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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mo 26.10.2009 | | Autor: | daAndy |
| Aufgabe | Aus der Schule wissen wir, dass eine (in Dezimaldarstellung gegebene)
natürliche Zahl genau dann durch 5 teilbar ist, wenn ihre Einerstelle gleich 0 oder gleich
5 ist. Zeigen Sie: Ist x [mm] \in [/mm] N und ist [mm] x^2 [/mm] durch 5 teilbar, so ist auch x durch 5 teilbar. |
Hallo liebe Leute,
ich hab ne dringene Frage zu dieser Aufgabe, ich versteh zwar den Sinn und eigentlich auch die Lösung, ich weiß nur nicht wie ichs beweisen soll.
Da ich nicht mehr viel Zeit habe, wärs echt super, wenn ich die Lösung bald in Erfahrung bringen könnte.
Ich hab jetz schon ne Stunde rumgerätselt, aber ich komm nicht wirklich drauf.
Bitte um Hilfe.
Danke im Vorraus,
Andy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
wenn x durch 5 teilbar ist, dann gibt es ein [mm] b\in\IN [/mm] für das gilt x=5b. Das brauchst du nur in [mm] x^2 [/mm] einsetzen und dann eine Form [mm] x^2=5*... [/mm] nachweisen.
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Mo 26.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> wenn x durch 5 teilbar ist, dann gibt es ein [mm]b\in\IN[/mm] für
> das gilt x=5b. Das brauchst du nur in [mm]x^2[/mm] einsetzen und
> dann eine Form [mm]x^2=5*...[/mm] nachweisen.
>
>
> Lg
> Herby
Hallo Herby,
du wirfst hier Voraussetzungen und Behauptung durcheinander.
Da erst zu beweisen ist, dass x=5b (b [mm] \in \IN) [/mm] gilt, kann man das keinesfalls als Ausgangspunkt wählen.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Abakus,
hast recht, danke für den Hinweis
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Mo 26.10.2009 | | Autor: | daAndy |
okay ich checks irgendwie immernoch nicht...
kann ichs nicht so machen, dass ich schreib
x * [mm] \bruch{x}{5} [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{5} [/mm] ???
also einfach sage, dass x durch 5 mal x gleich dem [mm] x^2 [/mm] durch 5 is?!
x ist ja dann immer fix und die behauptung stimmt doch dann auch oder!?
wenn das nicht stimmt, dann versteh ichs wirklich nich... sonst waren ja alle aufgaben von dem blatt irgendwie lösbar, aber bei der, die am einfachsten zu sein scheint, steig ich irgendwie garnicht durch :/
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Hallo daAndy,
schau Dir doch mal diesen ![[]](/images/popup.gif) Klassiker an.
Der verwendet - obwohl da noch unbekannt - letztlich den Fundamentalsatz der Arithmetik (oft auch als "Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie" bezeichnet).
Und? Hast Du nun eine Idee?
lg
reverend
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> Moin,
>
> ich denke, dass man mit dem ersten Ansatz von mir trotzdem
> irgendwie weiterkommt 
Hallo,
irgendwie schon.
Dieser Dein Ansatz (bzw. der Beweis dazu) ist natürlich - insbesondere im Vergleich zu meinem! - ganz ungemein häßlich, weil man dazu Wurzeln ziehen muß (können wir das überhaupt schon?) und etwas über Primfaktorzerlegung wissen.
Sei [mm] x\in \IN.
[/mm]
>
> Wenn [mm]x^2[/mm] durch 5 teilbar ist, dann
gibt es ein k so, daß
> [mm] x^2=5^k*a
[/mm]
mit 5,a teilerfremd.
Wir haben also alle 5er-Potenzen herausgezogen.
> [mm] \Rightarrow\ x=5^{\bruch{k}{2}}*\wurzel{a}
[/mm]
> Da x eine natürliche Zahl ist, muss das Produkt auf der
> rechten Seite auch eine natürliche Zahl darstellen.
Ja, weil das vorausgesetzt war.
> Also
> fallen schon mal alle Kandidaten raus, die in irgendeiner
> Form irrational werden.
1.Fall: k gerade, k=2k'. Dann ist a eine Quadratzahl, also [mm] a=(a')^2 [/mm] (Kann/Muß man sich überlegen, womit man einen sehr beliebten Beweis aufrollt, nämlich den, daß die Wurzel aus einer natürlichen Zahl eine natürliche Zahl oder irrational ist.)
und wir haben x= [mm] 5^{k'}a', [/mm] also ist x teilbar durch 5.
