Blaschke Produkt und H^p Norm < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich würde gerne einen Beweis verstehen (Walter Rudin, Reelle und komplexe Analysis, Satz 17.9), bzw. eher einen kleinen Ausschnitt davon:
Sei [mm]f \in H^p[/mm] für ein [mm]p>0[/mm]. Sei [mm]B_n[/mm] das endliche Blaschke-Produkt der ersten [mm]n[/mm] Nullstellen von [mm]f[/mm]. Man setzte [mm]g_n=\frac{f}{B_n}[/mm]. Für jedes [mm]n[/mm] konvergiert nun [mm]|B_n(re^{i \varphi})|[/mm] gleichmäßig gegen 1 für [mm]r \nearrow 1[/mm]. Folglich gilt [mm]\| g_n \|_{H^p} = \| f \|_{H^p}[/mm].
Ich verstehe hiervon alles außer der letzten Gleichung: [mm]\| g_n \|_{H^p} = \| f \|_{H^p}[/mm].
Es gilt doch:
[mm]\| g_n \|^p_{H^p} = \lim_{r \nearrow 1} \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} |g_n (re^{i \varphi}) |^p d\varphi = \lim_{r \nearrow 1} \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| \frac{f}{B_n} (re^{i \varphi} ) \right|^p d\varphi [/mm] (*)
und
[mm]\| f \|^p_{H^p} = \lim_{r \nearrow 1} \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} |f (re^{i \varphi}) |^p d\varphi[/mm]
Mir ist klar, dass ich bei einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge den Grenzwert reinziehen dürfte, also insbesondere[mm]\lim_{r \nearrow 1} \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} |B_n (re^{i \varphi}) |^p d\varphi=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \lim_{r \nearrow 1} |B_n (re^{i \varphi}) |^p d\varphi = 1[/mm] gelten würde. Aber deswegen kann ich doch noch lange nicht den Grenzwert in (*) reinziehen?
Kann mir jemand helfen?
Vielen Dank im Vorraus,
Reticella
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Hiho,
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> Hallo,
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> ich würde gerne einen Beweis verstehen (Walter Rudin,
> Reelle und komplexe Analysis, Satz 17.9), bzw. eher einen
> kleinen Ausschnitt davon:
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> Sei [mm]f \in H^p[/mm] für ein [mm]p>0[/mm]. Sei [mm]B_n[/mm] das endliche
> Blaschke-Produkt der ersten [mm]n[/mm] Nullstellen von [mm]f[/mm]. Man setzte
> [mm]g_n=\frac{f}{B_n}[/mm]. Für jedes [mm]n[/mm] konvergiert nun [mm]|B_n(re^{i \varphi})|[/mm]
> gleichmäßig gegen 1 für [mm]r \nearrow 1[/mm]. Folglich gilt [mm]\| g_n \|_{H^p} = \| f \|_{H^p}[/mm].
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> Ich verstehe hiervon alles außer der letzten Gleichung: [mm]\| g_n \|_{H^p} = \| f \|_{H^p}[/mm].
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> Es gilt doch:
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> [mm]\| g_n \|^p_{H^p} = \lim_{r \nearrow 1} \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} |g_n (re^{i \varphi}) |^p d\varphi = \lim_{r \nearrow 1} \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| \frac{f}{B_n} (re^{i \varphi} ) \right|^p d\varphi[/mm]
> (*)
>
> und
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> [mm]\| f \|^p_{H^p} = \lim_{r \nearrow 1} \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} |f (re^{i \varphi}) |^p d\varphi[/mm]
> Mir ist klar, dass ich bei einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge den Grenzwert reinziehen dürfte
Na dann bist du doch fertig.....
Die [mm] B_n [/mm] konvergieren gleichmäßig gegen eine Funktion, die überall ungleich Null ist, und damit auch die [mm] $g_n [/mm] := [mm] \bruch{f}{B_n}$.
