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| Aufgabe | Natalie will zu Weihnachten wieder ihre begehrten
Cookies backen. Diese zeichnen sich in erster Linie
durch ihren raffinierten fein-würzigen Geschmack aus,
ihre Form ist simpel, nämlich kreisrund. Natalie bereitet
den Teig vor, der für exakt 100 Cookies reicht. Für das
Formen der Plätzchen geht sie so vor, dass sie den Teig
zu einer Kugel formt und dann zu einer Kreisform
(geometrisch gesehen zu einer zylindrischen Scheibe)
der richtigen Dicke auswallt. Aus diesem Kreis sticht
sie mit einem Trinkglas des richtigen Durchmessers
möglichst viele kreisförmige Plätzchen aus. Die
verbleibenden Reste werden wieder zu einer Kugel
geballt und kreisförmig ausgewallt, und so weiter
und so weiter.
Frage: Wie oft muss Natalie den Teig mindestens
auswallen, bis er exakt aufgebraucht ist und exakt 100
Plätzchen auf den Backblechen liegen ? |
Hinweis: von der genauen Lösung habe ich noch keine
klare Ahnung - aber ich weiß ungefähr, in welchen
Gefilden ich mich dafür auf die Suche machen müsste ...
 Al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Sa 06.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Natalie will zu Weihnachten wieder ihre begehrten
> Cookies backen. Diese zeichnen sich in erster Linie
> durch ihren raffinierten fein-würzigen Geschmack aus,
> ihre Form ist simpel, nämlich kreisrund. Natalie bereitet
> den Teig vor, der für exakt 100 Cookies reicht. Für das
> Formen der Plätzchen geht sie so vor, dass sie den Teig
> zu einer Kugel formt und dann zu einer Kreisform
> (geometrisch gesehen zu einer zylindrischen Scheibe)
> der richtigen Dicke auswallt. Aus diesem Kreis sticht
> sie mit einem Trinkglas des richtigen Durchmessers
> möglichst viele kreisförmige Plätzchen aus. Die
> verbleibenden Reste werden wieder zu einer Kugel
> geballt und kreisförmig ausgewallt, und so weiter
> und so weiter.
>
> Frage: Wie oft muss Natalie den Teig mindestens
> auswallen, bis er exakt aufgebraucht ist und exakt 100
> Plätzchen auf den Backblechen liegen ?
> Hinweis: von der genauen Lösung habe ich noch keine
> klare Ahnung - aber ich weiß ungefähr, in welchen
> Gefilden ich mich dafür auf die Suche machen müsste ...
>
> Al-Chwarizmi
>
Hallo,
die Einstiegsfrage wäre für mich, ob im ersten Durchgang tatsächlich 91 oder erst mal nur 61 (und falls 61 möglich sind, mit einer unsymmetrischen Verteilung vielleicht noch einige mehr) Plätzchen möglich sind.
Gehen deine Überlegungen auch in diese Richtung?
Gruß Abakus
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> Hallo,
> die Einstiegsfrage wäre für mich, ob im ersten Durchgang
> tatsächlich 91 oder erst mal nur 61 (und falls 61 möglich
> sind, mit einer unsymmetrischen Verteilung vielleicht noch
> einige mehr) Plätzchen möglich sind.
Guten Abend Abakus
91 gehen bestimmt nicht (ich wüsste nicht, wie das zu
bewerkstelligen sein sollte), aber doch mehr als 61
Und: Symmetrie wird nicht vorausgesetzt. Nur die
Plätzchen selbst sollen kreisrund und kongruent sein.
LG , Al
Nachtrag:
ich glaube, dass ich jetzt auch noch gemerkt habe, wie
du auf die Zahl 91 gekommen bist. Es hat wohl damit zu
tun, dass
[mm] $\frac{\pi}{2\,\sqrt{3}}\ \approx\ [/mm] 0.9069\ [mm] \approx\ [/mm] 0.91$
Dies entspräche allenfalls einer denkbaren Lösung, wenn
Natalie nicht bloß 100 Cookies backen möchte, sondern
im industriellen Maßstab zu produzieren beginnen möchte ...
