Aufgabe zum Isomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Fr 16.01.2009 | | Autor: | farnold |
| Aufgabe | V,W zwei IC-VR mit dim(V) = dim(W) = 3.
Basis von [mm] V:=
[/mm]
Basis von [mm] W:=
[/mm]
f: v -> W
[mm] f(v_{1}) [/mm] = [mm] i*w_{1} [/mm] + [mm] 2w_{2} +w_{3}
[/mm]
[mm] f(v_{2}) [/mm] = [mm] i*w_{2}
[/mm]
[mm] f(v_{3}) [/mm] = [mm] 2*w_{1} [/mm] + [mm] w_{2} [/mm] + [mm] i*w_{3}
[/mm]
a) Zeigen sie f ist ein Isomorphismus
b) g: w_> V Umkehrabbildung zu f. Geben sie [mm] g(w_{i} [/mm] ,i=1,2,3 an.
c) Zeigen sie, dass die Abbildung f linear ist |
Hallo,
wir haben heute in LA eine Übungsklausur bekommen, jedoch keinerlei Lösungen, zum nachschaun, ob man richtig gedacht hat.
Wollte lieb nachfragen ob man die Aufgaben so in etwa lösen kann.
Vor allem bei Teilaufgabe c) hapert es
Aufgabe a) ist trivial. Die Darstellungsmatrix M(f) aufstellen, da f ein Isomorphismus ist gibt muss es eine Inverse Matrix geben => Gauß-Jordan Algorithmus anwenden.
Oder ein anderer Weg: ich berechne Kern und Bild und hab im hinterkopf f injektiv <=> Kern(f) = 0 und surjektiv <=> dim(Bild(f)) = dim(W) => injektiv + surjektiv = bijektiv => f ist ein Isomorphismus).
b) ist schon etwas schwerer. Hab mir da folgendes überlegt: da g eine Umkehrabbildung von f ist, ist g = [mm] f^{-1}. f^{-1} [/mm] ist aber nichts anderes als die inverse von f.
Habe ich nun [mm] M(f)_A_B [/mm] (A und B sind jeweils Basen) und möche nun die Umkehrabbildung berechnen, kann ich dann [mm] M(f)_A_B [/mm] direkt invertieren oder muss ich erst aus [mm] M(f)_A_B [/mm] => [mm] M(f)_B_A [/mm] machen? ( ich würde sagen direkt invertieren)
die Umkehrabbildung sieht dann aber so aus: [mm] M(f)_B_A [/mm] ?
"Geben sie [mm] g(w_{i}) [/mm] an."
Zum Glück habe ich schon die Umkehrabbildung als Darstellungsmatrix. [mm] M(f^{-1}) [/mm] ist ja bzgl. Basen B und A gegeben, d.h. die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren von B als Koordinaten. so nun sind [mm] g(w_{i} [/mm] einfach die Spalten der Matrix. [mm] g(w_{i} [/mm] = [mm] a*v_{1} [/mm] + [mm] b*v_{2} [/mm] + [mm] c*v_{3} [/mm] (wobei a,b,c die erste Spalte von [mm] M(f^{-1}) [/mm] sind), usw....
c) Wichtige Erkenntnis: jeden Vektor v [mm] \in [/mm] V kann ich als Linearkombination schreiben: [mm] v=a*v_{1} [/mm] + [mm] b*v_{2} [/mm] + [mm] c*v_{3} [/mm]
zur Homogenität: [mm] f(\lambda [/mm] * [mm] (a*v_{1} [/mm] + [mm] b*v_{2} [/mm] + [mm] c*v_{3})) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] (a+b+c) [mm] f(v_{1}+v_{2}+v_{2})
[/mm]
Ich hab hier nur das mulmige gefühl, dass ich gar nichts gezeigt habe.
Wie zeige ich Linearität, wenn f nicht explizit gegeben ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
viele grüße fa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Vreni |
> V,W zwei IC-VR mit dim(V) = dim(W) = 3.
