Binomialverteilung, E(X) < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:47 So 31.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | X sei Binomialverteilt , P(X=k)= [mm] \vektor{n\\k}p^k (1-p)^{n-k}
[/mm]
E(X) = [mm] \sum_{x \in X(\Omega)} [/mm] x P (X=x) = [mm] \sum_{k=0}^n [/mm] k [mm] \vektor{n \\ k} p^k (1-p)^{n-k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n [/mm] n [mm] \vektor{n-1\\ k-1} p^k (1-p)^{n-k} [/mm] = np * [mm] \sum_{k=1}^n \vektor{n-1\\ k-1} p^{k-1} (1-p)^{n-k} [/mm] = np [mm] \sum_{l=0}^{n-1} \vektor{n-1\\ l} p^{l} (1-p)^{n-l-1}= [/mm] np [mm] \sum_{l=0}^m \vektor{m\\ l} p^{l} (1-p)^{m-l}= [/mm] np |
Hallo.
Wir haben die Umformung in Skript stehen.Ich hätte dazu 1-2 Fragen:
-) Warum ist: [mm] \sum_{x \in X(\Omega)} [/mm] x P (X=x) = [mm] \sum_{k=0}^n [/mm] k [mm] \vektor{n \\ k} p^k (1-p)^{n-k}
[/mm]
Also woher weiß man dass [mm] X(\Omega) [/mm] die werte [mm] \{0,..,n\} [/mm] hat?
-) [mm] \sum_{l=0}^m \vektor{m\\ l} p^{l} (1-p)^{m-l}=1
[/mm]
Das ist wegen des binomischen lehrsatzes wenn ich nicht irre ?
[mm] \sum_{l=0}^m \vektor{m\\ l} p^{l} (1-p)^{m-l}= (p+(1-p))^m [/mm] = [mm] 1^m [/mm] =1
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:43 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Walde |
Hi sissile,
zu Frage 1:
mit [mm] X(\Omega) [/mm] ist das Bild des Ergebnisraums [mm] \Omega [/mm] unter der Zufallsvariablen X gemeint. Kannst du mit dem Satz was anfangen (du hast keinen Mathe Background angegeben)?
Falls ja: Da X nach Vorraussetzung binomialverteilt ist, hat es die bestimmenden Parameter n und p. Und X kann eben nur Werte zw. 0 und n annehmen,denn es "zählt" ja die Anzahl der Erfolge.
Falls nein:
Zb beim Wurf von 2 Würfeln (oder 2-maligem Wurf eines Würfels) (allgemein n Würfel oder n-maliges Werfen eines Würfels), ist [mm] \Omega [/mm] die Menge der geordneten Paare der einzelnen Würfelergebnisse, also zB [mm] \Omega=\{(1,1);(1,2);(1,3),\dots \} [/mm] Die Zufallsvariable X zählt zB die Anzahl der Einsen. Dann kann X nur die Werte 0,1,2 annehmen (allgemein 0 bis n). Das kann man auch so schreiben: [mm] X(\Omega)=\{0,1,2\} [/mm] und meint die Werte, die X annehmen kann.
Hm, war das verständlich?
Frage 2: ja
LG walde
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Mo 01.04.2013 | | Autor: | sissile |
Danke, dass ist mir klar.
Wir haben dasselbe für die Hypergeometrische Verteilung P(X=k)= [mm] \frac{\vektor{K \\ k}\vektor{N-K \\ n-k}}{\vektor{N \\ n}}gemacht.
[/mm]
Und hatten am schluß:
E(X) = [mm] \frac{Kn}{N} *\sum_{a=0}^{n-1} \frac{\vektor{K-1 \\ a}\vektor{N-1-(K-1)\\ (n-1)-a}}{\vektor{N-1\\ n-1}}
[/mm]
wobei a=k-1 ist
Intuitiv ist klar, dass die Summe 1 wird, aber wie kann ich das formal aufschrieben?
mein Versuch
[mm] \frac{\vektor{K-1 \\ a}\vektor{N-1-(K-1)\\ (n-1)-a}}{\vektor{N-1\\ n-1}} [/mm] =P(X=a)= [mm] P_x [/mm] ({a})= [mm] p_x [/mm] (a)
wobei die Parameter statt (N,K,n) sind (N-1,K-1,n-1)
und wegen der Normiertheit: [mm] \sum_{a=0}^{n-1} p_x [/mm] (a) =1
Kann man das so aufschreiben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mo 01.04.2013 | | Autor: | Walde |
Hi Sissile,
mach bei ner neuen Frage lieber einen neuen Thread auf, dann kriegst du schneller ne Antwort.
Aber ja, die Idee finde ich gut. Du solltest nur nicht wieder X benutzen, denn das hattest du ja oben schon und da waren die Parameter ja festgelegt. Sag einfach, dass man den Ausdruck als W'keiten einer hypergeom. Verteilten ZV Y auffassen kann, mit entsprechenden Parametern (genau wie du geschrieben hast). Und deine Schlussfolgerung, dass dann die Summe 1 ergeben muss, ist dann richtig.
LG walde
|
|
|
|