> Das einzige Problem, welches ich
> noch habe ist, dass [mm]\wurzel{5}*\wurzel{5}=5[/mm] ist ![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
Ja. das kommt bei beim
2. Fall: k ungerade, K=2k'+1.
Man hat [mm] x=5^{k'}*\wurzel{5*a}
[/mm]
Man stellt wie oben fest: 5a ist eine Quadratzahl, also [mm] 5a=n^2.
[/mm]
5 teilt [mm] n^2, [/mm] also teilt 5 (Primzahl) die Zahl n.
Also ist n=5n' ==> [mm] 5a=n^2=25n'^2 [/mm] ==> a= 5n'^2 ==> 5 teilt a. Widerspruch, denn wir hatten es ja so organisiert, daß 5 und a teilerfremd sind.
Also kommt der Fall 2. gar nicht vor.
Das Ganze kann man ohne das Gewurzels haben, wenn man mit [mm] x^2=5^ka [/mm] mit 5,a teilerfremd startet. Aber ohne etwas über Primfaktoren zu wissen, geht es nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 Di 27.10.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Angela,
herzlichen Dank für deine ausführliche Antwort
> > Moin,
> >
> > ich denke, dass man mit dem ersten Ansatz von mir trotzdem
> > irgendwie weiterkommt
>
> Hallo,
>
> irgendwie schon.
>
> Dieser Dein Ansatz (bzw. der Beweis dazu) ist natürlich -
> insbesondere im Vergleich zu meinem! - ganz ungemein
> häßlich, weil man dazu Wurzeln ziehen muß (können wir
> das überhaupt schon?) und etwas über Primfaktorzerlegung
> wissen.
>
> Sei [mm]x\in \IN.[/mm]
> >
> > Wenn [mm]x^2[/mm] durch 5 teilbar ist, dann
>
> gibt es ein k so, daß
>
> > [mm]x^2=5^k*a[/mm]
>
> mit 5,a teilerfremd.
>
> Wir haben also alle 5er-Potenzen herausgezogen.
>
> > [mm]\Rightarrow\ x=5^{\bruch{k}{2}}*\wurzel{a}[/mm]
>
>
> > Da x eine natürliche Zahl ist, muss das Produkt auf der
> > rechten Seite auch eine natürliche Zahl darstellen.
>
> Ja, weil das vorausgesetzt war.
>
> > Also
> > fallen schon mal alle Kandidaten raus, die in irgendeiner
> > Form irrational werden.
>
>
> 1.Fall: k gerade, k=2k'. Dann ist a eine Quadratzahl, also
> [mm]a=(a')^2[/mm] (Kann/Muß man sich überlegen, womit man einen
> sehr beliebten Beweis aufrollt, nämlich den, daß die
> Wurzel aus einer natürlichen Zahl eine natürliche Zahl
> oder irrational ist.)
Das kann ja Andy nochmal nachweisen 
> und wir haben x= [mm]5^{k'}a',[/mm] also ist x teilbar durch 5.
>
>
> > Das einzige Problem, welches ich
> > noch habe ist, dass [mm]\wurzel{5}*\wurzel{5}=5[/mm] ist
>
> Ja. das kommt bei beim
>
> 2. Fall: k ungerade, K=2k'+1.
>
> Man hat [mm]x=5^{k'}*\wurzel{5*a}[/mm]
>
> Man stellt wie oben fest: 5a ist eine Quadratzahl, also
> [mm]5a=n^2.[/mm]
>
> 5 teilt [mm]n^2,[/mm] also teilt 5 (Primzahl) die Zahl n.
>
> Also ist n=5n' ==> [mm]5a=n^2=25n'^2[/mm] ==> a= 5n'^2 ==> 5
> teilt a. Widerspruch, denn wir hatten es ja so organisiert,
> daß 5 und a teilerfremd sind.
>
> Also kommt der Fall 2. gar nicht vor.
Genau, das hatte ich dann auch festgestellt, aber da war meine Frage schon im Orbit
> Das Ganze kann man ohne das Gewurzels haben, wenn man mit
> [mm]x^2=5^ka[/mm] mit 5,a teilerfremd startet. Aber ohne etwas
> über Primfaktoren zu wissen, geht es nicht.