> Basis von [mm]V:=[/mm]
> Basis von [mm]W:=[/mm]
>
> f: v -> W
> [mm]f(v_{1})[/mm] = [mm]i*w_{1}[/mm] + [mm]2w_{2} +w_{3}[/mm]
> [mm]f(v_{2})[/mm] = [mm]i*w_{2}[/mm]
> [mm]f(v_{3})[/mm] = [mm]2*w_{1}[/mm] + [mm]w_{2}[/mm] + [mm]i*w_{3}[/mm]
>
> a) Zeigen sie f ist ein Isomorphismus
> b) g: w_> V Umkehrabbildung zu f. Geben sie [mm]g(w_{i}[/mm]
> ,i=1,2,3 an.
> c) Zeigen sie, dass die Abbildung f linear ist
> Hallo,
> wir haben heute in LA eine Übungsklausur bekommen, jedoch
> keinerlei Lösungen, zum nachschaun, ob man richtig gedacht
> hat.
> Wollte lieb nachfragen ob man die Aufgaben so in etwa
> lösen kann.
> Vor allem bei Teilaufgabe c) hapert es
>
> Aufgabe a) ist trivial. Die Darstellungsmatrix M(f)
> aufstellen, da f ein Isomorphismus ist gibt muss es eine
> Inverse Matrix geben => Gauß-Jordan Algorithmus anwenden.
Hallo,
argumentativ nicht ganz richtig: du sollst ja zeigen, dass es ein isomorphismus ist, also kannst du die inverse Matrix berechnen, und weil sie existiert, ist die Abbildung ein Isomorphismus.
> Oder ein anderer Weg: ich berechne Kern und Bild und hab
> im hinterkopf f injektiv <=> Kern(f) = 0 und surjektiv <=>
> dim(Bild(f)) = dim(W) => injektiv + surjektiv = bijektiv =>
> f ist ein Isomorphismus).
>
> b) ist schon etwas schwerer. Hab mir da folgendes überlegt:
> da g eine Umkehrabbildung von f ist, ist g = [mm]f^{-1}. f^{-1}[/mm]
> ist aber nichts anderes als die inverse von f.
> Habe ich nun [mm]M(f)_A_B[/mm] (A und B sind jeweils Basen) und
> möche nun die Umkehrabbildung berechnen, kann ich dann
> [mm]M(f)_A_B[/mm] direkt invertieren oder muss ich erst aus [mm]M(f)_A_B[/mm]
> => [mm]M(f)_B_A[/mm] machen? ( ich würde sagen direkt invertieren)
> die Umkehrabbildung sieht dann aber so aus: [mm]M(f)_B_A[/mm] ?
naja, deine Umkehrabbildung ist nicht [mm] M(f)_B_A, [/mm] sondern [mm] M(f^{-1})_B_A. [/mm] Und wenn du [mm] M(f)_A_B [/mm] invertierst, also sozusagen [mm] (M(f)_A_B)^{-1} [/mm] berechnest, drehst du damit auch die Reihenfolge von A und B im Index um.
>
> "Geben sie [mm]g(w_{i})[/mm] an."
> Zum Glück habe ich schon die Umkehrabbildung als
> Darstellungsmatrix. [mm]M(f^{-1})[/mm] ist ja bzgl. Basen B und A
> gegeben, d.h. die Spalten der Matrix sind die Bilder der
> Basisvektoren von B als Koordinaten. so nun sind [mm]g(w_{i}[/mm]
> einfach die Spalten der Matrix. [mm]g(w_{i}[/mm] = [mm]a*v_{1}[/mm] + [mm]b*v_{2}[/mm]
> + [mm]c*v_{3}[/mm] (wobei a,b,c die erste Spalte von [mm]M(f^{-1})[/mm]
> sind), usw....
>
> c) Wichtige Erkenntnis: jeden Vektor v [mm]\in[/mm] V kann ich als
> Linearkombination schreiben: [mm]v=a*v_{1}[/mm] + [mm]b*v_{2}[/mm] + [mm]c*v_{3}[/mm]
> zur Homogenität: [mm]f(\lambda[/mm] * [mm](a*v_{1}[/mm] + [mm]b*v_{2}[/mm] + [mm]c*v_{3}))[/mm]
> = [mm]\lambda[/mm] (a+b+c) [mm]f(v_{1}+v_{2}+v_{2})[/mm]
>
> Ich hab hier nur das mulmige gefühl, dass ich gar nichts
> gezeigt habe.
