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Aus einem längeren Beweis ist folgende Stelle:
[mm]P\bigg\{\inf_{0\le s\le t^{2H}}\big(u+cs^{\frac{1}{2H}}-B(s)\big)<0\bigg\}=P\bigg\{\inf_{0\le s\le t^{2H}}\big(u+cs^{\frac{1}{2H}}+B(s)\big)<0\bigg\}[/mm].
Dabei sind [mm]u,c>0[/mm] und [mm]\frac{1}{2}
Das Einzige, was mir schonmal klar ist, ist dass [mm]-B(s)[/mm] ebenfalls eine standardisierte Brownsche Bewegung ist.
Wie kann es nun sein, dass sich die Wahrscheinlichkeit, dass das Infimum kleiner Null ist, nicht ändert, wenn statt [mm]B(s)[/mm] subtrahiert, nun diese addiert wird? Wie könnte man das beweisen bzw. gilt die Gleichung überhaupt?
Für eure Hilfe bin ich natürlich dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:14 Mo 25.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Aus einem längeren Beweis ist folgende Stelle:
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> [mm]P\bigg\{\inf_{0\le s\le t^{2H}}\big(u+cs^{\frac{1}{2H}}-B(s)\big)<0\bigg\}=P\bigg\{\inf_{0\le s\le t^{2H}}\big(u+cs^{\frac{1}{2H}}+B(s)\big)<0\bigg\}[/mm].
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> Dabei sind [mm]u,c>0[/mm] und [mm]\frac{1}{2}
> ist eine standardisierte Brownsche Bewegung.
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> Das Einzige, was mir schonmal klar ist, ist dass [mm]-B(s)[/mm]
> ebenfalls eine standardisierte Brownsche Bewegung ist.
Genau, das ist auch ziemlich wichtig.
> Wie kann es nun sein, dass sich die Wahrscheinlichkeit,
> dass das Infimum kleiner Null ist, nicht ändert, wenn statt
> [mm]B(s)[/mm] subtrahiert, nun diese addiert wird? Wie könnte man
> das beweisen bzw. gilt die Gleichung überhaupt?
Ja, da das ganze nur von Eigenschaften abhängt, die für alle standardisierten Brownschen Bewegungen gelten. Egal ob man $B(s)$, $-B(s)$ oder [mm] $\tilde{B}(s)$ [/mm] nimmt (wobei [mm] $\tilde{B}(s)$ [/mm] eine andere standardisierte Brownsche Bewegung ist).
LG Felix
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Hallo,
ich danke dir ersteinmal für deine Antwort. Meine obige Frage ist sicherlich ungewöhnlich, da sie für die meisten "klar" ist. Ich würde mir aber gerne noch eine ausführliche Erläuterung dazu überlegen.
Beispielsweise würde ja für eine reelle Zufallsgröße [mm] \var{X} [/mm] gelten:
[mm] P\{X\le 0\}\;\neq\;P\{-X\le 0\}=P\{X\ge 0\}=1-P\{X< 0\}=1-P\{X\le 0\}
[/mm]
Da [mm] \var{X} [/mm] (stellvertretend für obigen Ausdruck für die Brownsche Bewegung mit Drift) nicht den Erwartungswert [mm] \mathbb{E}[X]=0 [/mm] hat, habe ich halt irgendwie einen Widerspruch im Kopf...
Für weitere Vorschläge bin ich dir und anderen auch weiterhin dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:26 So 31.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich danke dir ersteinmal für deine Antwort. Meine obige
> Frage ist sicherlich ungewöhnlich, da sie für die meisten
> "klar" ist. Ich würde mir aber gerne noch eine ausführliche
> Erläuterung dazu überlegen.
>
> Beispielsweise würde ja für eine reelle Zufallsgröße
> [mm]\var{X}[/mm] gelten:
>
> [mm]P\{X\le 0\}\;\neq\;P\{-X\le 0\}=P\{X\ge 0\}=1-P\{X< 0\}=1-P\{X\le 0\}[/mm]
Das [mm] $\neq$ [/mm] gilt nur im Allgemeinen, es kann sehr wohl Gleichheit gelten.
> Da [mm]\var{X}[/mm] (stellvertretend für obigen Ausdruck für die
> Brownsche Bewegung mit Drift) nicht den Erwartungswert
> [mm]\mathbb{E}[X]=0[/mm] hat, habe ich halt irgendwie einen
> Widerspruch im Kopf...
Das ist schon so. Allerdings hast du in deiner ersten Frage behauptet, dass es eine standardisierte Brownsche Bewegung ist -- und da ist der Drift 0 und es gilt [mm] $\mathbb{E}[X] [/mm] = 0$.
LG Felix
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Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob wir beide vom gleichen Problem reden? [mm]B(s)[/mm] und [mm]B(s)[/mm] sind natürlich standardisierte Brownsche Bewegungen mit den üblichen Eigenschaften und insbesondere [mm]\mathbb{E}\big[B(s)\big]=0[/mm].
Allerdings wird im Ausdruck:
[mm] P\bigg\{\inf_{0\le s\le t^{2H}}\big(u+cs^{\frac{1}{2H}}-B(s)\big)<0\bigg\}=P\bigg\{\inf_{0\le s\le t^{2H}}\big(u+cs^{\frac{1}{2H}}+B(s)\big)<0\bigg\} [/mm]
das Infimum ja nicht nur über die standardisierten Brownschen Bewegungen gebildet, sondern es steckt ja noch der Anteil [mm]u+cs^{\frac{1}{2H}}[/mm] mit drin, also eine Art Drift. Somit bin eben etwas verwirrt...
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Ich würde sagen, dass hier das Reflexionsprinzip zum Tragen kommt: Zu jedem Pfad von B gibt es einen gleichwahrscheinlichen, bei dem alle Werte an der Zeitachse gespiegelt sind.
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