[/mm]
Damit sind Grenzwert- und Integralbildung vertauschbar.
MFG,
Gono.
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Hey,
aber ich kann doch nicht in den Bruch reinziehen, weil das $f$ ja nicht gleichmäßig konvergiert... sry die Antwort versteh ich leider nicht. Ich habe das Problem inzwischen (etwas umständlicher) gelöst und wäre deshalb dankbar wenn mir jemand erklären könnte wieso das einfach so geht...
LG Reticella
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Hiho,
edit: Das ist natürlich Blödsinn, was ich geschrieben hatte. Da steht ja r im Grenzwert und nicht n...
> aber ich kann doch nicht in den Bruch reinziehen, weil das [mm]f[/mm] ja nicht gleichmäßig konvergiert...
das f ist doch für den Grenzwert eine Konstante. Da muss nichts "konvergieren" bzw feste Funktionen konvergieren natürlich immer gleichmäßig gegen sich selbst.
f hängt doch gar nicht von n ab, d.h. die für dich relevante Folge ist [mm] \bruch{1}{B_n} [/mm] und die konvergiert gleichmäßig, da [mm] B_n [/mm] gleichmäßig gegen einen Wert ungleich Null konvergiert.
edit2: Diesmal richtig argumentiert.
Der Beweis an sich ist nicht schwer, sondern nur ein bisschen Schreibarbeit.
Dazu muss man sich mal klar machen, was der Grenzwert einer Funktion eigentlich ist....
Formal könnte man das so ausdrücken:
Du weißt: [mm] $B_n \to [/mm] 1$ gleichmäßig für [mm] $r\nearrow [/mm] 1$.
Das bedeutet letztlich nichts anders als:
[mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,\delta>0\forall\,r\in(1-\delta,1]\;\forall\,n: B_n \in (1-\varepsilon,1+\varepsilon)$
[/mm]
Weiterhin weißt du:
$ [mm] \| [/mm] f [mm] \|^p [/mm] = [mm] \lim_{r \nearrow 1} \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} [/mm] |f [mm] (re^{i \varphi}) |^p d\varphi [/mm] = [mm] \lim_{r \nearrow 1} ||f_r||^p$
[/mm]
Was nichts anderes ist als:
[mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,\delta>0\forall\,r\in(1-\delta,1]: ||f_r||^p \in \left(||f||^p - \varepsilon,||f||^p + \varepsilon\right)$
[/mm]
Und damit:
[mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,\delta>0\forall\,r\in(1-\delta,1]\;\forall\,n: \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| \frac{f}{1 + \varepsilon} (re^{i \varphi} ) \right|^p d\varphi \le \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| \frac{f}{B_n} (re^{i \varphi} ) \right|^p d\varphi \le \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| \frac{f}{1-\varepsilon} (re^{i \varphi} ) \right|^p d\varphi [/mm] $
Rausziehen der konstanten Terme:
[mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,\delta>0\forall\,r\in(1-\delta,1]\;\forall\,n: \frac{1}{2 \pi (1+\varepsilon)^p} \int_0^{2 \pi} \left| f (re^{i \varphi} ) \right|^p d\varphi \le \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| \frac{f}{B_n} (re^{i \varphi} ) \right|^p d\varphi \le \frac{1}{2 \pi*(1-\varepsilon)^p} \int_0^{2 \pi} \left| f (re^{i \varphi} ) \right|^p d\varphi [/mm] $
[mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,\delta>0\forall\,r\in(1-\delta,1]\;\forall\,n: \frac{1}{2 \pi (1+\varepsilon)^p} \int_0^{2 \pi} \left| f (re^{i \varphi} ) \right|^p d\varphi \le \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| \frac{f}{B_n} (re^{i \varphi} ) \right|^p d\varphi \le \frac{1}{2 \pi*(1-\varepsilon)^p} \int_0^{2 \pi} \left| f (re^{i \varphi} ) \right|^p d\varphi [/mm] $