Doch die Aufgabe ist wirklich so gedacht, dass nur genau
100 Cookies gebacken werden sollen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:18 So 07.12.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Al,
ich denke, Abakus ist (wie ich) auf 91 bzw. 61 durch die ![[]](/images/popup.gif) zentrierten Secheckszahlen gekommen.
91 ist beim ersten Ausstechen sicher zu viel. Bei 61 ist noch genug Teig für weitere Cookies übrig (siehe meine Lösung).
Lieben Gruß,
Fulla
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> Hallo Al,
>
> ich denke, Abakus ist (wie ich) auf 91 bzw. 61 durch die
> zentrierten Sechseckszahlen
> gekommen.
Aha, alles klar. Ich hatte mir nicht mal die Mühe
genommen, diese im Detail nachzurechnen ...
Die Zahl [mm] $\frac{\pi}{2\,\sqrt{3}}\ \approx\ [/mm] 90.69$ % , die ich noch erwähnt habe,
entspräche der Dichte der hexagonalen Kreisbelegung
der gesamten Ebene.
LG , Al
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:37 So 07.12.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Al,
ich hab mal ne Übungsaufgabe daraus gemacht, damit noch andere sich daran versuchen können.
Meinen Lösung heißt: Nathalie muss mindestens sechsmal den Teig auswalken. Sie sticht dabei der Reihe nach 75, 19, 3, 1, 1, 1 Cookies aus.
Einen "Beweis" habe ich nicht, aber ich habe in GeoGebra "Plätzchen gebacken".
EDIT: Hier noch ein Bild. Der Radius der Cookies sei r, der Radius des Teiges zu Beginn sei R=10r.
[Dateianhang nicht öffentlich]
EDIT2: Es ginge auch 77, 15, 4, 2, 1, 1. Was aber an der Auswalkzahl 6 nichts ändert.
Lieben Gruß,
Fulla
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hallo Al,
>
> ich hab mal ne Übungsaufgabe daraus gemacht, damit noch
> andere sich daran versuchen können.
Danke dafür !
> Meine Lösung heißt: Nathalie ...
(sie schreibt sich ohne "h" , wegen Natale = Weihnacht)
> ... muss mindestens sechsmal den Teig auswalken.
> Sie sticht dabei der Reihe nach 75, 19, 3, 1, 1, 1
> Cookies aus.
> Einen "Beweis" habe ich nicht, aber ich habe in GeoGebra
> "Plätzchen gebacken".
>
> EDIT: Hier noch ein Bild. Der Radius der Cookies sei r, der
> Radius des Teiges zu Beginn sei R=10r.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> EDIT2: Es ginge auch 77, 15, 4, 2, 1, 1. Was aber an der
> Auswalkzahl 6 nichts ändert.
>
> Lieben Gruß,
> Fulla
Hallo Fulla
das hast Du sehr schön dargestellt.
In Tat und Wahrheit geht es aber trotzdem noch
etwas sparsamer. Damit wären wir dann eben schon
fast bei den weihnachtlichen Geheimnissen ...
LG , Al
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Hallo,
ich setze hier mal noch eine "Antwort" hin, weil das Thema ja
schon länger erledigt ist und bestimmt alle schon auf die
Osterhasen-Aufgabe gespannt sind ...
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo Tüftler !
Nach einigen weiteren Untersuchungen und etwas Meditation
zur Aufgabe reut es mich ein wenig, dass ich die Anzahl der
Cookies auf 100 festgesetzt habe.
Ich denke nun, dass die Aufgabe noch einen zusätzlichen
Kick bekommt, wenn wir zum Beispiel verlangen, dass 144
Cookies gebacken werden sollen. Dies ist ja ebenfalls eine
sehr schöne Zahl und ebenfalls Quadratzahl : 144 = [mm] 12^2
[/mm]
= 12 Dutzend = 1 Gros . Diese Anzahl lässt sich auch auf
ziemlich viele Arten in gleiche Geschenk-Portionen aufteilen ...