> Wie zeige ich Linearität, wenn f nicht explizit gegeben
> ist?
Ich weiß nicht, was du da gerade zeigen wolltest und gemacht hast. (a+b+c) rauszuziehen ist auf jeden Fall falsch.
Eigentlich sollst du doch zeigen, dass für alle u,v [mm] \in [/mm] V , [mm] \lambda \in \IC [/mm] gilt:
f(u+v)=f(u)+f(v)
[mm] f(\lambda v)=\lambda [/mm] f(v)
Versuch das mal zu machen, wenn du annimmst, dass [mm] v=a\cdot v_1+b \cdot v_2+c\cdot v_3 [/mm] und [mm] u=d\cdot v_1+e\cdot v_2+f\cdot v_2 [/mm] sind.
Um Linearität zu zeigen, muss entweder f explizit gegeben sein (was es ja in deinem Fall ist) oder andere Eigenschaften von f gegeben sein, aus denen sich Linearität herleiten lässt. Ich verstehe deine Frage nicht ganz, wenn du über f nichts weißt, kannst du auch nicht zeigen, dass es linear ist!
Viele Grüße,
Vreni
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> viele grüße fa
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:00 So 18.01.2009 | | Autor: | farnold |
> Um Linearität zu zeigen, muss entweder f explizit gegeben > sein (was es ja in deinem Fall ist)
hm ich finde nicht, das f explizit gegeben ist :(
[mm] f(\lambda [/mm] * u) =
[mm] f(\lambda (u_{1},u_{2},u_{3})_{v})= [/mm]
[mm] f(\lambda*u_{1},\lambda*u_{2},\lambda*u_{3}) =(\lambda*u_{1}*i [/mm] + [mm] \lambda*u_{3}*2, \lambda*u_{1}*2 [/mm] + [mm] \lambda*u_{2}*i [/mm] + [mm] \lambda*u_{3}*1, \lambda*u_{1}*1 [/mm] + [mm] \lambda*u_{1}*i)
[/mm]
= [mm] \lambda*(i [/mm] + 0 + 2, 2 + i + 1, 1 + 0 + i)
= [mm] \lambda f(u_{1},u_{2},u_{3})
[/mm]
= [mm] \lambda [/mm] f(u)
analog für f(u) + f(x) = f(u+x)
Darf ich die Linearität dann auch mithilfe einer Darstellungsmatrix zeigen (so wie ich es hier versucht habe)?
Eine Matrix darf ich ja als lineare Abbildung auffassen. Ist eine Matrix immer eine lineare Abbidlung?
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> V,W zwei IC-VR mit dim(V) = dim(W) = 3.
> Basis von [mm]V:=[/mm]
> Basis von [mm]W:=[/mm]
>
> f: v -> W
> [mm]f(v_{1})[/mm] = [mm]i*w_{1}[/mm] + [mm]2w_{2} +w_{3}[/mm]
> [mm]f(v_{2})[/mm] = [mm]i*w_{2}[/mm]
> [mm]f(v_{3})[/mm] = [mm]2*w_{1}[/mm] + [mm]w_{2}[/mm] + [mm]i*w_{3}[/mm]
>
> a) Zeigen sie f ist ein Isomorphismus
> b) g: w_> V Umkehrabbildung zu f. Geben sie [mm]g(w_{i}[/mm]
> ,i=1,2,3 an.
> c) Zeigen sie, dass die Abbildung f linear ist
> Hallo,
> wir haben heute in LA eine Übungsklausur bekommen, jedoch
> keinerlei Lösungen, zum nachschaun, ob man richtig gedacht
> hat.
> Wollte lieb nachfragen ob man die Aufgaben so in etwa
> lösen kann.
Hallo,
ich denke nicht, daß man diese Aufgabe lösen kann, und das liegt zunächst einmal gar nicht an Dir.
