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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Sa 27.06.2009 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | Es seien [mm] \alpha_{1},...,\alpha_{d} [/mm] , c>0. Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion [mm] P:(o,\infty)^{d} ->\IR [/mm] ist definiert durch:
P(x)= [mm] P(x_{1},...,x_{d})= [/mm] c* [mm] \produkt_{j=1}^{d} *x_{j}^{\alpha_{j}}
[/mm]
[mm] (x=(x_{1},...,x_{d})^{T} \in (0,\infty)^{d})
[/mm]
i) Untersuchen sie P auf Homogenität
ii) Berechnen sie für j=1,..,d die partielle Ableitung [mm] \partial_{j}P
[/mm]
iii) Zeigen sie dass für die partielle Elastizität [mm] \varepsilon_{j}(x) [/mm] = [mm] (x_{j}\partial_{j}P(x))/P(x) [/mm] gilt:
[mm] \summe_{j=1}^{d} \varepsilon_{j}(x) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{d} \alpha_{j} [/mm] |
Hallo ich hätte hier einen Ansatz aber bin mir überhaupt nicht sicher ob das stimmt, da ich hier gar nicht mehr durchblicke!
i) P sei homogen von Grad [mm] \alpha
[/mm]
[mm] P(\lambda x_{1},...,\lambda x_{d}) [/mm] = [mm] \lambda^{\alpha} [/mm] * [mm] P(x_{1},...,x_{d})
[/mm]
[mm] \bruch{\partial P(\lambda x_{1},...,\lambda x_{d})}{\partial\lambda} [/mm] = [mm] P_{x_{1}}(\lambda x_{1},...,\lambda x_{d}) \bruch{\partial(\lambda x_{1})}{\partial\lambda}+...+P_{x_{d}}(\lambda x_{1},...,\lambda x_{d}) \bruch{\partial(x_{d}}{\partial\lambda} [/mm] = [mm] P_{x_{1}}(\lambda x_{1},...,\lambda x_{d} x_{1} [/mm] +...+ [mm] P_{x_{d}}(\lambda x_{1},...,\lambda x_{d}) x_{d} [/mm] = [mm] \alpha \lambda^{\alpha -1} P(x_{1},...,x_{d})
[/mm]
Für [mm] \lambda [/mm] = 1 => [mm] x_{1} P_{x_{1}}(x_{1},...,x_{d})+...+x_{d} P_{x_{d}}(x_{1},...,x_{d})
[/mm]
ii) [mm] \lambda^{\alpha} P(x_{1},...,x_{d})= \lambda^{\alpha}(x_{1}...x_{d})^{\alpha} [/mm] = [mm] \alpha\lambda^{\alpha-1}(x_{1}...x_{d})^{\alpha}+\lambda^{\alpha}(\alpha(x_{1}...x_{d})^{\alpha-1})= \alpha\lambda^{\alpha-1}(x_{1}...x_{d})^{\alpha}+ \lambda^{\alpha} \alpha(x_{1}...x_{d})^{\alpha-1}
[/mm]
iii) habe ich gar keine Ahnung
Kann mir hier bitte jemand helfen und mir sagen ob das so richtig ist oder was falsch ist???
Danke im Vorraus.
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Sa 27.06.2009 | | Autor: | ulla |
Ich habe zur i) noch etwas gefunden da ich mir denke mein erster Lösungsansatz ist falsch
f(tx) = [mm] t^{\alpha}f(x)
[/mm]
c* [mm] \produkt_{j=1}^{d} (tx_{j})^{\alpha_{j}} [/mm] = c * [mm] \produkt_{j=1}^{d} t^{\alpha_{j}} [/mm] * [mm] x_{j}^{\alpha_{j}} [/mm] = [mm] t^{\alpha_{j}} [/mm] * c * [mm] \produkt_{j=1}^{d} x_{j}^{\alpha_{j}} [/mm] = [mm] t^{\alpha_{1}+...+\alpha_{d}} [/mm] * P(X)
die Funktion wäre dann im Grad [mm] \alpha_{1}+...+\alpha_{d} [/mm] homogen??
das wird wohl eher zutreffend sein oder?
Bitte kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 So 28.06.2009 | | Autor: | Blech |
> P(tx) = [mm]t^{\alpha}P(x)[/mm]
Du sollst zeigen, daß das gilt, und für welches [mm] $\alpha$ [/mm] es das tut. Es hilft, kenntlich zu machen, was man eigentlich zeigen will und was man weiß. =)
> c* [mm]\produkt_{j=1}^{d} (tx_{j})^{\alpha_{j}}[/mm] =
> [mm]=c*\produkt_{j=1}^{d} t^{\alpha_{j}}[/mm] * [mm]x_{j}^{\alpha_{j}}[/mm] =
Richtig.
> [mm]t^{\alpha_{j}}[/mm] * c * [mm]\produkt_{j=1}^{d} x_{j}^{\alpha_{j}}[/mm]
Falsch.
