Aufgabe #81 (IMC)(MengenLehre) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 22:22 Fr 29.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Es sei $X$ eine Menge und [mm] $f:X\to [/mm] X$ eine bijektive Abbildung auf $X$. Zeige: es gibt Abbildungen [mm] $g_1:X\to [/mm] X, [mm] g_2:X\to [/mm] X$ mit [mm] $f=g_1\circ g_2$ [/mm] und [mm] $g_1\circ g_1=g_2\circ g_2=id_X$.
[/mm]
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno,
Ich habe mir das so vorgestellt.
Sei g:X [mm] \to [/mm] X so, dasss g [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_X [/mm] g [mm] \not= id_X. [/mm] So etwas gibt es zuhauf.
Setze [mm] g_1 [/mm] = f [mm] \circ [/mm] g [mm] g_2 [/mm] = g
Dann: [mm] g_1 \circ g_2 [/mm] = f [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] g = f [mm] \circ id_X [/mm] = f
[mm] g_2 \circ g_2 [/mm] = [mm] id_X
[/mm]
[mm] g_1 \circ g_1 [/mm] = f [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_X \Leftrightarrow f^{-1} \circ [/mm] g [mm] \circ f^{-1} [/mm] = g [mm] \Leftrightarrow [/mm] g [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] g = [mm] f^{-1} \Leftrightarrow [/mm] g = (g [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ f^{-1} [/mm] = g [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ f^{-1} [/mm] = g
q.e.d.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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Habe leider zwei Zeilen auf meinem Blatt verwechselt, und bin auf eine asymmetrische Äquivalenz gekommen. So geht es doch nicht.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Fr 19.08.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo,
erstmal definiere ich für beliebige x aus X:
[mm] f^{0}(x) [/mm] = x := [mm] x_{0}
[/mm]
[mm] f^{n+1}(x) [/mm] = [mm] f(f^{n}(x)) [/mm] := [mm] x_{n+1} [/mm] bzw.
[mm] f^{-n-1}(x) [/mm] = [mm] f^{-1}(f^{-n}(x)) [/mm] := [mm] x_{-n-1}
[/mm]
zur Vereinfachung der Schreibweise. Dann ist
x~y [mm] :\gdw [/mm] Es gibt ein [mm] n\in\IZ: [/mm] y = [mm] f^{n}(x)
[/mm]
eine Äquivalenzrelation (ohne Beweis) und die Äquivalenzklassen sind eine Partition von X.
Sei eine solche Äquivalenzklasse Y gegeben und sie sei unendlich, sei weiter ein Wert [mm] x_{0}\in [/mm] Y ausgewählt, dann lässt sich Y schreiben als
Y = [mm] \{x_{n} / n\in\IZ \}
[/mm]
mit obiger Vereinfachung der Schreibweise (also [mm] x_{n} [/mm] = [mm] f^{n}(x_{0})).
[/mm]
Jetzt definiere ich
[mm] g_{1}(x_{n}) [/mm] := [mm] x_{-n} [/mm]
[mm] g_{2}(x_{n}) [/mm] := [mm] x_{-n+1}
[/mm]
für alle [mm] n\in\IZ [/mm] und erhalte
[mm] g_{1}(g_{1}(x_{n})) [/mm] = [mm] g_{1}(x_{-n}) [/mm] = [mm] x_{n}
[/mm]
[mm] g_{2}(g_{2}(x_{n})) [/mm] = [mm] g_{2}(x_{-n+1}) [/mm] = [mm] x_{-(-n+1)+1} [/mm] = [mm] x_{n}
[/mm]
also die gewünschten Identitäten auf Y. Außerdem ist
[mm] g_{2}(g_{1}(x_{n})) [/mm] = [mm] g_{2}(x_{-n}) [/mm] = [mm] x_{-(-n)+1} [/mm] = [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] f(x_{n})
[/mm]
also f = [mm] g_{2} \circ g_{1} [/mm] .
Wenn Y endlich ist, gibt es ein minimales k mit [mm] x_{0} [/mm] = [mm] f^{k}(x_{0}).
[/mm]
In diesem Fall gelten alle Definitionen modulo k genauso.
Da Y Teil einer Partition ist, d.h., dass sich die Mitglieder der Partition nicht überschneiden, kann man [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] problemlos auf ganz X ausdehnen.
Hinweis: Bei unendlichen X braucht man i.A. das Auswahlaxiom für dieses Vorgehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Di 30.08.2005 | | Autor: | Toellner |
Hallo Stefan,
ich dank' Dir sehr für die Blumen!!
Meine Spezialgebiete sind Formale Logik und Mengenlehre (bei Walter Felscher, Tübingen) und Funktionalanalysis (bei Jochen Werner in Göttingen): In beiden Gebieten untersucht man oft Funktionen f: X -> X und Folgen der Art [mm] f^{n}(x), [/mm] außerdem gibts einen Satz aus der Kombinatorik, dass man alle Permutationen auf 2er-Permutationen zurückführen kann, und die sind ja selbstinvers...
So führt eins zum andern!
Mich würde interessieren, Wo Hanno die Aufgaben hernimmt!?
Liebe Grüße und weiterhin viel Erfolg mit dem Matheforum,
Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Di 30.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Richard!
> Mich würde interessieren, Wo Hanno die Aufgaben hernimmt!?
Na klar. Du findest tausende Aufgaben auf http://www.kalva.demon.co.uk/index.html, auch die schönen Aufgaben der IMC.
Liebe Grüße,
Hanno
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
Aber das schmälert die Leistung nicht; ich bleibe beeindruckt. 
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
