Beschränktheit polyedr. Mengen < Optimierung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:44 Mo 25.11.2013 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | | Die konvexe polyedrische Menge M={x ∈ ℝ^n : Ax ≤ b} sei nichtleer, und das homogene lineare Ungleichungssystem Ax≤0 besitze eine nichttriviale (vom Nullvektor verschiedene) Lösung. Zeigen Sie, dass M nicht beschränkt ist. |
Ich weiß nicht so richtig wie ich anfangen soll. Hat jemand ein Denkanstoß?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Mo 25.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Die konvexe polyedrische Menge M={x ∈ ℝ^n : Ax ≤ b}
> sei nichtleer, und das homogene lineare Ungleichungssystem
> Ax≤0 besitze eine nichttriviale (vom Nullvektor
> verschiedene) Lösung. Zeigen Sie, dass M nicht beschränkt
> ist.
> Ich weiß nicht so richtig wie ich anfangen soll. Hat
> jemand ein Denkanstoß?
Da M nicht leer ist, ex. ein [mm] u_0 \in \IR^n [/mm] mit [mm] u_0 \in [/mm] M.
Weiter gibt es ein [mm] v_0 \in \IR^n [/mm] mit [mm] v_0 \ne [/mm] 0 und [mm] Av_0 \le [/mm] 0.
Nun betrachte für t [mm] \in \IR [/mm] den Vektor
[mm] x(t)=u_0+tv_0.
[/mm]
Zeige:
x(t) [mm] \in [/mm] M für jedes (!) t [mm] \in \IR.
[/mm]
Edit: es fehlte noch: t [mm] \ge [/mm] 0.
Folgere daraus, dass M nicht beschränkt ist.
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mo 25.11.2013 | | Autor: | riju |
Also ich hab das jetzt irgendwie so:
zu Zeigen. A(u+tv)≤b
A(u+tv)=Au+tAv, da Au≤b und Av≤b gilt auch Au+tAv≤b
Reicht das als Nachweis? Da kann ich jetzt sehen, das M nicht beschränkt ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Mo 25.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also ich hab das jetzt irgendwie so:
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> zu Zeigen. A(u+tv)≤b
>
> A(u+tv)=Au+tAv, da Au≤b und Av≤b gilt auch Au+tAv≤b
???
Ich hab mich oben verschrieben. Korrekt lautet es so:
x(t) $ [mm] \in [/mm] $ M für jedes (!) t $ [mm] \in \IR$ [/mm] mit $ t [mm] \ge [/mm] 0 $
Es ist [mm] Au_0 \le [/mm] b und [mm] tAv_0 \le [/mm] 0 für jedes t [mm] \ge [/mm] 0.
Damit ist Ax(t) [mm] \le [/mm] b für jedes t [mm] \ge [/mm] 0.
>
> Reicht das als Nachweis? Da kann ich jetzt sehen, das M
> nicht beschränkt ist?
Die Teilmenge [mm] \{x(t): t \ge 0 \} [/mm] von M ist nicht beschränkt. Zeige das noch !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Mo 25.11.2013 | | Autor: | riju |
Eine Menge ist beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist.
Also wenn t=0, ist x(t)=u0 also ist es nach unten beschränkt, oder?
Aber da t nach oben keine Begrenzung hat, ist x(t) nach oben unbeschränkt oder?
Somit wäre die Teilmenge unbeschränkt, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:37 Mo 25.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Eine Menge ist beschränkt, wenn sie nach oben und nach
> unten beschränkt ist.
Das ist doch Unfug !!! Du bist im [mm] \IR^n [/mm] !
Ist M eine Teilmenge des [mm] \IR^n, [/mm] so ist M beschränkt : [mm] \gdw [/mm] es ex. ein c>0 mit
||x|| [mm] \le [/mm] c für alle x [mm] \in [/mm] M,
dabei ist ||*|| die Euklidnorm (oder eine andere Norm auf [mm] \IR^n, [/mm] welche, ist schnuppe)
>
> Also wenn t=0, ist x(t)=u0 also ist es nach unten
> beschränkt, oder?
Quatsch !
> Aber da t nach oben keine Begrenzung hat, ist x(t) nach
> oben unbeschränkt oder?
Na ja.....
Versuche zu zeigen:
||x(t)|| [mm] \ge t||v_0||-||u_0|| [/mm] für alle t [mm] \ge [/mm] 0.
FRED
>
> Somit wäre die Teilmenge unbeschränkt, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Mo 25.11.2013 | | Autor: | riju |
Danke schön
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