Worin genau der "zusätzliche Kick" dabei besteht, möchte
ich eigentlich noch gar nicht verraten. In der Adventszeit
muss man auch etwas warten können ...
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo an alle !
ich möchte nun doch die Lösung angeben, bei welcher
man bei jedem Schritt so viele Plätzchen ausstanzt,
wie maximal möglich.
$ \ (100)\ [mm] \quad\ R_0\ [/mm] =\ [mm] 10\quad --->\quad [/mm] 80 $
$ \ \ \ (20)\ [mm] \quad\ R_1\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{20}\ \approx\ [/mm] 4.472 [mm] \quad --->\quad [/mm] 14 $
$ \ \ \ \ \ (6)\ [mm] \quad\ R_2\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{6}\ \approx\ [/mm] 2.449 [mm] \quad --->\quad [/mm] 4 $
$ \ \ \ \ \ (2)\ [mm] \quad\ R_3\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{2}\ \approx\ [/mm] 1.414 [mm] \quad --->\quad [/mm] 1 $
$ \ \ \ \ \ (1)\ [mm] \quad\ R_4\ [/mm] =\ [mm] \sqrt{1}\ [/mm] =\ 1\ [mm] \quad --->\quad [/mm] 1 $
$ \ \ \ \ \ (0) $
Ich hoffe, dass diese Liste keine weitere Erläuterung
erfordert. Es sind auf diese Weise also 5 Ausrollvorgänge
notwendig.
Allerdings kann man auch mit 5 Ausrollvorgängen auskommen,
wenn man beim ersten Mal etwas weniger als 80 Plätzchen
aussticht. Eine detaillierte Übersicht über alle einzelnen Möglich-
keiten mit 5 mal Ausrollen habe ich nicht erstellt.
Ich gebe aber die Quelle an, die ich benützt habe:
Kreispackungen
Wenn wir anstatt 100 Cookies beispielsweise deren 144
backen möchten, erhält die Aufgabe noch einen zusätzlichen
"Kick". Wenn man da nämlich ebenfalls die "gierige Strategie"
verfolgt und bei jedem einzelnen Schritt das Maximum herausholen
will, so kommt man gerade nicht auf die optimale Lösung mit
den wenigsten Ausrollvorgängen ! Das Problem besteht dabei
darin, dass man mit der "gierigen" Strategie gegen Schluss
nicht auf eine "gute" Abschluß-Sequenz kommt und deshalb
einen Ausrollvorgang mehr als minimal nötig braucht.
LG , Al-Chw.
Ach ja, und natürlich:
$ [mm] \mathbf{\blue{\ Happy \quad (9-8)*(7+6)*5*(4!+3!+2!-1!)}}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Di 30.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Al,
> Ach ja, und natürlich:
>
> [mm]\mathbf{\blue{\ Happy \quad (9-8)*(7+6)*5*(4!+3!+2!-1!)}}[/mm]
Ich wusste, dass das kommt. 
Happy
[mm] (9-8)*(7+6)*5*(4^3/2-1).
[/mm]
Gruß
DieAcht
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> Hallo Al,
>
>
> > Ach ja, und natürlich:
> >
> > [mm]\mathbf{\blue{\ Happy \quad (9-8)*(7+6)*5*(4!+3!+2!-1!)}}[/mm]
>
> Ich wusste, dass das kommt.
>
> Happy
>
> [mm](9-8)*(7+6)*5*(4^3/2-1).[/mm]
>
>
> Gruß
> DieAcht
Verstehe. Du wolltest offenbar ohne Fakultäten auskommen.
Dann ginge es zum Beispiel auch so:
$\ [mm] (9-8)*(7+6)*5*(4+3^{2+1})$
[/mm]
Oder, auch ohne Potenzen und Division und sogar ohne
Subtraktion:
$\ (9+8*7)*(6+5*4+3+2*1)$
Nun habe ich aber doch nicht vor, wie in vergangenen
Jahren Dutzende von Lösungen zu produzieren.
