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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:27 So 13.12.2009 | | Autor: | Mungi |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie aus den sechs gegebenen Punkten eine Exponentialfunktion der Form g(t) = a - b * [mm] e^{k*t} [/mm] |
Kann mir hierbei jemand helfen? Ich weiß, wie man Polynomfunktionen aus mehreren Punkten bestimmt, aber hier habe ich keine Ahnung, wie ich anfangen soll. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mungi!
Genau wie bei Polynomfunktionen musst Du die gegebenen Punktkoordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen und anschließend das entstehende Gleichungssystem lösen.
Für genauere Hilfe solltest Du die Punktkoordinaten hier mitposten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 So 13.12.2009 | | Autor: | Mungi |
Hallo!
Und wie soll ich das genau machen?
Ich habe folgende Punkte:
(0 | 0)
(2 | 130)
(4 | 190)
(5 | 210)
(7 | 225)
(10 | 232)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mungi!
Wie oben bereits beschrieben: durch Einsetzen!
$$g(0) \ = \ [mm] a-b*e^{k*0} [/mm] \ = \ a-b \ = \ 0 \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ a \ = \ b$$
$$g(2) \ = \ [mm] a-b*e^{k*2} [/mm] \ = \ [mm] a-b*e^{2k} [/mm] \ = \ 130$$
usw.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 So 13.12.2009 | | Autor: | Mungi |
Okay, soweit waren meine Überlegungen richtig, aber wie soll ich dann weiter machen? Ich bin schon am Verzweifeln...
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Hallo Mungi,
> Okay, soweit waren meine Überlegungen richtig, aber wie
> soll ich dann weiter machen? Ich bin schon am
> Verzweifeln...
Na, du musst natürlich aus den Gleichungen, die du erhätst, die Unbekannten $a,b,k$ berechnen.
Wie du ein Gleichungssystem löst, weißt du aber ?!
Probiers mal, poste alle Gleichungen, die du bekommen hast und deine(n) Versuch(e), das GS zu lösen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:34 So 13.12.2009 | | Autor: | Mungi |
> Wie du ein Gleichungssystem löst, weißt du aber ?!
Ein lineares ja, aber hier... Darin liegt mein Problem.
Wenn ich jetzt a = b in die zweite Gleichung einsetze, bekomme ich k heraus, das ist dann k = - 0,5 ( ln (130) - ln (b) ) / (ln (b) ).
Das kann doch nicht stimmen !?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mungi!
Nun poste doch endlich mal Deine sämtlichen Gleichungen!
Mit der 1. Gleichung, aus welcher unmittelbar $a \ = \ b$ folgt, kann man dann die anderen Gleichungen vereinfachen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 So 13.12.2009 | | Autor: | Mungi |
Ich habe zwar sechs Punkte, aber ich brauche doch nicht alle sechs Gleichungen, oder?
0 = a - b
130 = a - b * [mm] e^{2k}
[/mm]
190 = a - b * [mm] e^{4k}
[/mm]
210 = a - b * [mm] e^{5k} [/mm]
225 = a - b * [mm] e^{7k}
[/mm]
232 = a - b * [mm] e^{10k}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mungi!
> Ich habe zwar sechs Punkte, aber ich brauche doch nicht
> alle sechs Gleichungen, oder?
Du hast Recht: es würden z.B. die ersten 3 Gleichungen ausreichen.
> 0 = a - b
> 130 = a - b * [mm]e^{2k}[/mm]
> 190 = a - b * [mm]e^{4k}[/mm]
> 210 = a - b * [mm]e^{5k}[/mm]
> 225 = a - b * [mm]e^{7k}[/mm]
> 232 = a - b * [mm]e^{10k}[/mm]
Setze nun die 1. Gleichung in die anderen Gleichungen ein. Anschließend z.B. die 2. Gleichung von der 3. Gleichung abziehen und das Ergebnis nach [mm] $e^{2k}$ [/mm] auflösen.
Bedenke zudem: [mm] $e^{4k} [/mm] \ = \ [mm] e^{2k*2} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ e^{2k} \ \right)^2$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Mungi |
Hallo!
Okay, soweit bin ich:
130 = b - b * [mm] e^{2k}
[/mm]
190 = b - b * [mm] e^{4k}
[/mm]
> Anschließend z.B. die 2. Gleichung von der 3. Gleichung
> abziehen
Was meinst du damit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mo 14.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo!
