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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Finden Sie eine stetige Funktion [mm] f:X\to [/mm] Y zwischen metrischen Räumen X, Y und eine abgeschlossene Menge [mm] A\subset [/mm] X so, dass f(A) nicht abgeschlossen ist. |
Hi, ich hatte hier an eine Abbildung
[mm] $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ [/mm]
gedacht.
Dann wäre [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] abgeschlossen, aber [mm] $f(\mathbb{Q})=\mathbb{R}$
[/mm]
wäre nicht abgeschlossen.
Würde das schon ausreichen?
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Hiho,
> Hi, ich hatte hier an eine Abbildung
>
> [mm]f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}[/mm]
>
> gedacht.
>
> Dann wäre [mm]\mathbb{Q}[/mm] abgeschlossen, aber [mm]f(\mathbb{Q})=\mathbb{R}[/mm] wäre nicht abgeschlossen.
Das hängt doch von deiner Funktion ab!
Du hast erstmal nur Definitions- und Wertebereich angegeben, aber keine Funktion.
Desweiteren ist [mm] \IR [/mm] natürlich abgeschlossen in [mm] $\IR$!
[/mm]
Überlege dir mal, wie du recht einfach [mm] $[1,\infty)$ [/mm] auf $(0,1]$ abbilden kannst.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Wahrscheinlich einfach mit der Abbildung
[mm] $f:[1,\infty)\to(0,1]$
[/mm]
[mm] $x\mapsto \frac{1}{x}$
[/mm]
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Hiho,
> Wahrscheinlich einfach mit der Abbildung
> [mm]f:[1,\infty)\to(0,1][/mm]
> [mm]x\mapsto \frac{1}{x}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Und was ist [mm] [1,\infty) [/mm] und (0,1] nicht?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Das das Intervall (0,1] nicht abgeschlossen ist, ist mir klar.
Aber ist [mm] $[1,\infty)$ [/mm] abgeschlossen?
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Hiho,
> Aber ist [mm][1,\infty)[/mm] abgeschlossen?
na eine gute Möglichkeit Grundlagen nachzuarbeiten: Wann ist eine Menge A abgeschlossen?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Wenn [mm] $X\setminus [/mm] A$ offen ist.
Naja, aber was ist denn X in diesem Zusammenhang?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Do 01.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo YuSul,
> Wenn [mm]X\setminus A[/mm] offen ist.
Ja.
> Naja, aber was ist denn X in diesem Zusammenhang?
Du sollst doch dieses $X$ selbst bestimmen.
Ist [mm] \IR [/mm] ein metrischer Raum?
Fangfrage: Ist [mm] \IR [/mm] abgeschlossen oder offen?
Ist
[mm] \IR\setminus[1,\infty)=(-\infty,1)
[/mm]
offen?
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
die reellen Zahlen sind abgeschlossen.
[mm] $\mathbb{R}\setminus [1,\infty)=(-\infty,1)$
[/mm]
Ist offen, also ist [mm] $[1,\infty)$ [/mm] abgeschlossen.
Aber für mich ist X dann gerade das Intervall [mm] $[1,\infty)$ [/mm] und A wäre $(0,1]$
[mm] $X\setminus [/mm] A$
[mm] $[1,\infty)\setminus (0,1]=(1,\infty)$
[/mm]
Und damit offen.
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Do 01.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> die reellen Zahlen sind abgeschlossen.
Das ist nicht die richtige Antwort auf meine Frage, denn
die reellen Zahlen sind abgeschlossen und offen zugleich.
> [mm]\mathbb{R}\setminus [1,\infty)=(-\infty,1)[/mm]
>
> Ist offen, also ist [mm][1,\infty)[/mm] abgeschlossen.
Ja, aber dennoch die Fangfrage 2:
Ist das Gegenteil von einer abgeschlossenen Menge eine
offene Menge oder andersrum?
> Aber für mich ist X dann gerade das Intervall [mm][1,\infty)[/mm]
> und A wäre [mm](0,1][/mm]
Du hast nun gezeigt, dass
[mm] A:=[1,\infty)\subset\IR
[/mm]
abgeschlossen ist. Du hast die stetige Abbildung
[mm] f\colon[1,\infty]\to(0,1]\colon x\mapsto\frac{1}{x}
[/mm]
angegeben, aber eigentlich sollst du metrische Räume [mm] $X,Y\$
[/mm]
angeben und eine abgeschlossene Menge [mm] $A\subseteq [/mm] X$, sodass für
eine stetige Abbildung
[mm] $f\colon X\to [/mm] Y$
eben [mm] $f(A)\$ [/mm] nicht abgeschlossen ist.
Ist dir nun klar was du genau angeben musst und mit welcher
Begründung? Schreib dir das mal nochmal genau auf.
> [mm]X\setminus A[/mm]
>
> [mm][1,\infty)\setminus (0,1]=(1,\infty)[/mm]
>
> Und damit offen.
>
> ?