Mein ehemaliger spanischer Arbeitskollege sagte zu solchen Situationen immer: "Das schad nichts, das mal zu mache, denn Übung mache die Meister."
Lg
Herby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
das lässt einem dann ja keine Ruhe.
Wenn man das eine nicht zeigen kann, dann kann man aber zeigen, dass das andere nicht gilt. Mach doch mal den Gegenbeweis
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Mo 26.10.2009 | | Autor: | daAndy |
Reverend, weder deine Antwort, noch die von Herby lassen bei mir kein Lichtlein leuchten...
Vielleicht bin ich heute nur schon nicht mehr aufnahmefähig genug oder ich weiß auch nicht was los ist... Auf jeden Fall brauch ich die Lösung morgen früh und weiß nicht mehr weiter...
Vielleicht versteh ichs, wenn ich die konkrete Lösung vor Augen hab...
Bin leider nicht so ein Mathecrack und hatte auch damals nur Grundkurs, deswegen bin ich grade bisschen deprimiert... :/
Wär super wenn ihr mir einfach die Lösung sagen könntet... Ich kann wohl heute nur noch Idiotensichere Kost verdauen :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Di 27.10.2009 | | Autor: | Herby |
Hi,
na wir hatten gemeint (denke ich zumindest), dass wenn x schon mal nicht durch 5 teilbar ist, dann ist es [mm] x^2 [/mm] auch nicht. Das geht leichter zu zeigen, denn soooo viele Möglichkeiten ein x zu finden, dass nicht durch 5 teilbar ist, gibt es ja nicht.
Daher die Frage an dich: Wie lautet die allgemeine Darstellung einer Zahl, die nicht durch 5 teilbar ist? Diese musst du dann quadrieren und zeigen, dass das Quadrat der Zahl ebenso nicht durch 5 teilbar ist.
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Di 27.10.2009 | | Autor: | daAndy |
Eine Zahl ist nicht durch 5 teilbar, wenn ihre Einerstelle nicht 5 oder 0 ist, nur wie schreibe ich das mathematisch nieder?
Wie gesagt, bin fix und foxi, aber sonst auch kein Mathe Genie...
Schreibe ich da 5+x, wobei x nicht n*5 sein darf?
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ooy! (as a real Englishman would say)
Eine Zahl ist dann nicht durch 5 teilbar, wenn ihre (eindeutige!) Primfaktorzerlegung keine 5 enthält - denn die 5 ist eine Primzahl. Das ist sogar völlig unabhängig vom gewählten Zahlensystem. Es gilt also dezimal, binär, hexadezimal, im 12er-System und natürlich auch im 10009er-System (mit immerhin primer Basis).
Anders gesagt ist eine Zahl nur dann durch 5 teilbar, wenn ihre (eindeutige!) Primfaktorzerlegung eine 5 enthält - denn die 5 ist eine Primzahl.
Schau Dir doch nochmal den Euklid an. Der grundlegende Gedankengang ist da bereits angewandt.
Und sonst warte bis morgen. Dann schaffst Du's auch, wenn Du kein Mathegenie bist.
lg
rev
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Hallo,
schau Dir nochmal an, was Herby Dir geschrieben hat:
statt [mm] 5|x^2 [/mm] ==> 5|x
kannst Du auch beweisen die Kontraposition
[mm] 5\not|x [/mm] ==> [mm] 5\not|x^2.
[/mm]
Nun überlegen wir mal, wie man eine nat. Zahl x, die nicht von 5 geteilt wird, schreiben kann.
(Ich halte mich dazu jetzt genau an den Hinweis in der Aufgabenstellung, an den mit der letzten Ziffer, obgleich ich es eigentlich etwas anders machen würde.)
Sei also x [mm] \in \IN [/mm] und x nicht teilbar durch 5.
Dann ist die Einerstelle der Zahl im Dezimalsystem 1,2,3,4,6,7,8,9.
Also gibt es eine natürliche Zahl k , so daß man x schreiben kann als
x=10k + 1
oder
x=10k+2
oder
x=10k+3
oder
x=10k+4
oder
x=10k+6
oder
x=10k+7
oder
x=10k+8
oder
x=10k+9
Quadriere nun Dein x und untersuche, welche Einerstellen Du bei diesen Zahlen erhalten kannst.
Gruß v. Angela
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