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Conjunctive Normal Form: Transformation in die CNF
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Fr 02.08.2019
Autor: Spalding

Aufgabe
Transfrom the following sentences into the conjunctive normal form.

1) (A => B) => (¬A => ¬B)
2) (A => B) => ((A ∧ C) => B)

Hallo Community,

ich habe mich an oben genannte Aufgabe gewagt und nachfolgend meine Ergebnisse dargestellt.

1)

(A => B) => (¬A => ¬B)
(¬A ∨ B) => (A ∨ ¬B)
¬(¬A ∨ B) ∨ (A ∨ ¬B)
(A ∧ ¬B) ∨ (A ∨ ¬B)

Nun frage ich mich, wie ich hier weitermachen kann?
In den Schritten oben konnte ich die Implikation-Elimination und de Morgan anwenden.
Offensichtlich ist die linke Klammer überflüssig, da ein "oder" immer vor einem "und" erfüllt ist. Nur mit welcher Begründung / welchem Gesetz lässt sich dies bewerkstelligen?



2)

(A => B) => ((A ∧ C) => B)
(¬A ∨ B) => (¬ (A ∧ C) ∨ B)
(¬A ∨ B) => (¬A ∨ ¬C ∨ B)
¬ (¬A ∨ B) ∨ (¬A ∨ ¬C ∨ B)
(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∨ ¬C ∨ B)

Auch hier konnte ich bereits einige Schritte mit der Implikation-Elimination und de Morgan machen.
Nun stellt sich auch hier die Frage, ob und wenn ja wie ich hier weiter vorgehen kann?

Greetz,


        
Bezug
Conjunctive Normal Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Fr 02.08.2019
Autor: Marc

Hallo Spalding,

> Transfrom the following sentences into the conjunctive
> normal form.
>  
> 1) (A => B) => (¬A => ¬B)
>  2) (A => B) => ((A ∧ C) => B)

>  Hallo Community,
>
> ich habe mich an oben genannte Aufgabe gewagt und
> nachfolgend meine Ergebnisse dargestellt.
>  
> 1)
>
> (A => B) => (¬A => ¬B)
>  (¬A ∨ B) => (A ∨ ¬B)

>  ¬(¬A ∨ B) ∨ (A ∨ ¬B)
>  (A ∧ ¬B) ∨ (A ∨ ¬B)
>  
> Nun frage ich mich, wie ich hier weitermachen kann?
> In den Schritten oben konnte ich die
> Implikation-Elimination und de Morgan anwenden.
>  Offensichtlich ist die linke Klammer überflüssig, da ein
> "oder" immer vor einem "und" erfüllt ist. Nur mit welcher
> Begründung / welchem Gesetz lässt sich dies
> bewerkstelligen?

Es müsste so gehen:
1. Assoziativgesetz bzgl. [mm] $\vee$: [/mm]
$((A [mm] \wedge \neg [/mm] B) [mm] \vee [/mm] A) [mm] \vee \neg [/mm] ¬B$

2. Jetzt das Absorptionsgesetz [mm] $A\vee (A\wedge [/mm] B)=A$ anwenden
...

> 2)
>
> (A => B) => ((A ∧ C) => B)
>  (¬A ∨ B) => (¬ (A ∧ C) ∨ B)

>  (¬A ∨ B) => (¬A ∨ ¬C ∨ B)

>  ¬ (¬A ∨ B) ∨ (¬A ∨ ¬C ∨ B)
>  (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∨ ¬C ∨ B)
>  
> Auch hier konnte ich bereits einige Schritte mit der
> Implikation-Elimination und de Morgan machen.
> Nun stellt sich auch hier die Frage, ob und wenn ja wie ich
> hier weiter vorgehen kann?

Hier würde ich auch das Assoziativgesetz bzgl. [mm] $\vee$ [/mm] anwenden und mit dem Kommutativgesetz [mm] $\neg [/mm] C$ nach hinten sortieren. Am besten mache das schon mit deiner vorletzten Zeile. Dann müsstest du das Komplementärgesetz [mm] $A\vee \neg A=\text{true}$ [/mm] anwenden können.

