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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:52 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Blaze |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, ohne Benutzung des Supremumaxioms aber mit Hilfe von Archimedes, dass aus der Konvergenz beliebiger Cauchyfolgen die Konvergenz von monoton beschränkten Folgen folgt. |
So, das ist die Aufgabe. Bei Wikipedia habe unter Archimedisches Axoim folgendes gefunden:
[mm] \forall x\in\IR \exists n\in\IZ [/mm] : [mm] n
unter einer Cauchyfolge hatten wir eine Folge definiert die folgende Eigenschaft hat:
[mm] \forall\epsilon>0 \exists n_0\in\IN, \forall m,m'\ge n_0: |x_m-x_m'|<\epsilon
[/mm]
Das sind soweit die Definitionen die ich habe, aber eine wirkliche Idee habe ich nicht, eine monotone und beschränkte konvergiert doch immer oder nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 01.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:59 Di 02.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, ohne Benutzung des Supremumaxioms aber mit
> Hilfe von Archimedes, dass aus der Konvergenz beliebiger
> Cauchyfolgen die Konvergenz von monoton beschränkten Folgen
> folgt.
> So, das ist die Aufgabe. Bei Wikipedia habe unter
> Archimedisches Axoim folgendes gefunden:
> [mm]\forall x\in\IR \exists n\in\IZ[/mm] : [mm]n
> unter einer Cauchyfolge hatten wir eine Folge definiert die
> folgende Eigenschaft hat:
> [mm]\forall\epsilon>0 \exists n_0\in\IN, \forall m,m'\ge n_0: |x_m-x_m'|<\epsilon[/mm]
>
> Das sind soweit die Definitionen die ich habe, aber eine
> wirkliche Idee habe ich nicht, eine monotone und
> beschränkte konvergiert doch immer oder nicht?
ja, der Beweis erfolgt aber (meist) mit dem Supremumsaxiom; aber so sollst Du ja gerade nicht vorgehen.
Vielmehr ist es hier Deine Aufgabe, zu zeigen:
Sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt. Dann ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Cauchyfolge. (Und das soll nicht so gezeigt werden, dass man benutzt, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiere, sondern eben nur mit dem Archimedischen Axiom!)
(Für [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton fallend und nach unten beschränkt folgt analoges durch Betrachten der Folge [mm] $(-a_n)_n$.)
[/mm]
Denn:
Wenn Du [mm] $(a_n)_n$ [/mm] als Cauchyfolge erkannt hast, dann liefert, weil nach Voraussetzung jede Cauchyfolge konvergiert, dies dann insbesondere die Konvergenz von [mm] $(a_n)_n$.
[/mm]
P.S.:
Dein Archimedisches Axiom kann man zwar auch irgendwie so nennen, aber ich kenne diese Formulierung:
![[]](/images/popup.gif) Wiki: Arch. Axiom
bzw. noch kürzer:
Für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] exisitiert ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n > x$ (man könnte es auch angeben mit $n:=[x]+1$, wobei [mm] $[x]=\max\{z \in \IZ: z \le x\}$; [/mm] allerdings muss man sich dabei auch Gedanken machen, wieso man sowas so hinschreiben kann/darf (zumindest im ersten Semester)).
Also:
Sei [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton wachsend. Ich denke mal, ein guter Ansatz wäre es nun, zu zeigen:
Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] keine Cauchyfolge, so ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] auch nicht nach oben beschränkt.
(Das ist die Kontraposition zu: Ist die Folge [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nach oben beschränkt, so ist sie eine Cauchyfolge. Beachte, dass ich die Monotonie hier als Universalvoraussetzung gesetzt habe!)
Weil [mm] $(a_n)_n$ [/mm] keine CF ist, gibt es ein [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$ so, dass für jedes $N [mm] \in \IN$ [/mm] dann $n,m [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n > m [mm] \ge [/mm] N$ so existieren, dass [mm] $|a_n-a_m| \ge \varepsilon_0$.
[/mm]
Wir finden also ein [mm] $n_1 [/mm] > 1$ mit [mm] $a_{n_1}-a_1 \ge \varepsilon_0$:
[/mm]
Also gilt
[mm] $$a_{n_{\green{1}}}=a_{n_1}-a_1+a_1 \ge \green{1}*\varepsilon_0+a_1\,.$$
[/mm]
Zu [mm] $n_1 \in \IN$ [/mm] finden wir ein [mm] $n_2 [/mm] > [mm] n_1$ [/mm] mit [mm] $a_{n_2}-a_{n_1} \ge \varepsilon_0$. [/mm] Dann gilt [mm] $$a_{n_{\green{2}}}=a_{n_2}-a_{n_1}+a_{n_1}-a_{1}+a_{1} \ge \green{2}*\varepsilon_0+a_1$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
Überlege Dir, wie Du so eine Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konstruieren kannst, die unbeschränkt ist.
Was heißt das dann für [mm] $(a_n)_n$ [/mm] selbst? Erkennst Du den Widerspruch?
(Bzw. wenn man in der Formulierung der Aufgabenstellung bleibt:
Warum kann man so eine TF [mm] $(a_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(a_n)_n$ [/mm] so angeben, dass, wäre [mm] $(a_n)_n$ [/mm] beschränkt, wir dann auch erhielten, dass [mm] $\IN$ [/mm] beschränkt ist. Warum steht das im Widerspruch zu Archimedes?)
Gruß,
Marcel
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