LG , Al
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Einen weiteren kann ich mir doch nicht ganz verkneifen:
$\ [mm] 9*8*7*(\,6-5+4-3+2\,)-1$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Di 06.01.2015 | | Autor: | Valerie20 |
Hallo Al,
hattest du mit dem Programm zur automatischen Generierung von diesen Zahlen letztes Jahr noch Erfolg?
Valerie
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> Hallo Al,
>
> hattest du mit dem Programm zur automatischen Generierung
> von diesen Zahlen letztes Jahr noch Erfolg?
>
> Valerie
Hallo Valerie,
ja, und ich möchte jetzt doch wenigstens eines der dabei
entstandenen Ergebnisse, angepasst auf 2015, angeben.
Dabei habe ich Terme mit dem Wert 2015 erzeugen lassen,
die nur aus den Zahlen von 1 bis 9 in aufsteigender oder
absteigender Reihenfolge bestehen, in welchen nur die
Grundoperationen Addition und Multiplikation und dazu
Vorzeichenwechsel einzelner Operanden vorkommen.
Die Subtraktion ist also auch dabei, aber keine Division
und schon gar keine Potenzen, Wurzeln oder gar Fakul-
täten.
Ein Schönheitsfehler, den ich innerhalb meiner Programmier-
umgebung nicht vermeiden konnte, ist der, dass die
meisten produzierten Terme überflüssige Klammern
und insbesondere auch überflüssige Minuszeichen
enthalten. Zwar konnte ich auch dieses Problem noch
lösen, indem ich Mathematica für die Vereinfachungen
einschaltete. Das Prinzip der Erzeugung der Terme wird
aber ohnehin deutlicher, wenn ich die überflüssigen Klammern
stehen lasse. Wer die Terme "verschönern" möchte, kann
dies gut selber machen.
Hier nun je 31 nach Zufallsprinzip erzeugte Terme
(31 ist ein Primfaktor von 2015 ) mit aufsteigender und 31 mit
absteigender Reihenfolge der einstelligen Operanden:
2015 = (-((-((-1)*(-((-2)+(-3)))))+(-(4*(-(5+((-6)+((-7)*(8*9))))))))) 15815
2015 = (((-1)+((-((-2)+((-3)+4)))*(-((-5)*(-6)))))*(-((-7)+(8*9)))) 8213
2015 = ((((1+((-2)*3))+4)+(5*(-6)))*(-((-7)+((-8)*(-9))))) 23307
2015 = ((((-1)*2)+((-(3+(-4)))+((-5)*6)))*((-((-7)*(-8)))+(-9))) 12361
2015 = ((-((-1)*(-((-2)+3))))+(-((-((-(4*(-((-(5+(-6)))*7))))*8))*9))) 1033
2015 = ((-1)+(-((-((-2)+3))*(4*(((-5)+6)*(-((-7)*(8*9)))))))) 809
2015 = (-((-((-(1+(-((-2)*(-3)))))+(-(4+(5*(-6))))))*(-((7*(-8))+(-9))))) 25961
2015 = (-((1*(-(2+(-3))))+(-(4*(-(((5+(-6))*(-7))*(8*(-9)))))))) 32381
2015 = (((((-1)*(2+3))+4)+(-(5*6)))*(-((-7)+(-(8*(-9)))))) 8239
2015 = (-(1+(((-2)*((((3+(-4))+5)+(-6))*(-7)))*(8*9)))) 5160