Viele Grüße
Marc

Bezug
                
Bezug
Conjunctive Normal Form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:44 Sa 03.08.2019
Autor: Spalding


> Hallo Spalding,
>  
> > Transfrom the following sentences into the conjunctive
> > normal form.
>  >  
> > 1) (A => B) => (¬A => ¬B)
>  >  2) (A => B) => ((A ∧ C) => B)

>  >  Hallo Community,
> >
> > ich habe mich an oben genannte Aufgabe gewagt und
> > nachfolgend meine Ergebnisse dargestellt.
>  >  
> > 1)
> >
> > (A => B) => (¬A => ¬B)
>  >  (¬A ∨ B) => (A ∨ ¬B)

>  >  ¬(¬A ∨ B) ∨ (A ∨ ¬B)
>  >  (A ∧ ¬B) ∨ (A ∨ ¬B)
>  >  
> > Nun frage ich mich, wie ich hier weitermachen kann?
> > In den Schritten oben konnte ich die
> > Implikation-Elimination und de Morgan anwenden.
>  >  Offensichtlich ist die linke Klammer überflüssig, da
> ein
> > "oder" immer vor einem "und" erfüllt ist. Nur mit welcher
> > Begründung / welchem Gesetz lässt sich dies
> > bewerkstelligen?
>  
> Es müsste so gehen:
>  1. Assoziativgesetz bzgl. [mm]\vee[/mm]:
>  [mm]((A \wedge \neg B) \vee A) \vee \neg ¬B[/mm]
>  
> 2. Jetzt das Absorptionsgesetz [mm]A\vee (A\wedge B)=A[/mm]
> anwenden
>  ...
>  

Bis hier hin fande ich alles sehr einleuchtend. Vielen Dank!

> > 2)
> >
> > (A => B) => ((A ∧ C) => B)
>  >  (¬A ∨ B) => (¬ (A ∧ C) ∨ B)

>  >  (¬A ∨ B) => (¬A ∨ ¬C ∨ B)

>  >  ¬ (¬A ∨ B) ∨ (¬A ∨ ¬C ∨ B)
>  >  (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∨ ¬C ∨ B)
>  >  
> > Auch hier konnte ich bereits einige Schritte mit der
> > Implikation-Elimination und de Morgan machen.
> > Nun stellt sich auch hier die Frage, ob und wenn ja wie ich
> > hier weiter vorgehen kann?
>  
> Hier würde ich auch das Assoziativgesetz bzgl. [mm]\vee[/mm]
> anwenden und mit dem Kommutativgesetz [mm]\neg C[/mm] nach hinten
> sortieren. Am besten mache das schon mit deiner vorletzten
> Zeile. Dann müsstest du das Komplementärgesetz [mm]A\vee \neg A=\text{true}[/mm]
> anwenden können.
>  
> Viele Grüße
>  Marc

Zu der zweiten Aufgabe hätte ich nochmal eine Rückfrage.
Leider komme ich hier nicht weiter, wie genau meintest du das?

Viele Grüße



Bezug
                        
Bezug
Conjunctive Normal Form: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:32 Sa 03.08.2019
Autor: Marc


> Zu der zweiten Aufgabe hätte ich nochmal eine Rückfrage.
> Leider komme ich hier nicht weiter, wie genau meintest du
> das?

Wo bist du nicht weiter gekommen bzw. wozu hast du eine Rückfrage?

Bezug
                                
Bezug
Conjunctive Normal Form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Sa 03.08.2019
Autor: Spalding

Um ehrlich zu sein, weiß ich nicht so recht wie ich anfangen soll.
Ich sehe einfach nicht wie der nächste Schritt wäre.