Das ist Quatsch. Siehe oben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Nein, ich glaube so recht ist mir das noch nicht klar.
Mein metrischer Raum wäre einfach die reellen Zahlen.
Die angegebenen Intervalle sind ja in den reellen Zahlen und meine Funktion ist stetig.
Ich glaube du hast mich jetzt gerade ein wenig verwirrt.
Was meinst du denn mit Gegenteil?
Eine Menge die nicht abgeschlossen ist muss nicht unbedingt offen sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Do 01.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Nein, ich glaube so recht ist mir das noch nicht klar.
>
> Mein metrischer Raum wäre einfach die reellen Zahlen.
Okay.
> Die angegebenen Intervalle sind ja in den reellen Zahlen
> und meine Funktion ist stetig.
Reelle Intervalle implizieren keine Stetigkeit. Deine ange-
gebene Funktion ist stetig, da sie in ihrem gesamten Defi-
nitionsbereich stetig ist. Beachte: Die Null ist nicht ent-
halten und somit geht alles gut.
> Ich glaube du hast mich jetzt gerade ein wenig verwirrt.
Ich wollte dir damit nur sagen, dass du durch die Abbildung
[mm] $f\colon[1,\infty)\to(0,1]\colon x\mapsto\frac{1}{x} [/mm] $
implizierst, dass [mm] X:=[1,\infty) [/mm] und $Y:=(0,1]$ metrische Räume sind.
Die Stetigkeit von $f$ ist klar, aber sind $X$ und $Y$ metrische
Räume? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum nicht? Beachte, dass
du weiter oben geschrieben, dass dein metrischer Raum [mm] \IR [/mm] sein
soll.
Wenn ihr [mm] $A\subset [/mm] X$ als echte Teilmenge definiert habt, dann hast
du übrigens mit der Wahl deines $A$ ein kleines Problem, welch-
es sich aber sehr schnell beheben lässt.
Definiere also nochmal genau $X,Y$ und $A$.
> Was meinst du denn mit Gegenteil?
> Eine Menge die nicht abgeschlossen ist muss nicht unbedingt
> offen sein.
Ja, das war nur eine Verständnisfrage, die viele falsch ma-
chen. Du hast es aber verstanden, super!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Das ich das mit offen und abgeschlossen verstanden habe liegt an diesem Lehrvideo:
https://www.youtube.com/watch?v=SyD4p8_y8Kw
:)
Nein, war nur ein Scherz, das wusste ich auch schon eher. Unser Professor hat uns dieses Video nur empfohlen...
Für uns ist [mm] $\subset$ [/mm] und [mm] $\subseteq$ [/mm] das selbe. Ja, manchmal verwirrend.
Habe aber schon öfters gesehen, dass mehrere Autoren da auch keinen Unterschied machen.
Ich würde sagen, dass meine beiden Intervalle metrische Räume mit der "Standardmetrik" sind, also dem Abstand |x-y|. Damit sollten die drei Eigenschaften einer Metrik auch sehr schnell zeigen lassen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Do 01.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Aus der Definition folgt:
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, dann besitzt jede Teilmenge
[mm] $A\subseteq [/mm] X$ eine (durch Einschränkung von d gegebene) Metrik.
Ist dir nun alles klar? Falls nicht, dann frag nochmal nach.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Doch, jetzt sollte mir alles klar sein.
Ich wähle zwei Intervalle aus den reellen Zahlen und eine Abbildung
[mm] $f:[1,\infty)\to(0,1]$
[/mm]
[mm] $x\mapsto \frac{1}{x}$
[/mm]
von der ich mit Gewissheit weiß, dass sie stetig ist.
Meine beiden Intervalle sind als Teilmengen des metrischen Raumes [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] selbst metrische Räume.
Damit habe ich eine stetige Abbildung von einem metrischen Raum in einen anderen metrischen Raum gefunden.
Ist nun X eine abgeschlossene Menge und f(X) nicht abgeschlossen?
Ja, denn [mm] $\mathbb{R}\setminus [1,\infty)=(-\infty,1)$ [/mm] ist offen.
Und f(X) ist wegen (0,1] nicht abgeschlossen, da die Null nicht im Intervall enthalten ist.
Wenn das jetzt nicht passt, dann habe ich noch eine Rückfrage. :)
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Hiho,
es passt leider nicht.
Du solltest deine Abbildung von [mm] $[1,\infty) \to \IR$ [/mm] betrachten, da sonst (0,1] nicht NICHT abgeschlossen ist!
Betrachtest du (0,1] als metrischen Raum ist (0,1] insbesondere abgeschlossen.
Und du willst ja gerade eine NICHT abgeschlossene Menge haben.
Denn in einem Metrischen Raum X ist X immer selbst abgeschlossen und offen (in sich selbst!).
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Do 01.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Also einfach
[mm] $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$
[/mm]
Wobei im Endeffekt bei der Abbildung nur die Werte im Intervall (0,1] getroffen werden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Do 01.05.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Genau so.
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