Definition von [mm] $||f_r||^p$ [/mm] einsetzen:
[mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,\delta>0\forall\,r\in(1-\delta,1]\;\forall\n: \frac{2\pi}{2 \pi (1+\varepsilon)^p}||f_r||^p \le \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| \frac{f}{B_n} (re^{i \varphi} ) \right|^p d\varphi \le \frac{2\pi}{2 \pi*(1-\varepsilon)^p}||f_r||^p$
[/mm]
Formale Definition von $ [mm] \| [/mm] f [mm] \|^p [/mm] = [mm] \lim_{r \nearrow 1} ||f_r||^p$ [/mm] nutzen liefert:
[mm] $\forall\,\varepsilon>0\;\exists\,\delta>0\forall\,r\in(1-\delta,1]\;\forall\n: \frac{2\pi}{2 \pi (1+\varepsilon)^p} \left( ||f||^p - \varepsilon\right) \le \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| \frac{f}{B_n} (re^{i \varphi} ) \right|^p d\varphi \le \frac{2\pi}{2 \pi*(1-\varepsilon)^p}\left( ||f||^p + \varepsilon\right)$
[/mm]
[mm] $\varepsilon \to [/mm] 0$ liefert dir das Gewünschte......
Wie ich vorher sagte: Nicht schwer, nur Schreibarbeit....
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Do 28.02.2013 | | Autor: | Reticella |
Danke :)
Genauso hab ich es auch gemacht... hatte nur gehofft, dass das noch irgendwie schöner geht.. Dann bleibt das wohl so 
So war meine Lösung:
Definiere [mm]g_n= \frac{f}{B_n}[/mm], wobei [mm]B_n[/mm] das Blaschkeprodukt zu den ersten [mm]n[/mm] Nullstellen von [mm]f[/mm]. Die nun endlich vielen Faktoren von [mm]B_n[/mm] konvergieren für [mm]r \nearrow 1[/mm] nach Lemma XX da sie in [mm] \mathbb{D}[/mm] stetig sind gleichmäßig gegen [mm]1[/mm].
Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] beliebig. Es gibt nun also ein [mm]r[/mm] nahe 1, sodass [mm] \Le| B_n (re^{i \phi}) \re| > 1 - \epsilon[/mm].
Damit folgt:
[mm]\| g_n \|_{H^p}^p=\lim\limits_{r \nearrow 1} \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| g_n (re^{i \phi}) \right|^p d\phi \\
=\lim\limits_{r \nearrow 1} \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| \frac{f(re^{i \phi}) }{B_n (re^{i \phi}) } \right|^p d\phi\\
\leq \lim\limits_{r \nearrow 1} \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| \frac{f(re^{i \phi}) }{1 - \epsilon} \right|^p d\phi\\
= \frac{1}{(1- \epsilon)^p} \cdot \lim\limits_{r \nearrow 1} \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \left| f(re^{i \phi}) \right|^p d\phi\\
= \frac{1}{(1- \epsilon)^p} \| f \|_{H^p}^p [/mm]
Da dies für alle [mm]\epsilon>0[/mm] gilt folgt:
[mm]\| g_n \|_{H^p}^p \leq \| f \|_{H^p}^p [/mm].
Das müsste so stimmen denke ich...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Do 28.02.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Da dies für alle [mm]\epsilon>0[/mm] gilt folgt:
> [mm]\| g_n \|_{H^p}^p \leq \| f \|_{H^p}^p [/mm].
>
> Das müsste so stimmen denke ich...
Ja, sofern du [mm] \ge [/mm] analog hinbekommst, hast du ja Gleichheit.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Fr 01.03.2013 | | Autor: | Reticella |
Die andere Richtung ist trivial, weil das Blaschkeprodukt im Kreis < 1 ist
Nochmal vielen Dank für die Mühe!
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