2015 = ((-(1*(-(2+(-((-(3+(-((-4)*5))))+(-6)))))))*(-((-(7*8))+(-9)))) 5276
2015 = (-(1+((((-(2+(-3)))+(-(4+(-5))))+(-6))*(-(7*(8*(-9))))))) 4947
2015 = ((-1)+(-((-2)*(-((-(((-3)*(-(4+(-(5+6)))))+7))*(-(8*9))))))) 7107
2015 = ((-(1*(-((-(((-2)+(-3))+((-4)*5)))+6))))*((-7)+((-8)*(-9)))) 10668
2015 = (-((-((1*2)+(-3)))+(-((-((-4)*(5+(-6))))*(-((-(7*(-8)))*9)))))) 4972
2015 = (-((-((1+(-2))+(-((3+(-4))*((-5)*6)))))*((7*(-8))+(-9)))) 2325
2015 = ((1+(-(((-2)*(-(((-3)+(-4))+(-5))))+(-6))))*(-(7+((-8)*9)))) 9541
2015 = ((-(((-1)+(-((-(2*(-3)))+((-((-4)*(-5)))*(6+7)))))*(-8)))+(-9)) 10331
2015 = ((-1)+(-((-((-(2+(3*4)))*(((-5)+(6+7))+8)))*(-9)))) 9966
2015 = (-((1+(-((-(2*(-((-3)+4))))+((-5)*(-6)))))*(-((-((-7)*(-8)))+(-9))))) 9755
2015 = ((((-((-1)+2))*(-3))+(-(4+((-5)*(-6)))))*(7+(-((-8)*(-9))))) 5701
2015 = ((-(((-1)*(-((-(2+((-3)+(-4))))*(-5))))+(-6)))*((-7)+(-(8*(-9))))) 11207
2015 = (((-(1*(-2)))+(-(((-3)*(-(4+5)))+6)))*(((-7)*8)+(-9))) 11022
2015 = ((-((-((-(1*(-2)))+3))+(-((-4)+((-5)*(-6))))))*((-7)+((-8)*(-9)))) 11180
2015 = ((-((-(1*2))+3))+(4*(((-(5+(-6)))*7)*(8*9)))) 11890
2015 = (-((1*((-((-2)+(-3)))+(-(4+((-5)*6)))))*(-((-((-7)*8))+9)))) 13468
2015 = (-(((-(1+(-2)))+((-(3+(-4)))*(-((-5)*6))))*((7*(-8))+(-9)))) 16684
2015 = (-(1+((-(2+(-(((-3)+(-4))+(((-5)*(-6))+7)))))*(-((-8)*(-9)))))) 2407
2015 = (-((-(((-((-1)+((-2)*(-3))))*4)+((-5)+(-6))))*(-((-(7*(-8)))+9)))) 2869
2015 = ((-1)+((-((-((2*((-3)*4))+(-5)))+(6+(-7))))*(-(8*9)))) 14070
2015 = ((-((-1)+((-(((2+3)+(-4))*5))*6)))*(-((-(7*8))+(-9)))) 5262
2015 = ((((-9)+(8*(-7)))*(-(((-6)*(-5))+((-(4+(-3)))+2))))*1) 139
2015 = ((-(((-(((-9)*((-8)*(-7)))*((-6)+5)))*4)+3))+(-((-2)*1))) 2230
2015 = (-((-(9+((-8)*(-7))))*(-((-6)+(-(5*((4+3)+(2*(-1))))))))) 13135
2015 = (((-(9*8))+7)*(((-6)+(5*(-4)))+(-((3*2)+(-1))))) 3074
2015 = ((9+(8*7))*(-((((-6)*(-(5+(-4))))*(-(3+2)))+(-1)))) 13974
2015 = (((-((-((-((-9)*(-8)))*7))*((-6)+5)))*4)+(-(((-3)+2)*(-1)))) 1142
2015 = (-((-((-9)+(8*(-7))))*(-(6+(-((-5)+(4*((3+2)*(-1))))))))) 4097
2015 = (-((-((-((9*(-8))*7))*((-((-6)+5))*4)))+(-((3+(-2))*(-1))))) 17402
2015 = ((-((-((9*(-8))*7))*(((-6)+5)*4)))+((-3)+(-((-2)*1)))) 67903
2015 = (-(((9*8)+(-7))*(-((6+5)+(4*(-((-(3*2))+1))))))) 56721
2015 = ((-(((-(9*(8*7)))*((-((-6)+(-(5+(-4)))))+(-3)))+2))+1) 4350
2015 = (-((-((-((-9)*(-8)))+7))*((6*(-5))+(-((4+(-(3+2)))*(-1)))))) 27421
2015 = (-(((-9)+(-((-8)*(-7))))*(((6*5)+((4+(-3))*2))+(-1)))) 15136
2015 = ((-((-(9*(-8)))*(-(7*(-(((-6)+5)*4))))))+(-(3+(2*(-1))))) 15503
