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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Cauchysche Integralformel
Cauchysche Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Cauchysche Integralformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Di 05.05.2009
Autor: Denny22

Aufgabe
[mm] $a\in\IC$, $\Gamma$ [/mm] glatter geschlossener Pfad, der $a$ nicht enthaelt. Berechne mit der Cauchyschen Integralformel

     [mm] $\int_{\Gamma}\frac{ze^z}{(z-a)^3}\,dz$ [/mm]

Hallo an alle,

da ich nur die Cauchysche Integralformel fuer Kreisscheiben kenne, frage ich mich bei dieser Aufgabe, wie ich sie loesen soll.

Hat jemand eine Idee?

Danke und Gruss

        
Bezug
Cauchysche Integralformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Di 05.05.2009
Autor: fred97


> [mm]a\in\IC[/mm], [mm]\Gamma[/mm] glatter geschlossener Pfad, der [mm]a[/mm] nicht
> enthaelt. Berechne mit der Cauchyschen Integralformel
>  
> [mm]\int_{\Gamma}\frac{ze^z}{(z-a)^3}\,dz[/mm]
>  Hallo an alle,
>  
> da ich nur die Cauchysche Integralformel fuer Kreisscheiben
> kenne, frage ich mich bei dieser Aufgabe, wie ich sie
> loesen soll.






Habt ihr keine allgemeinere Version gehabt ? z.B. diese


Sei  G offen , f:G [mm] \to \IC [/mm] holomorph, [mm] \Gamma [/mm] ein geschlossener Weg in G mit

     [mm] Ind_{\gamma}(w) [/mm] = 0 für jedes w nicht in G, dann:

       $f(u) [mm] Ind_{\gamma}(u) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{\Gamma}^{}{\bruch{f(z)}{z-u} dz}$ [/mm] für u [mm] \in [/mm] G \  [mm] \Gamma [/mm]



Wobei [mm] Ind_{\gamma}(w) [/mm] = Umlaufzahl



FRED

>
> Hat jemand eine Idee?
>  
> Danke und Gruss


Bezug
                
Bezug
Cauchysche Integralformel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:42 Di 05.05.2009
Autor: Denny22

Hallo,

> Habt ihr keine allgemeinere Version gehabt ? z.B. diese

Doch. Ich habe Sie gerade gefunden. Wie aber mache ich das nun aber mit dem Nenner. Dort steht "hoch 3" und nicht "hoch 1"? Gibt es von Deiner Formel eine Verallgemeinerung fuer Ableitungen?

Danke und Gruss

Bezug
                        
Bezug
Cauchysche Integralformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:43 Di 05.05.2009
Autor: Denny22

1. Frage: Gibt es etwa eine Verallgemeinerung der Cauchyschen Integralformel der Form:
[mm] $D\subset\IC$ [/mm] offen, [mm] $f:D\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph, [mm] $\gamma$ [/mm] glatter und geschlossener Weg mit [mm] $\mathrm{spur}(\gamma)\subset [/mm] D$ und [mm] $\mathrm{Ind}_{\gamma}(w)=0$ [/mm] für [mm] $w\notin [/mm] D$, [mm] $n\in\IN_0$: [/mm]

     [mm] $f^{(n)}(z_0)\cdot\mathrm{Ind}_{\gamma}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\cdot\int_{\gamma}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz$ [/mm]

2. Frage: Angenommen die erste Frage wurde mit "ja" beantwortet, dann lässt sich die Aufgabe doch relativ schnell durch

     [mm] $\int_{\gamma}\frac{ze^z}{(z-a)^3}\,dz=\frac{2\pi i}{2!}\cdot f^{(2)}(a)\cdot\mathrm{Ind}_{\gamma}(a)=\pi i\cdot e^a(2+a)\cdot\mathrm{Ind}_{\gamma}(a)$ [/mm]

lösen, oder? Ergänzung: Die ersten zwei Ableitungen von [mm] $f(z)=ze^z$ [/mm] sind

     [mm] $f^{(1)}(z)=e^z(1+z)$ [/mm]
     [mm] $f^{(2)}(z)=e^z(2+z)$ [/mm]

Wäre schön, wenn mir an dieser Stelle nochmals jemand helfen könnte.
Danke und Gruß

Bezug
                        
Bezug
Cauchysche Integralformel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Sa 09.05.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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