>
> Okay, soweit bin ich:
>
> 130 = b - b * [mm]e^{2k}[/mm]
> 190 = b - b * [mm]e^{4k}[/mm]
>
>
> > Anschließend z.B. die 2. Gleichung von der 3. Gleichung
> > abziehen
>
> Was meinst du damit?
Hallo
Wie würdest du denn folgendes Gleichungsystem mit dem  Gauß-Algorithmus lösen:
[mm] \vmat{x-3y=5\\x+2y=7}
[/mm]
Genau dasselbe passiert hier auch, nur eben nicht in einem linearen Gleichungssystem.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Mungi |
Okay danke, ich weiß jetzt, wie es weiter geht.
Aber jetzt kommt das nächste Problem:
60 = b * [mm] e^{2k} [/mm] - b * [mm] e^{4k}
[/mm]
Wie kann ich das weiter vereinfachen?
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Hallo Mungi,
> Okay danke, ich weiß jetzt, wie es weiter geht.
>
> Aber jetzt kommt das nächste Problem:
>
> 60 = b * [mm]e^{2k}[/mm] - b * [mm]e^{4k}[/mm]
>
> Wie kann ich das weiter vereinfachen?
Dieser Schritt war ungeschickt, weil du nicht eine Variable losgeworden bist.
[mm] 130=b-b*e^{2k} [/mm]
[mm] 190=b-b*e^{4k} [/mm]
klammere b auf den rechten Seiten aus und teile(!) dann die beiden Gleichungen durcheinander.
(Das ist erlaubt, weil k hoffentlich nicht Null sein darf und daher die Terme >0 sind.)
Du erhältst eine Gleichung, die nur noch k enthält, das kannst du dann berechnen.
(quadratische Gleichung in [mm] e^{2k})
[/mm]
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Mungi |
Erstmal danke.
Aber kannst du das vielleicht zeigen? Dann kann ich das besser nachvollziehen, was du mit dem Teilen meinst.
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Hallo Mungi,
> Erstmal danke.
>
> Aber kannst du das vielleicht zeigen? Dann kann ich das
> besser nachvollziehen, was du mit dem Teilen meinst.
Beispiel: [mm] \vmat{1000=a(1-e^b)\\1200=a(1-e^{2b})} \Rightarrow [/mm]
für a [mm] \ne [/mm] 0 und [mm] b\ne0 [/mm] gilt: [mm] \bruch{1000}{1200}=\bruch{a(1-e^b)}{a(1-e^{2b})}
[/mm]
kürzen, neu sortieren und nach b auflösen.
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Mungi |
> Jetzt klar(er)?
Eigentlich schon, danke. Aber jetzt klappts mit dem Umformen nach b nicht so ganz:
- (1/6) - (5/6) * [mm] e^{2 b} [/mm] = [mm] e^{b}
[/mm]
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Hallo nochmal,
> > Jetzt klar(er)?
>
> Eigentlich schon, danke. Aber jetzt klappts mit dem
> Umformen nach b nicht so ganz:
>
> - (1/6) - (5/6) * [mm]e^{2 b}[/mm] = [mm]e^{b}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da stimmt doch das Vorzeichen auf der rechten Seite nicht.
Generell solltsst du ein bisschen was von deinen Rechenschritten mitposten, damit wir nicht alles doppelt und dreifach nachrechnen müssen und evtl. Fehler schon in der Rechnung ausmachen können.
Ich komme auf [mm] $-\frac{5}{6}e^{2b}+e^b-\frac{1}{6}=0$
[/mm]
Hier klammere [mm] $-\frac{5}{6}$ [/mm] aus und substituiere [mm] $z:=e^b$
[/mm]
Dann hast du eine quadratische Gleichung in $z$, die du hoffentlich lösen kannst ...
Die Lösungen in z musst du dann natürlich nachher wieder in Lösungen in b zurückrechnen (Probe ist auch angesagt!)
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Mo 14.12.2009 | | Autor: | Mungi |
> Da stimmt doch das Vorzeichen auf der rechten Seite nicht.
Genau, das war der Fehler!
Vielen Dank für die vielen Tipps, ich hab's jetzt hingekriegt. Das mit dem Teilen war mir vollkommen neu, aber man lernt eben nie aus. 
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