Hier ziehst Du [mm] "$t^{\alpha_j}$" [/mm] vor das Produkt, aber was soll dann das j sein? Wenn Du die t und die x trennen willst, dann kannst Du's als zwei Produkte schreiben:
[mm] $=c*\left(\produkt_{j=1}^{d} t^{\alpha_{j}}\right) [/mm] * [mm] \left(\prod_{j=1}^d x_{j}^{\alpha_{j}}\right)=$
[/mm]
oder Du schreibst es gleich so:
[mm] $=t^{\alpha_{1}+\ldots +\alpha_d} [/mm] * c * [mm] \produkt_{j=1}^{d} x_{j}^{\alpha_{j}}=$
[/mm]
Dementsprechend:
> = [mm]t^{\alpha_{1}+...+\alpha_{d}}[/mm] * P(X)
Das stimmt dann wieder, weil hier alle t aufgesammelt wurden.
> die Funktion wäre dann im Grad [mm]\alpha :=\alpha_{1}+...+\alpha_{d}[/mm]
> homogen?
Ja. =)
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 So 28.06.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
(i)
Deine andere Lösung von (i) war ja richtig. Deshalb, je weniger über diese hier gesagt wird, desto besser. =)
>
> ii) [mm]\lambda^{\alpha} P(x_{1},...,x_{d})= \lambda^{\alpha}(x_{1}...x_{d})^{\alpha}[/mm]
> =
> [mm]\alpha\lambda^{\alpha-1}(x_{1}...x_{d})^{\alpha}+\lambda^{\alpha}(\alpha(x_{1}...x_{d})^{\alpha-1})= \alpha\lambda^{\alpha-1}(x_{1}...x_{d})^{\alpha}+ \lambda^{\alpha} \alpha(x_{1}...x_{d})^{\alpha-1}[/mm]
Jetzt nur mal rein von der Rechnung her:
[mm] $(x_{1}...x_{d})^{\alpha}$ [/mm] ist definitiv nicht, wie P(x) oben definiert wurde,
[mm] $\lambda^{\alpha}(x_{1}...x_{d})^{\alpha}=\alpha\lambda^{\alpha-1}(x_{1}...x_{d})^{\alpha}+\lambda^{\alpha}(\alpha(x_{1}...x_{d})^{\alpha-1})$
[/mm]
und die beiden sind sicher nicht gleich. Das zweite sieht wie eine mißglückte Ableitung des ersten aus, wo irgendjemand (*hust* =) abgelitten hat, als stünde da,
[mm] $\frac{d}{dy} f(y)^\alpha g(y)^\alpha$.
[/mm]
Wobei jene besagte Person dann das nachdifferenzieren (Kettenregel) vergessen hätte.
Also:
1. Ein "=" ist ein "ist gleich". Wenn die linke Seite nicht gleich der rechten sein soll, dann schreib keins.
2. Ableiten üben.
Jetzt Die Aufgabe:
$ [mm] \partial_{j}P [/mm] $
[mm] $\partial_j$ [/mm] heißt [mm] $\frac{\partial}{\partial x_j}$. [/mm] Für ein beliebiges j zwischen 1 und d, aber das j ist fest. (Bspsweise sagen wir j=8)
[mm] $P(x)=c*\produkt_{l=1}^{d} \cdot{}x_{l}^{\alpha_{l}}$
[/mm]
(man beachte den anderen Laufindex im Produkt. Wir können ja nicht gleichzeitig ein j fest wählen, und j von 1 bis d gehen lassen. Eins von beiden muß anders heißen)
[mm] $\Rightarrow \partial_{j}P [/mm] = [mm] \frac{\partial}{\partial x_j} c*\produkt_{l=1}^{d} \cdot{}x_{l}^{\alpha_{l}}=$
[/mm]
Wir leiten partiell nach [mm] $x_j$ [/mm] ab, das heißt alle anderen Variablen [mm] ($x_1,\ldots,x_{j-1},x_{j+1},\ldots,x_d$) [/mm] werden wie Konstanten behandelt:
[mm] $=\frac{\partial}{\partial x_j} \underbrace{c*\left(\produkt_{l=1,\ldots,j-1,j+1,\ldots,d} \cdot{}x_{l}^{\alpha_{l}}\right)}_{\text{alles eine lange Konstante}}*x_j^{\alpha_j}=$
[/mm]
[mm] $=\underbrace{c*\left(\produkt_{l=1,\ldots,j-1,j+1,\ldots,d} \cdot{}x_{l}^{\alpha_{l}}\right)}_{\text{und die bleibt stehen}}*\alpha_j x_j^{\alpha_j-1}=$
[/mm]
Jetzt erweitern wir noch mit [mm] $\frac{x_j}{x_j}$, [/mm] weil dann wieder P(x) dasteht:
[mm] $=\alpha_j*\frac{1}{x_j}*c*\produkt_{l=1}^d \cdot{}x_{l}^{\alpha_{l}}=\frac{\alpha_j}{x_j}P(x)$
[/mm]
> iii) habe ich gar keine Ahnung
Erstmal [mm] $\varepsilon_j$ [/mm] hinschreiben. $ [mm] \partial_{j}P$ [/mm] haben wir ja gerade ausgerechnet, alles andere ist eh bekannt.
ciao
Stefan
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