha_i}{a\mu_i+b}. [/mm]
Oder habe ich irgendein Fall vergessen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 28.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