2015 = ((-(((-9)*8)*(7*(-((6+(-5))*(-4))))))+(-((-((-3)+2))*1))) 7723
2015 = (-((-((-9)+(-(8*7))))*(-((6+((-5)*(-4)))+(3+(-(2*(-1)))))))) 2374
2015 = ((-((-((-((-((-9)*8))*(-7)))+(-(6+(-5)))))*4))+(-((-3)*(-((-2)+1))))) 24793
2015 = ((((-(((-((-9)*(-8)))*(-7))+6))+5)*(-4))+((-3)+(-(2*1)))) 10259
2015 = ((-(((-9)*(-8))+(-7)))*(-((-((-(6+(5*4)))+(-(3*2))))+(-1)))) 2342
2015 = (((9*(-8))*(-((-((-(7*6))+(5*4)))+(-(3*(-2))))))+(-1)) 3251
2015 = (((-(9*(-8)))*(-((-(7*((6+(-5))*4)))*(3+(-2)))))+(-1)) 10606
2015 = ((-((-((-9)*8))+(-7)))*(-((-(6+(-(5*(4+3)))))+(-(2*(-1)))))) 19004
2015 = (-((-((-(9*8))+7))*(-((-((6*(-5))+4))+(((-3)+(-2))*(-1)))))) 13511
2015 = ((-(9+(-(8*(-7)))))*(-(6+(-(5*(4+((-3)*(-((-2)+(-1)))))))))) 362
2015 = (-((-(9+(8*7)))*((-((-((-(6*(-5)))+(-4)))+((-3)+(-2))))*1))) 27425
2015 = (-(((-9)+(-((-8)*(-7))))*(-((-((-6)*(-5)))+((((-4)+3)+2)*(-1)))))) 1110
2015 = (-(((-((-9)*8))+(-7))*((-6)+(-((((-(5*(-4)))+3)+2)*1))))) 12618
2015 = ((-((-(9*8))*((-((-7)+(-6)))+(5+(-(((-4)*3)+2))))))+(-1)) 4099
2015 = (((-((-9)*8))*((-(7*(-((-6)+5))))*(-4)))+(-(((-3)+2)*(-1)))) 13125
2015 = ((-((-((-(9*(8*(-7))))*((6+5)+((-4)+(-3)))))+2))+1) 2720
2015 = (-((-(((-(9*(-((-8)*(-7)))))*(((-6)+5)*(-4)))+(-3)))+((-2)*1))) 7728
Hinter jeder Zeile habe ich jeweils die Anzahl der Schritte der Zufalls-Suche
angegeben, die mit dem jeweiligen "Treffer" (Term mitWert 2015) endete.
Natürlich sind diese einzelnen Zahlenwerte überhaupt nicht interessant,
wohl aber ihre durchschnittliche Größenordnung. Ein Programm, das auf
"intelligentere" Art als mit "brute force random search" nach passenden
Termen sucht, habe ich nicht erstellt. So gesehen darf ich wohl behaupten,
dass ich intelligenter als mein Programm bin - aber das Programm ist,
wenn es mal läuft, natürlich deutlich schneller ...
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Di 03.03.2015 | | Autor: | rabilein1 |
> So gesehen darf ich wohl behaupten,
> dass ich intelligenter als mein Programm bin - aber das
> Programm ist, wenn es mal läuft, natürlich deutlich schneller ...
Der Satz ist gut.
Dass du intelligenter als dein Computer bist, merkt man schon daran, dass dein Computer sicherlich niemals in der Lage wäre, zu obiger Erkenntnis zu gelangen und so einen Satz zu formulieren.
Und dass dein Programm schneller ist als du... - naja, es wäre schon etwas verwunderlich, wenn es umgekehrt wäre...
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