Die ganze Aufgabe sit so, wie sie dasteht, Mist.
Ist das die originale Aufgabenstellung oder eine Nacherzählung?
Im ersten Falle schweige ich vornehm, in zweiterem Falle rate ich Dir, stets die Aufgabenstellung im vollständigen Originalwortlaut zu posten, und dann im Rahmen der Lösungsansätze Dein Verständnis der Aufgabe mitzuteilen.
Ob die gegebene Abbildung ein VR-Isomorphismus ist, können wir nicht entscheiden, denn es sind ja nur die Funktionswerte zu 3 Vektoren angegeben, und wir müßten schon die Werte auf dem ganzen großen, weiten VR V kennen.
Nun könnte man sich auf den Standpunkt stellen, daß in der linearen Geometrie mit f halt grundsätzlich lineare Abbildungen gemeint sind, damit könnte ich mich anfreunden. Bloß wenn mit f die durch Angabe ihrer Werte auf einer Basis von V eindeutig lineare definierte Abbildung gemeint sein soll, dann weiß ich nicht, was die Aufforderung, die Linearität zu zeigen soll. Die wäre ja Voraussetzung.
Gruß v. Angela
>
> Aufgabe a) ist trivial. Die Darstellungsmatrix M(f)
> aufstellen, da f ein Isomorphismus ist gibt muss es eine
> Inverse Matrix geben => Gauß-Jordan Algorithmus anwenden.
> Oder ein anderer Weg: ich berechne Kern und Bild und hab
> im hinterkopf f injektiv <=> Kern(f) = 0 und surjektiv <=>
> dim(Bild(f)) = dim(W) => injektiv + surjektiv = bijektiv =>
> f ist ein Isomorphismus).
>
> b) ist schon etwas schwerer. Hab mir da folgendes überlegt:
> da g eine Umkehrabbildung von f ist, ist g = [mm]f^{-1}. f^{-1}[/mm]
> ist aber nichts anderes als die inverse von f.
> Habe ich nun [mm]M(f)_A_B[/mm] (A und B sind jeweils Basen) und
> möche nun die Umkehrabbildung berechnen, kann ich dann
> [mm]M(f)_A_B[/mm] direkt invertieren oder muss ich erst aus [mm]M(f)_A_B[/mm]
> => [mm]M(f)_B_A[/mm] machen? ( ich würde sagen direkt invertieren)
> die Umkehrabbildung sieht dann aber so aus: [mm]M(f)_B_A[/mm] ?
>
> "Geben sie [mm]g(w_{i})[/mm] an."
> Zum Glück habe ich schon die Umkehrabbildung als
> Darstellungsmatrix. [mm]M(f^{-1})[/mm] ist ja bzgl. Basen B und A
> gegeben, d.h. die Spalten der Matrix sind die Bilder der
> Basisvektoren von B als Koordinaten. so nun sind [mm]g(w_{i}[/mm]
> einfach die Spalten der Matrix. [mm]g(w_{i}[/mm] = [mm]a*v_{1}[/mm] + [mm]b*v_{2}[/mm]
> + [mm]c*v_{3}[/mm] (wobei a,b,c die erste Spalte von [mm]M(f^{-1})[/mm]
> sind), usw....
>
> c) Wichtige Erkenntnis: jeden Vektor v [mm]\in[/mm] V kann ich als
> Linearkombination schreiben: [mm]v=a*v_{1}[/mm] + [mm]b*v_{2}[/mm] + [mm]c*v_{3}[/mm]
> zur Homogenität: [mm]f(\lambda[/mm] * [mm](a*v_{1}[/mm] + [mm]b*v_{2}[/mm] + [mm]c*v_{3}))[/mm]
> = [mm]\lambda[/mm] (a+b+c) [mm]f(v_{1}+v_{2}+v_{2})[/mm]
>
> Ich hab hier nur das mulmige gefühl, dass ich gar nichts
> gezeigt habe.
> Wie zeige ich Linearität, wenn f nicht explizit gegeben
> ist?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> viele grüße fa
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