www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Stochastik" - Bed. Erwartungswert
Bed. Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bed. Erwartungswert: bivariate Normalverteilung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 Mi 30.04.2014
Autor: sick_of_math

Aufgabe
Guten Abend, liebe Leute!

Ich hänge bei einer Aufgabe!

Seien $Y$ und $X$ bivariat normalverteilt mit Erwartungsvektor \mu=(\mu_{Y}, \mu_{X})^T und Kovarianzmatrix C=\begin{pmatrix}\sigma_{Y}^2 & cov(X,Y)\\cov(X,Y) & \sigma_{X}^2\end{pmatrix}.

Zu zeigen ist, dass der bedingte Erwartungswert $E(Y|X=x)$ eine lineare Funktion in [mm] $x_1$ [/mm] ist.







Naja, da gibt es ja diese Formeln:

[mm] $E(Y|X=x)=\int f_{Y|X)}(y|x)y\, [/mm] dy$ und [mm] $f_{Y|X}=\frac{f_{Y,X}}{f_X}$. [/mm]

Also habe ich mich zuerst daran gemacht die gemeinsame Dichte von $Y$ und $X$ zu bestimmen und zwar nach der Formel

[mm] $f_{Y,X}(y,x)=\frac{1}{2\pi\lvert C\rvert^{\frac{1}{2}}}\exp[-\frac{1}{2}(\begin{pmatrix}Y\\X\end{pmatrix}-\mu)^TC^{-1}(\begin{pmatrix}Y\\X\end{pmatrix}-\mu)]$. [/mm]

Als Resultat habe ich

[mm] $f_{Y,X}(y,x)=\frac{1}{2\pi\sqrt{\lvert C\rvert}}\exp(-\frac{1}{2\lvert C\rvert} (\sigma_X^2(y-\mu_Y)^2-2 [/mm] cov(X,Y) [mm] (x-\mu_X)(y-\mu_Y)+\sigma_Y^2 (x-\mu_X))$ [/mm]

erhalten, wobei [mm] $\lvert C\rvert=det(C)=\sigma_Y^2\sigma_X^2-cov(X,Y)^2$. [/mm]

Nun habe ich dies dividiert durch [mm] $f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_X}\exp(-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2})$. [/mm]

Damit habe ich dann [mm] $f_{Y|X}$ [/mm] erhalten und zwar als

[mm] $f_{Y|X}(y|x)=\frac{\sigma_X}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\lvert C\rvert}}\exp(-\frac{1}{2\lvert C\rvert}(\sigma_X^2(y-\mu_Y)^2-2cov(X,Y) (x-\mu_X)(y-\mu_Y)+\sigma_Y^2 (x-\mu_X)^2) [/mm] + [mm] \frac{1}{2}\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2})$ [/mm]


Meine Idee ist es, nun diese Dichte (es ist ja die Dichte von $Y|X=x$) in die Form einer Normalverteilung zu bringen, denn dann wüsste man, dass $Y|X=x$ normalverteilt ist und könnte $E(Y|X=x)$ einfach "ablesen"; im Idealfall ist dann der Erwartungswert eine lineare Funktion in $x$ und die Aufgabe wäre gelöst.

---

Ich möchte also versuchen, mein obiges [mm] $f_{Y|X}$ [/mm] in die Form

[mm] $\frac{1}{\sqrt{2\pi}b}\exp(-\frac{1}{2}\frac{(y-a)^2}{b^2})$ [/mm]

zu bringen.

Was das $b$ anlangt, so liegt es, denke ich, auf der Hand, es einfach durch umformen des ersten Faktors, also

[mm] $\frac{\sigma_X}{\sqrt{2\pi}\sqrt{\lvert C\rvert}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\frac{\sqrt{\lvert C\rvert}}{\sigma_X}}$, [/mm]

als [mm] $b=\frac{\sqrt{\lvert C\rvert}}{\sigma_X}$ [/mm] zu erhalten; demnach (wenn die weitere Umformung hinhaut) hätte $Y|X=x$ die Varianz [mm] $\frac{\lvert C\rvert}{\sigma_X^2}$. [/mm]


Ich bin leider zu blöd, nun $a$ zu bestimmen.

Sieht jemand, wie man auf das $a$ kommt und könnte es mir erklären?


Mit vielen Grüßen!

        
Bezug
Bed. Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:10 Do 01.05.2014
Autor: dennis2

Hallo,

bringe die bedingte Dichte auf die Form einer Dichte einer Normalverteilung (z.B. durch quadratische Ergänzung nach $y), dann kommt auch bei dir hoffentlich heraus, dass der Erwartungswert eine lin. Funktion in $x$ ist.

MfG

Dennis

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de