Beschränktheit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 So 19.07.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Was heisst [mm] \limes_{x\rightarrow 1}f(x) [/mm] = [mm] -\infty [/mm] ?
Was heisst die Funktion ist nach unteb beschränkt?
Die auf dem Intervall (0;1] definierte stetige reellwertige Funktion f sei nicht nach unten beschränkt. Folgt daraus [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x) [/mm] = [mm] -\infty [/mm] ?
(Beweis oder Gegenbeispiel) |
Hallo,
ich weiss dass das leichte fragen sind, ich bin aber trotzdem unsicher....
Für a würde ich sagen: Der limes einer Funktion beschreibt den Grenzwert den die Funktion annimmt für den Wert von x dem sich der Limes nähert.
In diesem Fall besitzt der limes für x gegen 1 keinen Grenzwert, sodass der limes gegen negativ unendlich geht.
Dies deutet auf eine Polstelle für x=1 in der Funktion hin.
Muss man dort noch mehr oder sachlichere Sachen schreiben?
b) eine Funktion heisst nach unten beschränkt wenn es eine Zahl s gibt mit f(x) [mm] \ge [/mm] s für alle x ED.
c) das ist das wo ich mir eigentlich unsicher bin. Es gilt ja für das INtervall 0<x [mm] \ge [/mm] 1
die funktion soll nun nicht nach unten bechränkt sein. Normalerweise würde ich sagen dass für lim [mm] x->\infty [/mm] f(x) = [mm] \-.infty [/mm] gelten müsste,
aber dass das bei null schon sein soll, nur weil das in dem intervall liegt, leuchtet mir irgendwie nicht ein.
Wäre ein gegenbeispiel f(x)= x ?
Kann mir jemand genau sagen, wie ich bei solchen theoretischen Problemen ranngehen muss?
Danke und liebe Grüsse
katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 So 19.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Was heisst [mm]\limes_{x\rightarrow 1}f(x)[/mm] = [mm]-\infty[/mm] ?
> Was heisst die Funktion ist nach unteb beschränkt?
>
> Die auf dem Intervall (0;1] definierte stetige reellwertige
> Funktion f sei nicht nach unten beschränkt. Folgt daraus
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}f(x)[/mm] = [mm]-\infty[/mm] ?
> (Beweis oder Gegenbeispiel)
> Hallo,
> ich weiss dass das leichte fragen sind, ich bin aber
> trotzdem unsicher....
>
>
> Für a würde ich sagen: Der limes einer Funktion
> beschreibt den Grenzwert den die Funktion annimmt für den
> Wert von x dem sich der Limes nähert.
Anschaulich richtig.
> In diesem Fall besitzt der limes für x gegen 1 keinen
> Grenzwert, sodass der limes gegen negativ unendlich geht.
Was ist das für eine Aussage? Wenn du nur die Voraussetzung wiederholst ist der Satz trivialerweise richtig, falls du sagst dass stets gilt "Grenzwert exisitert nicht [mm] \Rightarrow [/mm] limes gleich negativ unendlich", dann ist sie schlicht und einfach falsch.
> Dies deutet auf eine Polstelle für x=1 in der Funktion hin.
Was ist das nun wieder für eine Aussage?
> Muss man dort noch mehr oder sachlichere Sachen schreiben?
Also mathematisch gesehen sind deine Erklärungen unzureichend. Die Frage zielt doch eindeutlich darauf ab, zu definieren was [mm] $\lim_{x\to 1}f(x)=-\infty$ [/mm] mathematisch gesehen bedeutet.
> b) eine Funktion heisst nach unten beschränkt wenn es eine
> Zahl s gibt mit f(x) [mm]\ge[/mm] s für alle x ED.
... für alle x aus dem Definitionsbereich von f, ja.
> c) das ist das wo ich mir eigentlich unsicher bin. Es gilt
> ja für das INtervall 0<x [mm]\ge[/mm] 1
>
> die funktion soll nun nicht nach unten bechränkt sein.
> Normalerweise würde ich sagen dass für lim [mm]x->\infty[/mm] f(x)
> = [mm]\-.infty[/mm] gelten müsste,
Die Aussage macht überhaupt keinen Sinn. Für x>1 ist über f(x) nichts bekannt.
> aber dass das bei null schon sein soll, nur weil das in
> dem intervall liegt, leuchtet mir irgendwie nicht ein.
0 liegt doch gar nicht im Intervall?!
> Wäre ein gegenbeispiel f(x)= x ?
Nein, denn denn diese Funktion ist beschränkt. Ein Beispiel wäre [mm] $f(x):=\log(x)\sin(1/x)$ [/mm] für [mm] $x\in(0,1]$.
[/mm]
> Kann mir jemand genau sagen, wie ich bei solchen
> theoretischen Problemen ranngehen muss?
In der Mathematik gibt es keine Kochrezepte... auf jeden Fall solltest du dich darin üben nicht so schwammig zu sein, sondern rigorose, knallharte mathematische Statements zu machen, wie zum Beispiel "Für alle ... gilt ...." oder "Da ... folgt ...". In der Mathematik kann eben nicht ewig um den heißen brei drumrumreden, hinter allem stecken exeakte Definitionen.
Gruß, Robert
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