Basis- wann lin. unabh. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Fügt man zu einer Basis einen beliebigen weiteren Vektor hinzu, so ist diese Menge an Vektoren nicht mehr linear unabhängig. |
Hallo,
ich kenne die Definition einer Basis:
M [mm] \subset [/mm] V (V Vektorraum über K) heißt Basis von V,
falls M ist Erzeugendensystem
und M ist linear unabhängig.
Trotzdem verstehe ich den Satz in der Aufgabenstellung nicht richtig, oder besser gesagt: ich kann mir das nicht so richtig vorstellen.
Die Basis ist doch auch gleichzeitig minimales Erzeugendensystem, oder? Das heißt, B = { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}} [/mm] ist eine Basis von [mm] \IR^{3}
[/mm]
Der Satz: Besitzt V eine endliche Basis mit n Vektoren, so hat jede Basis von V n Vektoren.
-> n heißt Dimension von V über K [mm] dim_k [/mm] V = n
Das heißt, die Basis hat 3 Vektoren, folglich ist die Dimension 3.
Wir haben 3 Vektoren. Wenn wir 4 Vektoren hätten, also einen Vektor in B dazufügen würden, wäre die Anzahl der Vektoren in B größer als die Dimension, also 4 > 3
Bedeutet das dann, dass B nicht mehr linear unabhängig ist ? Kann man so argumentieren?
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Do 28.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
du machst das zu umständlich, jeden Vektor aus V kann man mit einer Basis von v linear kombinieren, drum heisst das Basis.
Deine Argumente sind nicht falsch aber zu sehr drum rum geredet.
Gruß leduart
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Hallo,
ja, ich weiß, das war bisschen hin- und her, das kommt davon, weil verschiedene Quellen immer verschiedene Definitionen haben.
Ich stelle die Frage etwas genauer: Hat man in [mm] \IR^{3} [/mm] eine Basis B mit Dimension 3, und fügt man dieser Basis B einen weiteren, beliebigen Vektor hinzu, dann ist B nicht mehr linear unabhängig. Unter anderem, weil die Anzahl der Vektoren größer ist, als die Dimension. Das stimmt so, oder?
Für mich ist es wichtig, dass ich die verschiedenen Definitionen draufhabe und verstehe, da in der Klausur solche "theoretischen" Sachen Voraussetzungen für die Beweise sind.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Do 28.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, das ist richtig, hat aber nichts mit Definition zu tun, sondern beruht auf Sätzen.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 28.04.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen Dank für die Antworten.
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