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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Beschränktheit stetiger Fktn
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Beschränktheit stetiger Fktn: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Mo 07.10.2019
Autor: bondi

Aufgabe
Jede gleichmäßig stetige Funktion [mm]f:\medspace]a,b[ \rightarrow \IR [/mm] ist beschränkt.

Mein Ansatz:


Sei [mm]f:\medspace]a,b[ [/mm] offen [mm]\rightarrow \IR \medspace \Rightarrow \exists \espilon > 0[/mm] mit [mm] ]x-\epsilon, x +\epsilon[ \medspace \in \medspace ]a,b[ [/mm].

Daraus folgt: falsche Aussage.

        
Bezug
Beschränktheit stetiger Fktn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 Mo 07.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Sei [mm]f:\medspace]a,b[[/mm] offen [mm]\rightarrow \IR \medspace \Rightarrow \exists \epsilon > 0[/mm] mit [mm]]x-\epsilon, x +\epsilon[ \medspace \in \medspace ]a,b[ [/mm].

Das stimmt erst mal…

> Daraus folgt: falsche Aussage.

Du hast erst mal nur eine Folgerung gezogen aus der Eigenschaft, dass $]a,b[$ offen ist.
Wieso sollte daraus sofort ein Widerspruch folgen?

Ganz nebenbei: Die zu zeigende Aussage ist korrekt… f lässt sich sogar auf $[a,b]$ stetig fortsetzen… habt ihr neben der Definition der glm. Stetigkeit denn schon Sätze gezeigt?

Geh am besten wie folgt vor:
1.) Zeige: f bildet Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen ab
2.) Folgere daraus: f lässt sich stetig auf [a,b] fortsetzen.
3.) Was weißt du über stetige Funktionen auf kompakten Intervallen?

Gruß,
Gono


Bezug
        
Bezug
Beschränktheit stetiger Fktn: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:53 Di 08.10.2019
Autor: fred97

Ohne den Satz, dass stetige Funktionen auf kompakten Mengen dort gleichmäßig stetig sind, kann man die Aufgabe auch so lösen:

Sei $ [mm] f:\medspace]a,b[ \rightarrow \IR [/mm] $ gleichmäßig stetig. Wir nehmen an, dass $f$ nicht beschränkt ist. Zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] ex. dann ein [mm] $x_n \in [/mm] ]a,b[$ mit [mm] $|f(x_n)|>n.$ [/mm]


Damit haben wir

(1) die Folge [mm] $(f(x_n))$ [/mm] ist unbeschränkt.

Wegen Bolzano- Weierstraß können wir annehmen, dass [mm] $(x_n)$ [/mm] konvergiert, also eine Cauchyfolge ist.


Nun sei [mm] \epsilon [/mm] >0. Es gibt ein [mm] \delta [/mm] >0 so, dass

(2) $|f(x)-f(y)| [mm] <\epsilon$ [/mm] ist für alle $x,y [mm] \in [/mm] ]a,b[$ mit $|x-y| < [mm] \delta.$ [/mm]

Es ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] $|x_n-x_m|< \delta$ [/mm] für $n,m>N.$ Aus (2) folgt dann

   [mm] $|f(x_n)-f(x_m)|< \epsilon$ [/mm] für $n,m>N.$

[mm] $(f(x_n))$ [/mm] ist also eine Cauchyfolge, und damit beschränkt, im Widerspruch zu (1).

Bezug
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