Bezug
                                        
Bezug
Conjunctive Normal Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 Sa 03.08.2019
Autor: Marc


> Um ehrlich zu sein, weiß ich nicht so recht wie ich
> anfangen soll.
> Ich sehe einfach nicht wie der nächste Schritt wäre.

Kein Problem, dann fange ich mal beim ersten Schritt an.
Also, das Assoziativgesetz bzgl. [mm] $\vee$ [/mm] sagt aus, dass man die Klammern umsetzen darf und als weitere Folge davon weglassen kann. Zum Beispiel ist
[mm] $A\vee (B\vee C)=(A\vee B)\vee C=A\vee B\vee [/mm] C$
Das Kommutativgesetz bzgl. [mm] $\vee$ [/mm] sagt aus, dass man die Reihenfolge tauschen darf z.B. ist
[mm] $A\vee B\vee C=A\vee C\vee [/mm] B$
Hier in dem letzten Schritt ist mit $B$ das passiert, was ich in meiner ersten Antwort meinte mit [mm] "$\neg [/mm] C$ nach hinten sortieren".


Bezug
                                                
Bezug
Conjunctive Normal Form: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:10 So 04.08.2019
Autor: Spalding

Danke, anscheinend hatte ich mich missverständlich ausgedrückt.
Die beiden Gesetze kenne ich aber wenn ich das anwende komme ich auf

(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∨ ¬C ∨ B)
(A ∧ ¬B) ∨ ¬A ∨ B ∨ ¬C
((A ∧ ¬B) ∨ ¬A) ∨ B ∨ ¬C

Wie komme ich denn von hier aus auf (A ∨ ¬A)?
Aufgrund des ∧ in der Klammer stehe ich hier auf dem Schlauch.
Wenn ich die Zeile zuvor nehme, dann habe ich

¬ (¬A ∨ B) ∨ (¬A ∨ ¬C ∨ B)
¬ (¬A ∨ B) ∨ ¬A ∨ B ∨ ¬C
(¬(¬A ∨ B) ∨ ¬A) ∨ B ∨ ¬C

Mit der de Morgan Regel habe ich immer das Problem mit dem ∧ in der Klammer.

Viele Grüße

Bezug
                                                        
Bezug
Conjunctive Normal Form: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:09 So 04.08.2019
Autor: Marc

Hallo spalding,

> Danke, anscheinend hatte ich mich missverständlich
> ausgedrückt.
>  Die beiden Gesetze kenne ich aber wenn ich das anwende
> komme ich auf

Du hattest geschrieben, dass du den nächsten Schritt nicht siehst, der erste Schritt war aber, die Gesetze anzuwenden.
  

> (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∨ ¬C ∨ B)
> (A ∧ ¬B) ∨ ¬A ∨ B ∨ ¬C
> ((A ∧ ¬B) ∨ ¬A) ∨ B ∨ ¬C
>
> Wie komme ich denn von hier aus auf (A ∨ ¬A)?
> Aufgrund des ∧ in der Klammer stehe ich hier auf dem
> Schlauch.
>  Wenn ich die Zeile zuvor nehme, dann habe ich
>  
> ¬ (¬A ∨ B) ∨ (¬A ∨ ¬C ∨ B)
> ¬ (¬A ∨ B) ∨ ¬A ∨ B ∨ ¬C
>  (¬(¬A ∨ B) ∨ ¬A) ∨ B ∨ ¬C

Ja, so meinte ich das, nur etwas anders geklammert:

[mm] $(\neg (\red{\neg A \vee B}) \vee (\red{\neg A \vee B})) \vee \neg [/mm] C$

Der Term in der äußersten Klammer ist von der Form
[mm] $\neg{\red{A}}\vee \red{A}$ [/mm]

Viele Grüße
Marc

Bezug
                                                                
Bezug
Conjunctive Normal Form: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:00 So 04.08.2019
Autor: Spalding

Vielen Dank! Da kann ich ja lange versuchen die A's hin und her zu schieben.
Jetzt hab auch ich es verstanden :-D

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